Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Цель этой системы состоит в том, чтобы брать большие камни и заставлять их размалывать друг друга, чтобы получить камни небольшого размера. Модель обычно описывается уравнением Глава 24 Фундаментальные ограничения в М!МО-управлении 24.1. Введение Возможно, лучшим способом изучить реальные проблемы проектирования является рассмотрение практических приложений. Мы надеемся, что из чтения различных учебных примеров, которые мы представили, читатель получил некоторое представление, что для всестороннего подхода к вопросу обычно необходимы наиболее реальные задачи. В частности, мы обращаем внимание на четыре учебных примера М1МО-систем, описанных в гл. 22.
В этой главе мы применим более абстрактный подход и расширим вопросы проектирования, рассмотренные в гл. 8 и 9, на М1МО-случай. Как прелюдия к этому, мы напомним из гл. 17, что комбинацией наблюдателя и обратной связи по восстановленному состоянию полюса замкнутого контура М1МО-системы могут быть точно (или приблизительно) назначены в зависимости от используемого метода синтеза.
Однако как и в 81ЯО-случае, это оставляет открытым два ключевых вопроса: где должны быть помещены полюсы и каковы связанные с этим проблемы компромисса чувствительности. Это поднимает фундаментальные проблемы проектирования, которые являются М1МО-вариантами тем, обсужденных в гл. 8 и 9. В гл. 8 и 9 было показано, что свойства 8180-объекта в разомкнутом состоянии налагают фундаментальные и непреодолимые ограничения на достижимые характеристики замкнутого контура. Например, мы видели, что для контура с одной степенью свободы, двойной интегратор в передаточной функции разомкнутого контура подразумевает, что интеграл ошибки из-за ступенчатого эталонного воздействия должен равняться нулю. Мы также видели, что вещественные нули в ППП обязательно подразумевают недорегулирование в ответ на ступенчатое эталонное воздействие.
Как можно было ожидать, подобные понятия применимы и к мульти- переменным системам. Однако в то время как в 81ЯО-системах имеется 24.2. Передаточная Функция замкнутого контура 771 только частотная (или временнная) ось, по которой осуществляются ограничения, в М1МО-системах существует пространственное измерение: могут быть компромиссные ограничения между различными выходами так же как и между частотами. Это означает, что необходимо также принимать во внимание взаимодействия между выходами, а не сосредотачиваться только на одном выходе. Эти проблемы будут исследоваться ниже. 24.2.
Передаточная функция замкнутого контура Рассмотрим М1МО-контур вида, показанного на рис. 24.1. Опишем модель объекта Со(з) и регулятор С(з) в ЛМДО- и ПМДО- форме: Со(з) = г'оьт(з)[Сов(з)) = [Сов(з)] Сом(з) (24.2.1) С(з) = Сьт(з)[Св(з)] ~ = [ Св(з)] С1ч(з) (24.2.2) Напомним, что из леммы 20.3 для устойчивости замкнутого контура необходимо и достаточно, чтобы матрица А,1(з) была инверсно-устойчивой, где А 1(з) = С в(з)Св(з)+Сом(з)Сьт(з) (24.2.3) Для целей анализа в этой главе мы будем продолжать считать, что М1МО-объект квадратен, т. е.
его модель является матрицей передаточных функций размерности т х тп. Мы также предполагаем, что матрица С„(з) невырожденная для почти всех з и, в частности, что т1е~ Со(0) ~ О. Рис. 24.1. Замкнутый М1МО-контур 772 Глава 24. Фундаментальные ограничения в М!МО-управлении Для использования в будущем мы обозначим 1-й столбец матрицы 8 (а) через [Б (а)]„и й-ю строку матрицы То(а) через [Т (а)]в„так что [Т (а)]ы [Т.( )],„ [То(а)]~.
(24.2.4) Б (8) = 1[8 (8)]*1 [8 (а)] 2 [Б (а)] ] для всех ы в интересующих диапазонах частоты. 24.3. Принцип внутренней модели для М! МО-случая При проектировании 8180-управления основной целью обычно является достижение нулевых ошибок установившегося состояния для некоторых классов эталонных сигналов и возмущений. Однако мы также видели, что это требование может производить вторичные воздействия на переходные процессы этих ошибок. При проектировании М1МО-управления появляются аналогичные особенности, как мы далее покажем. В гл.
20 мы показали, что для достижения нулевых ошибок установившегося состояния при ступенчатых эталонных входных сигналах в каждом каналенеобходимо, чтобы Т (О) =1е=» 8 (О) =0 (24.3.1) Ранее в книге мы видели, что достаточное условие для получения этого результата состоит в том, что мы можем представить регулятор в виде С(в) = — С(а) где т1еФ(С(0)) ф 0 (24.3.2) 1— На практике это обычно достигается путем помещения по одному интегратору в каждом канале ошибки сразу же после того, как будет сформирован е;(Ф) = г;(~) — р;($), т = 1,2,...,т.
Вышеупомянутая идея может быть обобщена, чтобы охватить более сложные эталонные входные сигналы (линейные сигналы, синусоиды и т. д.) и возмущения. Все, что необходимо, это добавить соответствующие функции, формирующие эталонный сигнал или возмущение, что приводит к М1МО-'варианту принципа внутренней модели. В гл. 20 мы видели, что хорошее номинальное отслеживание, как и в 8180-случае, связано с проблемой низкой чувствительности в некоторых диапазонах частот. Исследуя это требование, мы видим, что оно может быть удовлетворено, если будет выполняться условие [1+ С (уы)С (Зы)] ~С (2ы)Со(уы) 1 (24.2.5) 24.5. Полюсы и нули в ППП 773 24.4.
Стоимость принципа внутренней модели Как и в 8180-случае, принцип внутренней модели требует затрат. Как иллюстрация этого, следующий результат расширяет лемму 8.1 на муль- типеременный случай. Лемма 24.1. Если требуются нулевые ошибки установившегося со- стояния при линейном входном эталонном сигнале на т-м канале, необходимо, чтобы 1пп — [Б (з)),„=0 1 и, как следствие, в контуре с одной стпепенью свободы (24.4.1) | е,'($)й = 0 1 = 1, 2,...,т (24.4.2) о где е,"(Ф) обозначает ошибку в в'-м канале, возникающую от входного ступенчатого эталонного воздейстпвия в т-м канале. Доказательство Аналогично доказательству леммы 8.1.
ППП 24.5. Полюсы и нули в ППП В случае Я130-объектов мы нашли, что ограничения характеристики тесно связаны с наличием в разомкнутом состоянии полюсов и нулей, расположенных в ППП. Мы увидим дальше, что это также истинно и в М1МО-случае. Прежде чем получить эти результаты, мы сначала напомним соответствующие определения полюсов и нулей из гл. 20. Интересно обратить внимание на существенно мультипеременный характер результата леммы 24.1: интеграл ошибок всех каналов равен нулю в ответ на ступенчатое эталонное воздействие только в одном канале. Мы будем наблюдать подобные ситуации и в случае полюсов и нулей, расположенных в ППП.
Более того, лемма 24.1 показывает, что все компоненты выхода М1МО-объекта будут иметь перерегулирование относительно своих установившихся значений, когда происходит ступенчатое изменение эталонного воздействия в т-м канале. Мы подчеркиваем, что это происходит из-за присутствия двойного интегратора в данном канале. Единственное исключение из этого явления будет для выходов тех каналов, для которых нет никакой связи с каналом т. 774 Глава 24. Фундаментальные ограничения в М!МО-управлении Рассмотрим модель объекта С„(з), заданную выражением (24.2.1). Вспомним из гл. 20, что х, является нулем С (з), с соответствующими левосторонними направлениями Ьт~, Ьг~,..., Ь~~, если де$(С м(г )) =0 и Ьтв(Сом(г )) =0 1=1,2,...,р, (245.1) Точно так же мы говорим, что т1о — полюс С„(з), с соотвегствующими правосторонними направлениями дмда,...,д„,, если г1ев(С тз(г1,)) = 0 и (С ту(п„))д; = 0 т = 1,2,...
„ир (24.5.2) Если мы тепеРь пРеДположим, что ге и т1 не компенсиРУютсЯ РегУ- лятором, то справедлива следующая лемма. Лемма 24.2. С ге и т1о, определенными выше, Доказательство Следуегп непосредственно из формул (20.5.3), (20.5.4), (24.5.1), (24.5.2) и равенсгпва Бо(з) + То(з) = 1. ППП Мы видим, что как и в 8180-случае, полюсы разомкнутого контура (т.
е. полюсы С (з)С(з)) станут нулями 8„(з) и нули разомкнутого контура (т. е. нули С (з) О(з)) станут нулями Т„(з). Однако мы должны теперь рассмотреть свойства, связанные с нулевыми направлениями, чтобы лучше понять проблемы М1МО-характеристик. 24.6. Ограничения во временной области Мы видели в лемме 8.3, что присутствие полюсов и нулей в ППП имело определенное значение для временных характеристик замкнутых систем. Существует следующий М1МО-вариант леммы 8.3.
Лемма 24.3. Рассмотрим М1МО-кангпур управления с обратной связью, имеющий усгпайчивые полюсы в замкнутом состоянии, расположенные левее от -ст для некогпорого ст > О. Предположим также, чгпа для эгпалонных ступенчагпых входных сигналов ва всех каналах ошибка в установившемся состоянии равна нулю. Тогда, для нуля обзекта го с левосторонними направлениями Ьт, Ьг,..., Ь„и полюса обвектпа т1о с правосторонними направлениями дыдо,...,у„„, которые удовлетворя- ют Условиям Я(го) > -ст и Я(т1 ) > -ст, спРаведливо следцющее: 1) Для положительного единичного ступенчатпого эталонного сигнала в т-ом канале | ЬЬефе-в,тат ~ . в 1 2 ттв (24 6 1) О где Ь;„— г-й компонент Ь;.
2) Длл (положительного или отрицательного) единичного ступенчатого выходного возмущения в направлении д;, 1 = 1,2,...,рр, результпирующол ошибка е(с) удовлетворяетп условию (24.6.2) 3) Для (положитпельного или отрицательного) единичного стпупенчатого этпалонного воздействия в г-ом канале и при условии, что го находится в ППП, | Ь; у(г)е "Ф=О; О (24.6.3) т' = 1, 2,..., р, (24.6.4) Если мы умножим слева на ЬТ обе стороны равенства, то получим Ь~Е(з) = ЬТБ (з)Е(з) = ЬтБ (,) ° ' Ьте(,);отд, О где  — постоянный вектор. Вычислял выражение (24.6.5) при з = г (который находится в области сходимостпи преобразования Ла- пласа) и используя (24.5.6), мы имеем, что ЬтЕ( ) =ЬтБ ( ) — =Ьт — = Ьт Я ' 1М (24.6.6) зо го О откуда результпат получим, если все эталонные сигналы задать равными нулю, за исключением сигнала в г-ом канале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
