Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Приближенные инверсии Далее мы покажем, как матрицы взаимодействия могут быть использованы для построения приближенных инверсий, учитывая относительную степень. Ключевое свойство 4ь(з) и 4р(з) заключается в том, что Лр,(з) = Со(з)Ср(з) и Ль(з) = фь(з)Со(з) (25.4.49) Мы можем использовать ее, чтпобы построить предсказатпель для текущего выхода в терминах комбинаций прошлых значений входов.
В частностпи, мы имеем 818 Глава 25. Параметризацил М1МО-регуляторов являются бисобственными передаточными функциями, имеющими невырожденное высокочастотное усиление. Это упрощает проблему инверсии. Заметим, что и Лн(з) и Ль(з) имеют следующее представление в пространстве состояний: х($) = Ах(1) + Ви(1) у(3) = Сх(1)+1яи(т) (25.4.50) (25.4.51) (25.4.56) (25.4.57) Мы можем использовать [Ль(з)] ~ или [Ли.(з)] ~ для построения различных приближений инверсии от Со(з). Например, Сини" (з) = [4ь(з)Со(з)] '4ь(0) †приближенн щивал инверсия со свойством,что Со(з)Сил" (з) = ф,(з)] т~ь(0) (25.4.58) (25.4.59) является нижней треугольной матрицей, равной единичной матрице на нулевой частоте.
Аналогично Сь""( ) =4и(0)[С (з)4и(з)Г' — приближенная левая инверсия со свойством, что Сь""( ) С. ( ) = ЫОН6н( )Г' (25.4.60) (25.4.61) также является нижней треугольной матрицей и равной единичной матрице на нулевой частоте. где йеФЬ ~ О. Заметим также, что А и С вЂ” те же самые, что и в описании объекта (22.2.1)-(22.2.2). Ключевой момент относительно (25.4.50) и (25.4.51) заключается в том, что точную инверсию Л(з) можно получить, просто меняя ролями вход и выход, что приводит к следующей реализации [Л(з)] ~ в пространстве состояний: х(Ф) = Ах(Ф) + В?) 1(у(1) — Сх(Ф)) (25.4.52) = Аах(1) + Вр,й(1) (25.4.
53) и(1) = Гу ~ (у(Ф) — Сх($)) (25.4.54) = Схх($) + Х)хй(1) (25.4.55) где й($) обозначает вход инверсии: й(1) = у(4), а 8(4) обозначает выход инверсии. Также, в (25.4.52)-(25.4.54) Ах=А ВР тС в„=ва-' с,=-В-'С В„=В-' 25.5. Неынннмельно-фазовые нули 819 Вооруженные вышеупомянутыми средствами, мы возвращаемся к первоначальной задаче построения Я(з) в виде (приближенной) инверсии для Со(з). Например, мы могли бы выбрать Щз) как ь4(з) = [Ль(з)Г 4ь(0) = а(з)ао(з)Г бь(0) (25.4.62) При этом выборе мы получаем, что То(з) = т'зо(з)Я(з) = С~(з)[Ль(з)] ~сь(0) = [сь(з)[ 'сь(0) (25.4.63) Таким образом, выбором корректирующих относительную степень сомножителей (з+ ст) мы можем сделать матрицу Т (з) равной 1 на нулевой частоте и треугольной на других частотах, с полосой пропускания, определяемой сомножителями (з+ а), используемыми при формировании Сь(з).
25.5. Неминимально-фазовые нули 25.5.1. Е-матрицы взаимодействия Лемма 25.1. Рассмотрим невырожденную матприцу С(з) размерности т х т. Предположим, что этпа матрица имеет вещестпвенный неминимально-фазовый нуль, расположенный в тпочке з = з' . Тозда Мы видели в равд.
25.4.1, что матрицы взаимодействия — удобный способ описания относительной степени нулей объекта, расположенных на бесконечности. Также мы видели, что матрица взаимодействия может использоваться для предварительной компенсации объекта так, чтобы изолировать нули на бесконечности, что позволяет, в конце концов, получить собственную инверсию. Та же самая основная идея может использоваться, чтобы описать структуру конечных нулей.
Соответствующие преобразования известны как з-матрицы взаимодействия. Они позволяют определить предварительную компенсацию, которая изолирует конкретные конечные нули. В частности, когда такая компенсация применяется для изоляции неминимально-фазовых нулей и она объединяется с матрицами взаимодействия для изоляции нулей на бесконечности, г-матрицы взаимодействия позволяют вычислить устойчивую и собстпвенную инверсию.
Расширение теоремы 25.1 на конечные нули следующее. 820 Глава 25. параметризация м1мО-регуляторов существуюгп верхняя и нижняя гпреугольные матрицы трн(з) и трь(з) соответственно такие, что трЬ(з) = НЬ(и)22Ь(и) и,( )=аа8( °,..., -) (25.5.3) (25.5л1) 1 0 Ьг1(и) Ь31(Ю) Ьзг(и) Нь(и) = (25.5.5) Ьгл1(и) Ьглг(и) фн(з) = Х)р„(и)Нн(и) Пн(и) = г11ад(ие1,...,иг-) (25.5.6) (25.5.7) Ьтг(и) Ь13(и) ' " Ьтгл(и) Ь23(и) ''' Ьглт(и) Нп(и) = (25.5.8) 0 0 где Ь1~1(и) и Ь11.(и) — полиномы от щ удовлетворяющие условиям Ььд(0) = 0 и Ьнд(0) = 0 и где зго (25.5.9) и=-— в го Доказательство Мы видим, что отображение (25.5.9) преобразовывает нуль в точке 3 = го в нуль при и = оо.
Тогда мы можем применить теорему 25.1. ППП Замечание 25.3. Как и в тпеореме 25.1, г-матрицы взаимодействия могугп быть гпакже определены с помощью диагональных матриц 1.1ь(и) и Он(и) с произвольными диагональными полиномами степеНЕй Р1,Р2,...,Рт, КОтОРЫЕ ЯВЛЯЮтСЯ ипеаРиаНтППЫМи ПО ОтНОШЕНиЮ К предсгпавлениям матрицы взаимодействия для данной матрицы С(з). 11гп 1бь(з)С(з) = Кьв 1нп С(з)фн(з) = Кн 0 < )г1ег(Кьв)~ < оо 0 < ! 11е3(Кн ) ~ < оо (25.5.1) (25.5.2) 25.5. Неминимально-фазовые нули 821 В частности, мы можем заменить и на (и + а), где а Е К+. Тогда (25.5.9) соответственно преобразуется в з(се+ го) го (25.5.10) 1 [з+1 1 (з+1)(з+2) ~ 2 1 (25.5.11) Мы видим, что эта система имеет неминимально-фазовый нуль при з = г = 1. Определим преобразование (25.5.9), которое дает зго 3 и и — = (==:=; 3— (25.5.12) (з го) з 1 и+1 Применение этого преобразования к ч1о(з) приводит к 1 [(и+1)(2и+1) (и+1)~] о( ) о( )] (2 +Ц(5 +2) [ 2( +1)2 ( +1)2] (25.5.13) Далее вычислим левую матрицу взаимодействия (для относительной степени) для этого преобразованного обзекта.
Заметшц что хотя каждый элемент в у' (и) бисобственный сама матрица строго собственная, потому что ее детерминант обращается в нуль при и = со. Мы применим процедуру формирования, используемую в доказательстве теоремы 25.1. 1 1 Заметим, что пз =0 с у1 = — [2 1] и па =0 с ~а= — [2 Ц. 6 6 1) Сначала сформируем [фд,]~, (и) = [и"' 0 0... 0] = [1 О] (25.5.14) (25.5.15) Затем 1пп [е у,]1„(и) у' (и) = т~~ = [1 0] Тогда ЬСЗ(и) и ЬЛЗ(и) стану|п полиномами от (и+а), удовлетворяя условиям 5РЗ( — а) = 0 и lф — св) = О.
Замечание 25.4. Заметим, что эти матрицы взаимодействия удаляют неминимально-фазовый нуль в том смысле, что произведения фп(з)С(з) и С(з)фн(з) невырождены при з = г,. Это также означает, что [вру,(з)] 1 и [фн(з)] 1 вырождены при з = г,. Проиллюстрируем эти идеи следующим примером. Пример 25.4. Рассмотрим обзект, имеющий номинальную модель 822 Глава 25. Паранетризация М!МО-регуляторов х( +ц 1пп [4ь(и)]г„'Чо(и) = (гг) = 1пп 0 (25.5.17) Отсюда получаем х = 1. Это дает ге~ = [1 0] (25.5.18) который линейно независим от Л .
Таким образом, выбор (25.5.16) с х = 1 подходит для второй стпроки магприцы взаимодействия. Таким образом, 4ь(и) = ~ Г1 О] (25.5.19) 3) Нам нужно, чгпобы [Сь(и)] 1 была усгпойчивой без потери сучцественного характера матрицы взаимодействия, тпак что мы можем заменить и на и+ ст, например, при ст = 1, что даегп 1 0 сь(и) = ( ц ) (25 5 20) Мы тпеперь можем обратно преобразовать магприцу взаимодействия сь(и), чтобы получигпь трь(з) в виде 1 0 в+1 в+1 и [Фь(з)] '= трь(з) = з — 1 з — 1 (25.5.2Ц Заметпим, что г1еФ(трь(з)) = — Ц..
Это гарантирует, что г1еФ(Фь(з)Со(з)) невырожден для з = з = 1. 25.5.2. 0-синтез с использованием матриц взаимодействия и з-матриц взаимодействия Далее мы покажем, как г-матрицы взаимодействия могут использоваться при проектировании регулятора в О-параметризованной структуре для неминимально-фазовых объектов. Для иллюстрации пусть С вЂ” матрица устойчивых передаточных функций, имеющая один неминимально-фазовый нуль, расположенный в точке з = г„.
Напомним из разд. 25.5.1, что если Фь(з) является 2) Рассмотрим вектор-сгпроку )г~. 5 — линейно зависит от гт с 19г = 1, т. е. Гг = г1. Тогда мы выбираем вторую строку 4ь(и), [4ь(и)]г„в виде [4ь(и)]г. —— их([0 1] —,ба~ [фь(и)]и) = [-и* их] (25.5.16) где х удовлегпворяетп условию 25.5. Неминимально-фезоеые нули 823 левой в-матрицей взаимодействия и если оп(з) — правая г-матрица взаимодействия, то 0 < [ йеФ(Кье) ] < со (25 5 22) 0 < [де$(Кн )[ < оо (25.5.23) 1пп уаь(з)С (з) = Кь 1пп С (з)фп(з) =Кн Напомним также, что по своей сути матрицы фь(з) и фп(з) обладают среди прочих следующими свойствами: ° фь(з) и фн(з) являются неустойчивыми матрицами; ° фь(з) и е5п(з) являются нижней и верхней треугольными матрицами соответственно, у которых компонент имеют вид где Й Е Я и а Е )к+ (25.5.24) ° [4ь(з)] и [Фр„(з)] — устойчивые треугольные матрицы, у которых диагональные элементы имеют вид во(се + з) ° 11шь-ьоочуь(з) = Еь и 1пп, +,о4п(з) = Еп.— матрицы с конечным, отличным от нуля детерминантом.
° деь [фь(0)) = беФ(е15п(0)) = 1. (Это свойство — следствие (25.5.24).) Рассмотрим следующий вариант для Щз): Щз) = [(ь(з)Но(з)] ~4ь(з)Рц(з) = [Но(з)] ~1Эц(з) (25 5.26) где Н (з) — объект, предварительно скомпенсированный левой матрицей взаимодействия едь(з): (25.5.25) Н (з) й ~ь(з)С (з) (25.5.27) и ~ь(з) — левая матрица взаимодействия для нуля, находящегося в бесконечности. Пс1(з) в (25.5.26) — устойчивая матрица со свойствами, которые будут определены ниже. Заметим, что благодаря предварительной компенсации Н (з)— устойчивая и минимально-фазовая матрица.
Используя (25.2.2), (25.5.26) и (25.5.27), мы видим, что дополнительная чувствительность определяется выражением То(з) = Со(з)Ч(з) = [Фь(з)] Н (з)Я(з) = [ч5ь(з)] Ос1(з) (25.5.28) Мы видим, что Ос1(з) может использоваться для формирования структуры и частотной характеристики М1МО-контура (ограниченных 824 Глава 25. Пврвметризвция М!МО-регуляторов Решение Это устойчивый и строго собстпвенный объехт. Однако он имеет неминимально-фазовый нуль при з = г = 1.
Таким образом, мы можем использовагпь г-магприцу взаимодействия, чтобы синтезировать Щз) (см. равд. 25.5.1 и 25.5.2). Мы сначала должны найти левую г-матприцу взаимодействия фь(з) для матрицы Со(з) и матрицу Н (з). Чтобы вычислить фь(з), заметим, что объект в этом примере подобен объекту в примере 25.4, где выбрано ст = 1. Тогда просгпо доказагпь, что [ууь( )Г' = угь(з) = (25.5.30) Далее вычислим Н (з), когпорая определяется выражеииам Н (') фь(')~ (з) ( +1)( + 1 0 (25531) Нам гиакже нужно вычислить точную инверсию модели [С (з)] Она имеет вид [Со(з)] ~ = (25532) о —,,ц неизбежным наличием неминимзльно-фазового нуля объекта).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
