Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Наша цель заключается в том, чтобы для данного знания внешнего сигнала г1е и текущей измеренной величины состояния х(0) (сигналы, которые будут позже заменены оценками в реальном масштабе времени) найти управляющую последовательность из М шагов (и(0),и(1),..., и(М вЂ” 1)), которая минимизирует показатель характеристики с конечным диапазоном: где Ф > О, Ф > О, Фг > О. Заметим, что эта функция стоимости— небольшое обобщение функции, данной в уравнении (22.7.3) гл. 22. В (23.5.5) 1у' — диапазон предсказания, М < 1у' — диапазон управления.
стояний. Предположим, что система описывается следующей линейной стационарной моделью: 23.5. Линейные модели с квадратичной функцией стоимости 753 где х(1) х(2) тт(0) тт(1) А Аг (23.5.9) А~У Л= и(М вЂ” 1) х(М) В АВ 0 0 0 0 0 В Х,= Ам-тВ Ам-гВ Ам В Ам-тВ АгВ . АВ Г= х, Ах, А ™В А ™х, Ан-~В Алт-гВ Тогда, используя (23.5.8), (23.5.9) и Ф = т1та8[С~ФС,..., С~ФС, Фу] Ф=с1та8[Ф,...,Ф] 17 [цт „т „т]~ В = [т1е(0) — Ие ~тле(1) т~е э этте(1т1 1) <~в~О] Е = с1та8[С~Ф, С~Ф,..., С~Ф] (23.5.10) (23.5. 11) (23.5.12) (23.5.13) (23.5.14) Мы предполагаем, что Ив(с) содержит изменяющиеся во времени компоненты наряду с постоянной составляющей. Пусть 4 обозначает постоянную (в установившемся состоянии) составляющую.
Пусть тогда в уравнении (23.5.5) тт, и х, обозначают соответствующие установившиеся значения и и хн тт,=-[С(1-А) 'В] Ч, (23.5.6) х, = (1 — А) ~Втт, (23.5.7) Минимизация (23.5.5) выполняется при условии, что управление достигает своего установившегося значения после М шагов, т. е. тт(с) = тт„ 'у'с > М. В присутствии ограничений на входе и выходе эта задача динамической оптимизации просто определяет нахождение решения нединамической ограниченной квадратичной программы.
Действительно, из (23.5.1) и используя Вттв = (1 — А)х„мы можем записать Х вЂ” Х, =ГУ+Лх(0) -Х, (23.5.8) 754 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление мы можем выразить (23.5.5) в виде ,7о = ет(О) Фе(0) + (Х вЂ” Х,) тФ (Х вЂ” Х,) + (1>' — Уа) ~Ф(У вЂ” 5Га) +2(Х Х )тЕб+Йто1а8(Ф,...,Ф)П вЂ” д, +11тРЦУ+ 2УтУ (23.5.15) В (23.5.15) значение,7п не зависит от У и ЪЧ 1 ФФГ+ Ф > 'Ч = ГтФ [Л.х(0) — Ха] — ФУ> + Г~ЯХ2. (23 5 1б) 5Г=-'УУ 'Ч (23.5.17) Далее мы вводим ограничения в формулировку задачи.
Ограничения по амплитуде н скорости на входе и выходе объекта могут быть выражены следующим образом: иипп < и(>с) < и>пах> й = 0,1>...,М вЂ” 1 уппп < у(1г) < утах> 1а = 1>2» ° ° ° 5Г 1 ~1ит>п < и(1е) иЖ 1) < ~>>птах~ 1с = 0,1>...,М вЂ” 1 (23.5.18) (23.5.19) (23.5.20) Эти ограничения могут быть выражены как линейные ограничения У следующего вида (23.5.21) Ь5Г< К Замечание 23.3. Как иллюстрация для ИБО-случая Ь и К имеют следующий вид ьГтах ьГт>п 1гтах х ппп гп>ах > ппп (23.5.22) К= \ где 1 — единичная матрица размерности М х М (М вЂ” диапазон управ- ления). Из (23.5.15) видно, что если проект без ограничений,,уо минимизируется при условии 23.5. Линейные модели с квадратичной функцией стоимости 755 тУ вЂ” следуютцад матирица размерностпи М х М (23.5.23) 0 Э вЂ” следуютцая матприца размерности (Ф вЂ” 1) х М СВ САВ (23.5.24) о= САВ СВ САВ СА~У гВ СА'У-мВ СА'У-м-'В иппп иптвх Упип пх (23.5.25) ипвп х ппп Аипт1п Литах (23.5.26) — уппп+САхп+ат у„„— САхо — Ыт т ппп— и иптвх> иппп> Аип х 1Хипт1п упвх, упйп — верхние и низсние границы и(Й), (и(Й) — и(Й вЂ” 1)) и у(Й) соответственно.
ППП СА~ В САмВ и(0) + Лип,вх ~~итак у,пв„— СА~ 'х,— дат 1 — 2;:о ~ СА'Ви, и(0) Ьипт1п зиппо — уппп+СА 'хп+ду т + ~ й™г САтВ (23.5.27) 756 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление Оптимальное решение ((йогт(0))т (йогт(1))т (йогт(м 1))т~ (23 5 28) может быть количественно получено с помощью следующей задачи статической оптимизации: ЦОРГ аг5 ш1п ~/Т~Я~/+ 21ГТ1Г (23.5. 29) ее<к Замечание 23.4. В вышеупомянугпой разработке мы предположили, что 1 — не собственное значение А. Имеется несколько способов учесгпь случай, когда 1 — собственное значение А.
Например, в ИЯО- случае, когда имеегпся единственное собсгпвенное значение, равное 1, то и, = О. Также мы можем записать модель пространства состояний таким образом, чтобы иптеграгпор был перемещен к выходу, т. е. х(й+ 1) = Ах(й) + Ви(й) х'(й + 1) = Сх(й) + х'(й) у(й) = х'(й) (23.5.30) где А, В и С соогпветствуют модели пространства состояний объекта с уменьшенным порядком, т. е. объекта без интегратора. С эгпим преобразованием матрица (А — 1] иевырождена и, следовательно, 0 де (23.5.31) х' Задача модельного прогнозирующего управления тогда решаегпся в терминах этих преобразованных переменных состояния. Предлагаем читателю рассмотреть более общие случаи.
ОПП Таким образом, оптимизация является выпуклой задачей благодаря квадратичной стоимости и линейным ограничениям. К тому же можно для решения этой подзадачи использовать стандартные числовые процедуры (называемые алгоритмами квадратичного программирования или для упрощения ЯР— Япаг1га11с Ргобгапшпп5). Многие пакеты программирования (например, МАТ1АВ) дают стандартные средства для решения ЯР-задачи. Таким образом, мы не будем здесь останавливаться на этом аспекте. Заметим, что мы используем только первый элемент управления и~~~(0). Затем вся процедура повторяется для следующего момента времени с постоянным диапазоном оптимизации.
23.6. Восстановление состояния и предсказание возмущения 757 23.6. Восстановление состояния и предсказание возмущения В вышеупомянутом описании алгоритма модельного прогнозирующего управления мы приняли для простоты внутреннего представления, что состояние системы (включая все возмущения) было доступно, Однако относительно легко расширить все на случай, когда переменные состояния непосредственно не измеряемы. Основная идея в этом варианте модельного прогнозирующего управления заключается в том, что требуются только выходные данные для замены неизмеряемого состояния оценкой в реальном масштабе времени с помощью подходящего наблюдателя. Например, можно было бы использовать фильтр Калмана (см. гл. 22), чтобы восстановить текущее состояние х(й)' по наблюдениям выхода и входа 1у(с),тз(с);с = ...,й — 2,й — Ц.
Возмущения также могут быть включены в эту стратегию добавлением соответствующих фильтров, формирующих шум, как описано в разд. 22.10.4. Алгоритм модельного прогнозирующего управления также требует, чтобы были предсказаны будущие состояния и возмущения для выполнения оптимизации для следующих диапазонов.
Чтобы сделать это, мы просто распространим на этот случай детерминированную модель, полученную от объединения системы и модели шума, как описано в разд. 22.10.5 — см., в частности, уравнение (22.10.80). Рис. 23.14. Структура модельного прогнозирующего управления с одной степенью свободы 23.6.1. Регулятор с одной степенью свободы Регулятор с обратной связью по выходу и с одной степенью свободы получается включением уставки в переменные, которые будут восстановлены. Стратегия модельного прогнозирующего управления с результирующей обратной связью по выходу схематично изображена на рис.
23.14, 758 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление где Со(а) = С(г1-А) а — передаточная функция объекта, а наблюдатель имеет структуру, рассмотренную в разделах 22.10.4 и 22.10.5. На рис. 23.14 ЯР обозначает квадратичную программу, используемую для решения задачи оптимального управления с ограничениями. 23.6.2. Интегрирующие свойства Важный вывод состоит в том, что структура, изображенная на рис. 23.14, обладает интегрирующими свойствами. В частности параметр у, взятый в качестве уставки у„независим от реального описания объекта (при условии, что достигнуто установившееся состояние и что в этом установившемся состоянии параметр и не ограничен).
Чтобы показать это, сделаем следующее. Пусть (г1(е)) содержит только постоянные величины: тогда наблюдатель, предназначенный для восстановления этих неизвестных констант, будет иметь вид 1,(Е+ 1) = й,(Е) + Ю„(е® вЂ” Сх(4) — а,(4)) (23.6.1) где (х(4)) обозначает восстановленные значения других состояний объекта. Мы видим, что если достигнуто установившееся состояние, то должно быть истинно, что 4(4+1) = ов(а), и, слеДовательно, пРи,74 ф О, имеем е(г) = Ся(г) + А (а) (23.6.2) Теперь закон управления обладает таким свойством, что выход модели Сх(Р)+сЦР) в установившемся состоянии принимает значение, равное нулю.
Таким образом, исходя из (23.6.2), должно быть также истинно то, что фактическое значение (е(4)), измеренное на выходе объекта, должно также быть равно нулю в установившемся состоянии. Однако рис. 23.14 тогда указывает, что при этих условиях в установившемся состоянии ошибка отслеживания нулевая. 23.7. Стабилизация качки судна с помощью перекладки руля Здесь мы приведем реальное приложение модельного прогнозирующего управления для стабилизации качки судна с помощью перекладки руля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
