Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 132
Текст из файла (страница 132)
МирйчайаЫе Реесйасй Сои!го|: Апайувй апд .Оейдп. %||еу, |ь!еиг Уог1с. 7. Би1е, Ч. апб АйЬаш, Ч. (1991). В!гесйопа1 вепвйпгйу йгасйе-ой|в ш пш1й1чаг!аЫе ГеебЬас1с вувйепьв. Аийотлайса, 27(5):869-872. Сахарная отжнмнея линия 1. ьЧевй, М. (1997). Мог!с!!ьпд апсй сальто! а1 а видат сгивипд вйайоп. МЕ ТЬез!в, !Лерзгйшепй о1 Е!есйпса1 апс| Сопьрпйег Епб|пеегшб, ТЬе !Лп|чегв|йу о1 Хеигсзвй!е, Апзйгвйа.
Проблемы чуястяителъности 1. Воуб, Я.Р. апсй Вапайй, С.Н. (1991). Ььпеаг Сопйгойет Юевьдп-Итльйв а1 Ретуогтпапсе. Ргепй|се-На|1, Еп81еигоос! С!ИГя, |ь!.Л. 2. |уоу!е, Л.С. апс| Бйеьп, С. (1981). Мп|й|чвпаЫе 1еес|Ьвс1с с|ев18п: Сопсерйя 1ог а с!вяз|с/шобегп вупйЬевьв. 1ЕЕЕ Тгапвасйьопв ап Аийотпайьс Сопйп|, 26(1):4- 16. 3. Ровй1ейЬьзаййе, 1., Ейчвгс|в, ты.Л., апс! Масраг1впе, А. (1981). Рппс1ра! башз апб ргшс!ра1 рЬвзез |и йЬе апа1ув1в о1 Ипеаг пш1й|чег|аЫе Гесс!Ьас1с вувйепьв. 1ЕЕЕ 2)апвасйьопв ап Аийопьайьс Сапйтаб 26(1):32-46. 4. Ровс!ейЬьчаййе, 1.
апс! Масраг|апе, А. (1979). А Сошр!ат УайаЫе АрртоасЬ йа йЬе апа1увьв о1 !ьпеаг МиетатъаЫе Реес|ЬасЬ Яувйетпа Ьесйпге пойея |и сопйго! апс| 1п|оппайоп зс1епсев, Чо). 12, Ярппбег-Чег!аб. Проблемы робестности 1. 1)аЫеЬ, М. апб В|аз-ВоЫ|1о, 1. (1995). Сои!то! о1 Упсетйаьп Бувйепьв. Ргепй|сеНай, Епб!еигоос! СИЕв, ь ь.Л. 2. Бйоогчобе1, А.
(1992). ТЬе Н Сап!то! РтоЫстл: а вйайе яраса арртаасЬ. Ргепй|се-НаИ, Еп81ечгооб С!И|я, |с!.Л. 3. ЕЬоп, К., Воу!е, Л.С., апб 61очег, К. (1996). Еойивй апс! Орйтла! Сои!то!. Ргепйьсе-На|1, !Лррег БабсИе Вьчег, Ы.Л. 24.15. Задачи для читателя 803 24.15. Задачи для читателя Задача 24.1. Рассмотрим М1МО-объект размерности 2 х 2, имеющий передаточную функцию 24.1 1. Вычислите неминимально-фазовые нули системы и связанные с ними левые и правые направления.
24.1.2. Определите ограничения чувствительности, связанные с этими нулями. Задача 24.2. Рассмотрим М1МО-объект размерности 2 х 2, имеющий номинальную модель (24.15.2) 24.2.1. Покажите, что эта система имеет неминимально-фазовый взаимный нуль и вычислите связанные с ним левые направления. 24.2.2. Аналогичен ли этот случай случаю четырех резервуаров, рассмотренному в примере 24.1? Обсудите результаты. Задача 24.3.
Рассмотрим тот же объект, что и в задаче 24.2. Нужно спроектировать контур управления с обратной связью, который обеспечивает нулевую установившуюся ошибку для постоянных эталонных сигналов и полосу пропускания в обоих каналах, равную 0.5 рад/с.
24.3.1. Спроектируйте регулятор с диагональной дополнительной чувствительностью. 24.3.2. Спроектируйте регулятор с нижней треугольной дополнительной чувствительностью. 24.3.3. Сравните реализацию этих двух проектов. Задача 24.4. Рассмотрим М1МО-объект с номинальной моделью Со(з) = Со1ч(з) [Со1э(з)) 1 где Сов(3) = (24 15.3) 24.4.1.
Определите направления, связанные с неустойчивым полюсом. 24.4.2. Определите ограничения, воздействующие на выход регулятора и(1) для ступенчатого выходного возмущения в т'-м канапе (1 = 1,2). 804 Глава 24. Фундаментальные ограничения в М)МО-управлении Задача 24.5. Выведите ограничения во временной области для дис- кретных систем, имеющих неминимвльно-фазовые нули и неустойчивые полюсы.
24.6.1. Вычислите модель [СьоЩ (в) для дискретной системы. 24.6.2. Определите ограничения во временной области, определяемые неустойчивыми полюсами и неминимально-фазовыми нулями (если они есть). Задача 24.7. Рассмотрим контур управления с обратной связью для М1МО-объекта размерности 2 х 2, имеющего неминимально-фазовый нуль в точке в = 2 и единственное связанное с ним левое направление ?гт = [1 — 1]; из уравнения (24.6.3) видно, что для ступенчатого входа в любом из каналов мы имеем 1тьу(в)е *'тМ= (у1(Ф) — уэ(Ф))е ~~й= 0 о .го (24.15.5) где уд(Ф) и рэ(1) — выходы объекта в каналах 1 и 2 соответственно. Уравнение (24.15.5) может навести на мысль, что мы можем избежать недорегулирования, если спроектировать регулятор, обеспечивающий дополнительную чувствительность, где Ты(в) = Тгп(в) и Тгэ(в) = Т22(в), потому что в этом случае ут(1) — уэ(г) = 0 для всех $.
Почему эта идея не имеет смысла? Задача 24.8. Рассмотрим М1МО-систему, имеющую модель 2( — в+ 3) 0.5( — в+ 3) (-в+ св) 0.5(в + 1) — ~9 — (в + 2) -1 05 25 2 (в + 1)2(в + 2) (24.15.6) Если о = 3 и ~8 = 1, найдите все ограничения во временной области для управления с обратной связью для этой системы. (Напомним читателю, что может быть больше одного левого направления, связанного с неминимально-фазовым нулем.) Задача 24.6. Рассмотрим М1МО-объект размерности 2 х 2, имеющий передаточную функцию 20 [ 1 0.2(в+ 5)1 ( — 2)(в+ 5)2 ~ — 0.125(в+ 5) 2 Этим объектом нужно управлять с помощью цифрового регулятора с периодом квантования Ь = 0.1 с и экстраполятором нулевого порядка. Введение Эта заключительная часть книги охватывает некоторые продвинутые идеи М1МО-управления.
Мы начнем в гл. 25 с расширения на М1МО-системы параметризации регулятора, описанной в гл. 15 для Я1БО-случая. Наконец, в гл. 26 мы объединим многие идеи книги. Наша цель здесь состоит в том, чтобы описать некоторые продвинутые идеи проектирования. Наряду с этим мы также хотим показать читателю, что, достигнув этого пункта, он может понимать весьма сложные проблемы проектирования. В частности, мы покажем, как полная динамическая и частичная развязка может быть достигнута с помощью регуляторов, обладающих одной или двумя степенями свободы. Мы также покажем, как динамическая развязка может быть сохранена при наличии ограничений на амплитуду и скорость нарастания сигнала исполнительного механизма. Глава 25 Параметризация М!МО-регуляторов 25.1.
Введение В этой главе мы расширим методы проектирования Б1БО-систем гл. 15 на М1МО-случай. Мы найдем, что многие проблемы являются общими для Б1БО- и М1МО-случаев. Однако имеются и специфические проблемы в М1МО-случае, что объясняет отдельное рассмотрение этих систем. Ключевым фактором, ведущим к этим различиям, опять-таки является то, что М1МО-системы имеют пространственную связь, т. е. каждый вход может воздействовать более чем на один выход и на каждый выход можно воздействовать более чем одним входом.
Последствия этого факта далеко идущие. Примеры трудностей, которые являются результатом этих взаимодействий, включают устойчивость, неминимально-фэзовые нули с их свойствами направленности и характеристики отслеживания. Несмотря на зти различия, центральной проблемой в проектировании М1МО-системы управления все еще остается формирование (приблизительной) инверсии. Снова из-за взаимодействий инверсия более сложная, чем в Б1БО-случае и мы поэтому должны будем разработать более сложные средства для достижения этой цели.
25.2. Аффинная параметризация: устойчивые М! МО-обьекты Отсылаем читателя к гл. 15 и, в особенности, к разд. 15.3, где мы представили параметризацию всех стабилизирующих регуляторов для устойчивой линейной системы. Обобщение на мультипеременный случай непосредственное. Действительно, все регуляторы, которые обеспечивают устойчивый замкнутый контур для данного устойчивого объекта в 808 Глава 25. Пврвметриэвция М!МО-регуляторов разомкнутом состоянии, имеющего номинальную передаточную функцию С„(з), могут быть выражены в виде С(з) = [1 — Щв)Со(з)) ~Щв) = Я(в)[1 — Со(з)Щв)] 1 (25.2.1) где Щз) — любая матрица устойчивых собственных передаточных функций.
Результирующие номинальные функции чувствительности равны Эти матрицы передаточных функций одновременно устойчивы тогда и только тогда, когда Щв) устойчива. Основное свойство выражений (25.2.2)-(25.2.5) — то, что они являются аффинными относительно матрицы Щз). Мы используем зто свойство ниже, когда будем обсуждать различные задачи проектирования. Замечание 25.1. Заметим, что следующие выражения яеляютпся. ЛМДО и ПМДО для номинального обвектпа и регулятора. Ср(в) =1 — Я(в)Со(в) См(в) = С)(з) (25.2 6) Ср(з) =1 — Со(в)Щв) Сит(в) =С2(з) (25.2.7) Сор(в) = 1 С ы(в) = С (в) (25.2.8) С„р(в) = 1 Сом(в) = Со(в) (25 2 9) Фактически, такой выбор говоригп о том, чгпо (22.12.22) удоелегпеоряетпся и, следовагпгльно, что устойчиеостпь вамкнугпого контпура гарантируется при усгпойчивой Щз).
Отсюда можно сделать вывод, что (25.2.6) и (25.2.7) — подходящее магпричное дробное описание (МДО) для регулятора, которое облегчит последующие процедуры проекгпирования. ППП Идеализированная целевая функция чувствительности — Т(в) = 1. Тогда мы видим из (25.2.2) и (25.2.3), что проектирование Щз) сводится к задаче нахождения (приблизительной) правильной инверсии для С„(з), такой, что компромиссы приблизительно обеспечиваются в различных частотных областях.
Отсылаем читателя к равд. 15.3.2, где рассмотрены следующие проблемы в 81ЯО-задаче определения приблизительных инверсий: 25.4. Относительная степень модели 809 ° неминимально-фазовые нули; ° относительная степень модели; ° компромиссы возмущения; ° величина управления; ° роб асти ость; ° неуправляемые компоненты. Те же самые проблемы возникают и в М1МО-случае, но они дополнены проблемами направленности. Далее мы исследуем для М1МО- случая проблемы относительной степени, робастности и неминимальнофазовых нулей.
25.3. Достигнутые чувствительности Как и в Б1БО-случае, мы должны различать номинальные чувствительности и достигнутые чувствительности. Результаты равд. 20.8 здесь также используются. Например, достигнутая чувствительность, как и в (20.8.3), имеет вид Б(е) = Бо(а)[1+ С1д|(е)То(е)] (25 3 1) = [1 Со(е)Ще)][1+ С,(е)Щв)] (25.3.2) где С,(е) — аддитивная ошибка модели, определенная аналогично (4.12.1): С(а) ~о(а) + Ст(а) 25.4. Относительная степень модели Напомним из гл. 15, что в Б1БО-случае, когда мы имели дело с проблемами относительной степени модели, то просто добавляли дополнительное фильтрование, чтобы получить соответствующую бисобственную передаточную функцию. Тот же самый принцип используется и в М1МО-случае, за исключением того, что в качестве фильтра необходимо взять бисобсгвенную матричную передаточную функцию, что намного более интересно, чем в Б1БО-случае.
Чтобы понять зто, сделаем паузу, чтобы рассмотреть проблему относительной степени в М1МО-случае. 25.4.1. Относительная степень в М1МО-случае Проблема степени М1МО-модели является более тонкой, чем в Б1БО- случае. В следующих разделах мы определим относительную степень в М1МО-случае и исследуем некоторые из ее свойств. 810 Глава 25. Параметризация М!МО-регуляторов а) Матрицы взаимодействия Теорема 25.1. Рассмотрим квадратную матрицу С(з) передагпочных функций размерности т х т, невырожденную почти всюду в з. Тогда существуютп уникальные передаточные матрицы сь(з) и 4н(з) (известпные как левая и правая матрицы взаимодействия соответственно), при которых выполнлюптся условия (25.4.2) и (25.4.3) и такие, что справедливы равенсгпва сь(з) = Нь(з)1зь(з) Рь(з) =Лай(зя',...,з"") 1 О Ьзьт(з) 1 Нь(з) = "зт(з) "зз(з) (25.4.6) 'тгл1 (з) чи2 (з) Вспомним, что относительная степень 8180-модели, среди всего прочего, устанавливает нижнюю границу относительной степени дополнительной чувствительности.
В ЯРО-случае мы говорим, что относительная степень (скалярной) передаточной функции С(з) является степенью полинома р(з), такого, что 1пп р(з)0(з) = К где О < ~К'1 < оо (25.4.1) Это означает, что функция р(з)С(з) бисобственная, т. е. (р(з)0(з)) также собственная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
