Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 136
Текст из файла (страница 136)
е. нет никаких весовых коэффициентов у состояний в функции стоимости. Поэтому мы должны применить результаты приложения Р осторожно, понимая особенности решения. Обращаем ваше внимание на преобразованную задачу, приведенную в (25.5.54)-(25.5.59). Для этих условий мы имеем следующее: 25.5. Неминимельно-фазоеые нули 831 Когда система минимально-фазовая, матрица Аг устойчива. Тогда из приложения Р следует, что единственное положительное полуопределенное решение уравнения Риккати (22.5.1) — Р = О, дающее оптимальное Усиление обРатной свЯзи в виде Кь~(з) = О, К®г(з) = О. Заметим, что Р(1) сходится к Р„для любых положительно определенных начальных условий. Подставляя эти результаты в (25.5.65), (25.5.66), (25.5.67), получим Предлагаем читателю проверить, что это в точности равно [Л(з)] ~[Т*]м(з), где [Л(з)] ~ имеет в пространстве состояний вид ((25.4.56), (25.4.57)).
Таким образом, в минимально-фазовом случае алгоритм подбора модели по существу приводит к точной инверсии (ь(з)Со(з), умноженной на целевую дополнительную чувствительность Т*(з). Это звристически понятно. 2) Когда система неминимально-фазовая, К~(з) и Кг(з) будут, в общем случае отличны от нуля, гарантируя, чтобы собственные значения Аг — ВгКг лежали в области устойчивости. Действительно, можно показать, что собственные значения Аг — ВгКг соответствуют устойчивым собственным значениям матрицы Аг вместе с неустойчивыми собственными значениями матрицы Аг, отраженными через границу устойчивости. Кроме того, Кг удовлетворяет следующему уравнению Риккати (22.5.1): О=РггВгФ ВгРгг+РггАг+Аг Ргг К;=Ф- В,Ргг и -1 (25.5.70) (25.5.71) Окончательно решение имеет вид [Щз)]ич(з) = 1 (з)[Г(з)]м (25.5.72) где 1 (з) = -1+ Кг (з1 — Аг+ ВгКг) Вг (25.5.73) [О(з)];=[ — 1+В ~Сг(з1 — Аз+Вам ~Сг) Вг][-Р ~Сг(з1 — Аг) гВг] (25.5.68) =[Р ~ — Р ~Сг(з1-Аз+Вам ~Сг) Вгй а][Сг(з1 — Аг) Вг] (25.5.69) 832 Глава 25.
Параиетризация М!МО-рагулятороа [Г(з)]„= Кд (з1 — Ад) д Вд Кроме того, помещая столбцы Щз) рядом, мы получим Щз) = Ь(з)Г(з); Г(з) = [[Г(з)]„д, [Г(з)],г... [Г(з)],л] (25.5.74) (25.5.75) а) Умножить Щз) слева на постоянную матрицу М, что даегп МЩО) = [С (0)] б) Следовать процедуре, описанной в равд. 16.3.4, т. е. выразить Щз) = [С (0)] д + зт,д(з) (25.5.76) и опгпимизировать Щз). Мы также изменяем функцию стоимости, чтобы включигпь весовую функцию тт'(з) = 1/з.
Замечание 25.9. Вьпиеупомянутая процедура находит точную инверсию для минимально-фазовых успдойчивых сисгпем и приближенную инверсию для неминимально-фазовых систем. Для неминимально-фазового случая неустойчивые нули обзекта огиображаются на границу устойчивости, так что они появляются как полюсы Щз). Дополнительные полюсы Щз) дает матрица [~д,(з)] д, которая является частью инверсной системы. Три интересных вопроса возникают отпносигпельно этой процедурьг проектирования. а) Как задагпь полюсы Щз) в некоторой области, а не проспдо гарангпировагпь устойчивость Щз) 2 Этпо можно получить с помощью преобразований, приведенных е равд.
22.8. б) Как выбрать сомножители (з+ст) в матрице взаимодействия? Это связано, помимо всего прочего, с наличием неминимально-фазовых нулей. Как мы видели в гл. 24, неминимально-фазоеые нули определяют верхнюю границу желаемой полосы пропускания. Другие факторы, которые определлюгп (в+ст) — допустимый диапазон входного сигналя и присутствие шума измерения. в) Как мы накладываем дополнительные ограничения типа диагональной развязки? Эгпа гпема требует дополнительной рабогпы и рассмогпрена е гл. 26. где Г(з) является аффинной в Т'(з). Замечание 25.8. Вышеупомянутпый проект (хотя и оптимальный в смысле Ег) не гарантирует, что ЩО) = [С (0)] д, т.
е. нет никакой гарангпии интпегрирующих свойств регулятора. Чтобы получить ин- тегрирующие свойства, мы можем сделать одну из двух вещей: 25.5. Неминимвльно-фвговые нули 833 Пример 25.6. Рассмотрим зз1лгО-обвект размерности 2х2, имеющий номинальную модель — 1 2 з+2 з+1 7(-.+ 1) (25.5.77) з+ 2 (з+ 1)(з+ 2) Это — устойчивая, но нсминимально-фаз овал система, с полюсами в точках — 1, — 2 и — 2 и нулем в точке з = 5. Целевая функция чувствительности выбрана в виде 9 1 0 Т'(з) = зг+4з+9 0 1 (25.5.78) Чтлобы поместпить ее в формулировку задачи, приведенную выиге, повторно параметризуем Щз), чтобы обеспечитпь интпегрирование в контуре обратной связи. Таким образом, мы используем Щз) = С„(0) + зЯ(з) = — 4 + зЩз) (25.5.79) и введем весовую функцию 'Жв(з) = 1/з.
Тогда, учитывая (22.6.3), мы имеем М(з) = Жв(з) (Т'(з) — Со(з)Со(0) ~) и Х(з) = Со(з) (25.5.80) Таким образом, — 1.46з~ + 1.13з + 5.8 М(з) = (в~+ 4з+9)(з+1)(в+ 2) (25.5.81) Чтобы реигить задачу, следуя предложенному вьаие подходу, мы должны сформировать левую матрицу взаимодействия (~(з) для Х(з). Такая матрица взаимодействия имеетп вид ту,(з) = з1, что дает те+1 ~ — (з+1) 2(з+2) 1 где т = сг г = 0.1. (за+ 4з+ 9)(з+ 1)(з+ 2) 3.73 (з+ 1Нз+ 2) 0.267 (з+1)(з+2) -0.13зг+ 6.4ббз+ 17.8 834 Глава 25. Параметризация М!МО-регуляторов яб яи ею юи Я Ф нз оя х8 ы2 й -ьз 'о 5 то 15 го гз эо Время (с! После реитения задачи ЛКР мы получим ~Яп (з) Фтг(з)1 ~Ягт(з) Ягг(з)) "-з(з)— з4 + 19зз + 119зг + 335з + 450 Яп (з) 7 11зз + 83 11зг + 337 11з + 328 67 Ягг(з) = 3.55зз + 31.56зг + 123 56з + 189 33 7(~22(з) = 2 22зз+ 24 00зг+ 100 44з+ 142 67 Ягг(з) = 1 11зз+ 12.0зг+ 50.22з+ 71.33 Наконец, используя (25.5.79), мы возвращаемся к С3(з): ! Яп (з) 912(з)~! 1021 (з) тзгг (з) з4 + 19зз + 119зг + 335з + 450 9п( ) б 18з~+65 38зз+ 226 04зг+16 ООз 420 00 Ядг(з) = 4.09з4+ 41.69зз+ 187.02зг+ 368.00з+ 240.00 Ягт(з) = 2.49з4 + 29.07зз + 132.18зг + 232.00з+ 120.00 Югг(з) = 1.24з4+ 14 53зз+ 66 09зг+ 116 ООз+ 60 (25.5.83) (25.5.84) Проекта испытан с единичными стпупенчатыми эталонными воздействиями.
Результаты показаны на рис. 25.1. 25.5.6. 0-синтез децентрализованных регуляторов Как потенциальное приложение Я-параметрнзации к М1МО-объекту, рассмотрим проектирование децентрализованного регулятора для объ- Рис. 26.1. Отслеживание ступенчатых воздействий оптимальной квадратич- ной системой 25.5. Немнннмально-фагоеые нули В35 (25.5.88) ,10 (25.5.90) Хо !!Ят(з)ЪЧ(з)![Р й где У' — минимальное значение (25.5.88). Замечание 25.10.
В вышеупомянутиом примере мы неявно считали, что «устойчивый» означает «желаемый». Если желательно ограни- чить область, в котпорой находятся полюсы замкнутпого контура, то потребуетпся ограничить Я, как было сделано в Я1ЯО-случае. екта Со. Пусть мы имеем полное мультипеременное решение с дополни- тельной чувствительностью Н . Выберем конкретное соединение входов и выходов, в качестве которого без потери общности возьмем следующее (имут)... (и „у,).
Определим тогда следующую диагональную номинальную модель с соответствующей аддитивной ошибкой С,(з) С~(з) =йа8[дтм(з),...,д~„,н(з)], С,(з) = С„(з) — С~~(з) (25.5.85) Пусть этот объект устойчив, тогда мы можем использовать устойчи- вую т.г-параметризацию всех децентрализованных регуляторов, которые стабилизируют Сфз); С.(з) =О.[1 Св(з)О.(з)[- (25.5.86) где Сг,",(з) и Со(з) — диагональные.
Достигнутая чувствительность всего объекта (исходя из (25.3.1)) ЯА(з) = [1 — С„(зЩ„(з))[1+ С«(зЩ„(з)! (25.5.87) Тогда мы можем спроектировать ь1~(з), минимизируя величину взве- шенной ошибки чувствительности д= Г !!(1-Н.(.) -ЯА(.))ж( )!!', ./о где тт'(з) = [1+ С,(з)С3о(з)! и /! !! означает норму Фробениуса. Мы видим, что,Х можно представить следующим образом: .= Г[!М- Са!!", (25.5.89) 20 где М(з) = Но и Х(з) = ( — НоС«(з) + Со(з)). Однако это точно соответствует задаче подбора модели, рассмотрен- ной в разделе 22.6. Следовательно, мы можем спроектировать Сфз), чтобы получить достигнутую чувствительность ЯА(з), близкую к целе- вой чувствительности Ят(з) — Н„(з), где близость измеряется с помощью (25.5.88).
Нормализованная мера стоимости использования децентрализован- ного управления была бы тогда 836 Глава 25. Параметризация М!МО-регуляторов Далее мы рассмотрим задачу Я-синтеза для системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии. Заметим, что как и в гл. 15, мы будем в понятие неустойчивых полюсов разомкнутого контура включать и нежелательные полюсы разомкнутого контура, типа резонансных компонентов. 25.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
