Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Доказательство 1) Мы знаем, что 24.6. Ограничения во временной области 775 | е(4)е "'аг=О О Е(з) =Б (з)В(з)= / ефе *тат то 776 Глава 24. Фундаментальные ограничения в М!МО-управлении 2) Мы знаем, что для данного выходного возмущения Р„(з) = 1д; ошибка определяется выражением У(з) = Т (з)В(з) = / у(г)е "аг (24.6.8) зо Если мы умножим слева обе частпи равенства на Ьтт, то получим 6( У(з) = Ьт Тп(з)Я(з) = / Ьт уЯе '~ав (24.6.9) /о Результата следуетп из вычисления (24.6.9) при з = г и использования (24.5.5). ППС1 Замечание 24.1. Когда г„и т1 находятся в ППП, части 2) и 3) леммы 24.3 справедливы для любого входного сигнала, чье преобразование Лапласа сходится для Я(з) > О. ППП Сравнение леммы 24.3 с леммой 8.3 ясно показывает мультипеременный характер этих ограничений.
Например, (24.6.2) выполняется для возмущений, поступающих из конкретного направления. (24.6.1) также применяется к конкретным комбинациям ошибок. Таким образом, свойство недорегулирования может (иногда) разделяться среди различных каналов ошибки, в зависимости от направленности нулей. П ример 24.1 (Аппарат с четырьмя резервуарами, продолжение). Рассмотрим снова аппарат с четырьмя резервуарами из примера 20.4 и примера 21.3. Для случая 'у1 = 0.43, 7г = 0.34 имеется неминимально-фазовый нуль гь = 0.0229. Связанное с ним левосторонне нулевое направление — приблизительно [1 — 1]. Следоватпельно, из леммы 24.3 мы имеем (у1(т) — уг(1))е *'аг = 0 (24.6. 10) о оо ( 1)1 1 (Е1(1) — Ег(ь))Е ' аь = о гь для единичного эталонного сигнала в 1-м канале.
(24.6.11) Гго Е(з) = -Бп(з)Р,(з) = — Яп(з)-дв = / е(г)е "аг (24.6.7) з о отпкуда результата получим, вычислив (24.6.7) при з = т1 и используя (24.5.3). 3) Доказательстпво основывается на фактпе, что область сходимости преобразования Лапласа для у($) и гЯ включаетп открытую ППП, где находится г,. Тогда 24.6. Ограничения во временной области 777 Нуль в этом случае является нулем взаимодействия; следовательно, мы не обязательно получаем недорегулирование в реакции.
Однако имеютпся ограничения на степень взаимодействил, которое должно произойти. Это объясняет высокий уровень взаимодействия, наблюдаемого на рис. 21.4. Нз (24.6.10) и (24.6.11) мы видим, ото фактически имеюгпся два пути, позволяющие справиться с этим ограничением. 1) Если мы допускаем связь в заключительной реакции, то можем распределить ограничение между выходами; т. е.
можем удовлегпворить (24.6.10) и (24.6.11) при наличии реакции уг(4) и, следовательно, ег($), когда ступенька эгпалонного сигнала прикладывается к первому каналу и наоборот. Это могло бы позволить нам избегнуть недорегулирования за счет наличия взаимодействия. Величину взаимодействия необходимо увеличивать, если полоса пропускания увеличивается за го.
2) Если мы проектируем, обеспечивая (приблизитпельно) развязку каналов, то гполько один из выходов может быть отличен от нуля после каждого из возможных эгпалонных изменений. Это подразумевает, что в таком случае должно произойти недорегулирование. Мы также видим, что недорегулирование произойдет в обоих каналах (тп.
е. эффект единственного нуля в ППП теперь влияет на оба канала). Это — пример растекания, происходящий из-за динамической развязки. Как обычно, величина недорегулированил, гпребуемого, чтобы удовлетворить (24.6.10) и (24.6.11), растет при увеличении полосы пропускания за г„. ППП Тогда (24.6.1) дает Г Ь,,е„(1)е "а1 = —; о «о или, для Ь;„ф О, (24.6.13) т'=1,2,...,р, | 00 ег(4)е "'Я =в о (24.6.14) которое является точным ограничением, применяемым в 6180-случае. Интересно пронаблюдать воздействие динамической развязки на (24.6.1). Если мы можем получить проект с этим свойством (тема будет более глубоко проанализирована в гл. 26), то это приведет к тому, что для эталонной ступеньки в г-ом канале не будет никакого воздействия на другие каналы: еь(в) =0 для Чает, 'ет)0 ПВ Глава 24.
Фундаментальные ограничения в М!МО-управлении Пример 24.2. Рассмотприм следующую передаточную функциют з-1 2(з — Ц (з+ Ц2 (з+ Ц2 1 е ( +цг ( +цг тл (з) = (24.6.15) Мы видим, что г = 1 — нуль с направлением Ьт~ —— [1 О], которое, очевидно, является каноническим. В этом случае (24.6.Ц дает | [1 О] е(т)е та1=/ ет(г)е тЖ= — =1 о О гь (24.6.16) для стаупенчатого входа на первом канале.
Заметпим, что в этом случае результпат тот же самый, что и в (24.6.14), тп. е. не нужна никакая плата за развязку. Однако если мы вместо этого рассмотрим обзект з — 1 (з+ цг 2(з — Ц 1 (з+ Ц2 С (з) = (24.6.17) (з+ цг (з+ цг то ситуация кардинально меняется. В этом случае г = 1 — нуль с направлением Ьт = [е — 1], как мы видим, не каноническим.
Таким образом, (24.6.Ц даетп для ступенчатого эталонного воздейстпвия в первом канале | [в — 1] е(т)е 61 = (еет(г) — ег(1))е ат = — = е О /о го (24.6.18) Таким образом, мы заключаем, что динамическая развязка устраняет возможность распределения нулевого ограничения среди различных каналов ошибки.
Другое интересное наблюдение — то, что (24.6.14) выполняется для любого го, имеющего направление с любым компонентом, отличным от нуля в т-ой позиции. Таким образом, в то время как (24.6.Ц используется для комбинации ошибок, (24.6.14) применяется для скалярной ошибки и имеется отдельное ограничение для каждого нуля, имеющего направление с любым компонентом, отличным от нуля в т-ой позиции. Таким образом, (24.6.14) подразумевает, что один нуль может появиться более чем в одном ограничении ошибки. Это можно рассматривать как плату за развязку.
Единственный случай, когда нуль не распространяет свое влияние на многие каналы — это когда соответствующее нулевое направление имеет только один компонент, отличный от нуля. Тогда мы называем соответствующее нулевое направление каноническим. 24.7. Ограничения интеграла Пуассона на дополнительную чувствительность 779 и для ступенчатого эталонного воздействия во втором канале | со — 1 (еет(Ф) — ег(Ф))е гас = — = — 1 О го (24.6.19) Если, с другой стороны, нам необходима динамическая развязка, то получаем для единичного ступенчатого эталонного воздействия в первом канале | 00 1 ет (с)е тдс = — = 1 О го (24.6.20) и для ступенчагпого эталонного воздействия во втором канале Г 00 ег(с)е 'от= — =1 О го (24.6.21) Ограничения во временной области, рассмотренные выше, также согласуются с ограничениями в частотной области, которые являются М1МО-расширениями результатов для 8180-случая, приведенных в гл.
9. Они будут рассмотрены далее. 24.7. Ограничения интеграла Пуассона на М!МО-дополнительную чувствительность Разработаем М1МО-вариант результатов, представленных в разд. 9.5. Заметим, что вектор Т„(з)д; может быть умножен слева на матрицу В;(в), чтобы получить вектор т;(з): тп (в) тг2 (в) т;(з) = В;(з)Т (в)рл = т = 1,2,..., ут„(24 7.1) т; (з) где В;(в) — диагональная матрица, в которой каждый диагональный элемент [В;(в)]Л вЂ” инверсия скаляра произведения Блашке, построенного так, чтобы функция 1п(т; (з)) была аналитической функцией в открытой ППП. Это означает, что [В'( )],, = и',",".
(24.7.2) Видно, что в этом примере небольшая связь от канала 1 к каналу 2 может быть очень полезна для удовлетворения условия (24.6.18), если е ~ О, в то время как (24.6.20) и (24.6.21) .требуют, чтобы нуль был абсолютным в обоих скалярных каналах. ППП 780 Глава 24. Фундаментальные ограничении а М!МО-улраалении где г ы 77 = 1,2,...,г являются неминимально-фаэовыми нулями 2-го элемента вектора Т (з)дь Аналогично определим вектор-столбец д;(з) следующим образом: [В;(з)]пдп(з) дтч(з) дт(з) = В'( )дт = (24.7.3) [вт(з)] д;„,(з) д;, ( ) Далее определим набор целых чисел т7ь соответствующих индексам элементов вектора дь отличных от нуля: ~7;=(г[дт„~О); 7=1,2,...„и~ (24.7.4) Теперь мы можем сформулировать теорему, которая описывает ограничения, наложенные на дополнительную чувствительность наличием неустойчивых полюсов разомкнутого контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
