Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Теорема 24.1 (Дополнительная чувствительность и неустойчивые полюсы). Рассмотрим М1МО-систему с неустойчивыти полюсом, расположенным в з = 77 = ст+ 2Р' и имеющим связанные с ним направления дт,дг,...,д„,. Тогда 1) 1 оо — 1П][ТО(707)],*дъ]Щт70,07) =1П[ВГГ(туо)дтт]; Г Е т7;; 7 = 1,2,...,Р77 7à — 00 т т 0 (24.7.5) 2) 1 оо — 1п[[ТО(7' >)]Г,д;]«Й(77О,Го) > 1п]д,„[; г Е ~7;; 7à — оо т Г б 7 =1,2,...,77л (24.7.6) где ст ГОО «Г1(770,07) = «а7 =: / «Щ710,07) = 7Г (24.7.7) г+ (, 73)г Доказательство 1) Сначала заметим, что 1п(т;„(з)) = 1п([В;(з)]„„[ТО(з)],,д;) — скалярная функ74ия, аналитическая в отпкрытой ППП.
Если мы вычислим 1п(т;„(з) при з = 770, то после использования (24.5.4) и (24.7.3) получаем 1п(ттэ(77 )) = 1п([В;(770)]ГГ [ТО(770)],,д;) = д;Г(770) (24.7.8) Затем можно использовать формулу Пуассона — Йенсена, приведенную в лемме С.1.
Отсюда следует требуемый результата. 2) Заметим, что из-за нахождения г; и 77 в ППЛ [[В;(770)]ГГ] > 1; тогда 1П)[В;(770)]т„д;т[ = 1П][В;(770)],„[1П[дтт[ > 1П[д;„] (24.7.9) 24.8. Ограничения интеграла Пуассона на М!МО-чувствительность 781 Замечание 24.2. Хотя (24.7.5) — более точное условие, чем (24.7.6), это ограничение зависит от регулятора. Результат, представленный в следующем выводе, независим от регулятора. ППП Вывод 24.1. Рассмогприм теорему 24.1; тогда (24.7.6) можно также записать в виде | 1п][То(2от)]„,[НЙ(г1е,со) > 1п . ЙП(т1„го) (24.7.10) Доказательство Сначала заметим, что 1п][То(2аг)]г,д;] = 1п ~ две[То(тго)]ь, = 1п[[То(тго)]гг]+ 1п(д;„) йеи — 1п '" " (24.7.11) г гвидо,[Т (уьт)]г„ Требуемый резульгпат следует после использования (24.7.11) в (24.7.6) и после использования свойства ядра Пуассона в (24.7.7). ППП 24.8.
Ограничения интеграла Пуассона на М! МО-чувствительность Когда обьект имеет неминимзльно-фазовые нули, результат, подобный полученному в теореме 24.1, может быть установлен для функции чувствительности 8 (з). Сначала заметим, что вектор Ь~Яо(з) может быть умножен справа на матрицу В',(з), чтобы получить вектор и;(з): иг(з) = 1т; Бо(з)В',(з) = [ии(з) игг(з) ... итие(з)]1 в = 1,2,...,гт, (24.8.1) где В',(з) — диагональная матрица, в который каждый диагональный элемент [В';(з)] — скалярная инверсия произведения Блашке, сконструированная так, чтобы 1п(иг (з)) была аналитической функцией в открытой ППП. Это означает, что г.
[В',. ( )],, = П (24.8.2) г=т з ргг где руы й = 1,2,...,г' — неустойчивые полюсы т-го элемента вектора„1ттв ( ) 782 Глава 24. Фундаментальные ограничения в М!МО-управлении Определим также вектор-строку Ег(з), где Я (з) [В';(з)) ы ~, (з) 1,т(з)В1(з) =: = [Ьгг(з) ... Бьп(з)~ (24.8.3) 6~ (З) [В,'. (З)]лтп7 Далее опРеделим набоР целых чисел 77гч соответствУющий индексам ненулевых элементов вектора Ь;: 'Р'; = (г[й;„~ 0); 7 = 1,2,...,77, (24.8.4) Тогда мы имеем следующий результат. Теорема 24.2 (чувствительность и неминимально-фазовые нули). Рассмотрим М1МО-обвект, имеющий неминимально-фазовый нУль пРи з = го = 'У + 7б с соогпвегпствУюЩими напРавлениЯми Ь~, Ь~,...,1Р„; тогда чувствигпгльность в любом контуре управления для эгпого обаекгпа удовлегпворяет условиям 1 ) 1п[77; [Бо(7со))*г[дй(го>со)=1п[777г[В (гоКтт[; ГЕ ч';; 7'=112)...
нир 7Г со (24.8.5) 2 ) — 1п[Ь; [Б (Уса))„„[ИЙ(г„со) > 1пЩ; и б 77',; 7 =1,2,...,77р 7Г со (24.8.6) где ай(го,со) = г 2сго7 =Ь 1 г7Й(го,а7) = 7г (24.8.7) 7'+(ы-б)' Доказательство Доказательство осуществляется по гпой же самой схеме, что и у теоремы 24.1. пап Вывод 24.2. Рассмотрим схему в теореме 24.2. Тогда условие (24.8.6) может гпакже быть записано в виде 24.9.
Интерпретация 783 Доказательство Сначала заметим, что 1п]11; [Я (21о)],т[=1п ~~> Ьтв[Я (тот)]а„=1п[[Я (2со)]„т[+1п(Ьг„) Йет7' — 1 ~'с[Я (2")]тт (24,8.9) Еа,у йга[Бс(2 )]ь. Результат получаетпся после использования (24.8.9) в (24.8.6) и использования свойства ядра Пуассона (24.8.7). ППП 24.9. Интерпретация Теорема 24.2 показывает, что в М1МО-системах, как и в Б1БО-системах, имеется компромисс чувствительности по оси частот. Чтобы исследовать эту проблему, рассмотрим следующую лемму.
Лемма 24.4. Рассмотрим 1-й столбец (1 Е т71) в выражении (24.8.6), т. е. 1-й столбец чувствитпельностпи [Б ],1. Кроме тпого, предположим, чтпо по тпехническим требованилм необходимо, чпюбы ]Б„(2от) [а1 < еы « 1 Уот Е [01отс]; й = 1,2,...,т (24 9 1) Тогда справедливо следутотцее неравенство: (24.9.2) где (24.9.3) Доказательство Сначала заметим, что ]й( [Я (уат)]м[ < ~ [1тга [[Я.(2о )]а1 а=1 пт < г с = ~~- я=1 ]тттт[гг1 для — сос < ы < юс Асс = ~',™~, [Ьга[[[[Я„]а1[[, дяя [СО[ > Отс (24 д 4) 784 Глава 24. Фундаментальные ограничения в М!МО-управлении 1 00 т 1п(Ь ) Г ю' — 1п]Л; [Яо(уат)].г]дй(го> а>) ( ! ГР (го> ы) Нй( ) 1 Нй(го>ы) (24 9 5) 7Г / 7Г ы Тогда заметим после использования (24.8.7) и (24.9.3), что 1п(Ьс) — 1п(Ь ) "' 1п(Ьс) — 1п(Ь ) (го> ы)— Ф(атс) 7à — Ю тг а после использования (24.8.7) 1п(Ь, ) дй(г„ат) = 1п(100) 7à — 00 (24.9.7) Если мы теперь используем (24.9.4) — (24.9.7) в (24.8.6), то получим 7г1п(]ЛИ]) < (к — т|7(а>с)) 1п(100) + Яыс) 1п(1 с) (24 9 8) Окончательный резульгпагп следует после использования определения Ь, и Х„из (24.9.4).
С>ПС> Эти результаты подобны аналогичным для 8180-контуров управления, так как мы также получаем нижние границы для пиков чувствительности. Кроме того, эти границы растут с требованиями к полосе пропускания, т. е. когда мы хотим, чтобы параметр еы стал меньше и/или когДа мы заДаем большее значение ьтс. Однако главное различие заключается в том, что в М1МО-случае граница в (24.9.2) является линейной комбинацией пиков чувствительности.
Эта комбинация определяется направлениями, связанными с рассматриваемыми неминимально-фазовыми нулями. Мы уточним этот результат в равд. 26.6, где добавим дополнительное ограничение, что система замкнутого контура должна быть полностью развязана по диагонали. Рассмотрим теперь выражение (24.8.6). Сначала разделим интервал интегрирования ( — оо,оо) на ( — оо,— ат,) 0[ — 07„0) О [0,07,) 0[аг„оо) и затем применим (24.8.6), заменял ]ЛТ[80(уго)]„] его верхней границей на каждом ингперввле: 24.10.
Промышленное приложение: сахарный отжимной пресс 78$ 24.10. Промышленное приложение: сахарный отжимной пресс 24.10.1. Описание модели В этом разделе мы рассмотрим проект регулятора для типичного промышленного процесса. Он был выбран потому, что включает существенное мультипеременное взаимодействие, несаморегулируемый характер и неминимально-фазовое поведение. Детальное описание процесса моделирования и управления можно найти в ссылках, приведенных в конце главы.
Рассматриваемый сахарный отжимной пресс представляет одну из многочисленных стадий во всем процессе. Схематическая диаграмма отжимной линии показана на рис. 24,2. Отдельная ступень этой отжимной линии показана на рис. 24.3. На этом отжимном прессе жом (в промежуточной форме), который является размолотым сахарным тростником, подается с помощью промежуточного транспортера от предыдущей ступени процесса. Далее он подается в накопительный желоб. Материал подается в загрузочный лоток, находящийся под давлением, через клапанный механизм и задающие валки под давлением.
Клапэнный механизм может управляться гидравлическим приводом, изменяющим геометрию выхода и объем накопительного желоба. Задающие валки под давлением захватывают жом и подают его в загрузочный лоток, также находящийся под давлением. подготовленный С] от ревательного устройства н входных конвейеров ая 11 1/ 11 (1 1 11 11 ж Ф' 11 У 11 оронка сок того отжнмного пресса четвертый Отжим ной пресс Рис. 24.2. Сахарная отжимная линия 78Б Глава 24. Фундаментальные ограничения в М!МО-управлении подача ЗАГРУЗОЧНЫЕ ВАЛКИ ;, ПОД ДАВЛЕНИЕМ за размачиваняе под промежуточныл жом паровая турояна сок кожух ОТЖИМНЫЕ ВАЛКИ Рис. 24.3.
Одна ступень отжимного пресса Тростник далее подается в загрузочный лоток, находящийся под давлением, через отжимные валки. Загрузочный лоток, находящийся под давлением, увеличивает степень давления жома, потому что вращательная скорость загрузочных валков несколько выше, чем скорость отжимных валков. Отжимные валки имеют такие пазы, чтобы выжатый сок не мог убежать. Углубления формируют грубую поверхность так, чтобы отжимные валки отжимного пресса могли захватывать тростник.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
