Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Проектирование через методы оптимального управления установившегося состояния. Однако интересный факт, который читатель может легко проверить, — то, что время переходного процесса узкополосного фильтра обратно пропорционально его полосе пропускания. Это означает, что в установившемся состоянии имеется следующий фундаментальный компромисс проекта: ° С одной стороны, хотелось бы иметь узкую полосу пропускания, чтобы получить хорошую селективность частоты и, следовательно, хорошее шумовое подавление.
° С другой стороны, хотелось бы иметь широкую полосу пропускания, чтобы минимизировать начальный переходный период. Это — неизбежное раздвоение в случае любого стационарного фильтра. Возможно, проницательный читатель мог бы сказать: хорошо, почему бм не начать с широкополосного фильтра, чтобы минимизировать переходннй процесс, а затем сузить диапазон фильтра, когда сигнал сформирован? Если вы думаете так, то вы совершенно правы. Действительно, это именно то, что делает изменяющийся во времени фильтр Калмана. В частности, если начать с решения уравнения Риккати, задав начальным условиям Р(1о) некоторую большую величину, то результирующий фильтр будет первоначально иметь широкую полосу пропускания.
Как только решение уравнения Риккати будет достигнуто, Р($) уменьшится вместе со связанной с ней полосой пропускания фильтра. Действительно, нестационарный фильтр Калмана дает оптимальный изменяющийся во времени компромисс между уменьшением времени переходного процесса и точным охватом гармонических компонентов.
Таким образом, операция получения лучшего компромисса между избирательностью фильтра и временем переходной реакции должна использовать изменяющийся во времени фильтр. Другой вопрос, который читатель может задать: насколько узкой, в конечном счете, станет окончательная полоса пропускаиия фильтра? Ответ на этот вопрос выдвигает другой фундаментальный компромисс проектирования оптимального фильтра. Читатель может проверить, что модель, описанная в ((22.14.27), (22.14.28)), имеет неуправляемые компоненты (из-за шума процесса) на границе устойчивости.
Внимательное чтение свойств уравнения, связанного с фильтром Риккати, данное в приложении О, показывает, что Р(г) в этом случае сходится к установившейся величине, но это происходит, если матрица нулевая. Кроме того, соответствующий фильтр в этом случае неустойчив. Вы могли бы спросить: что же здесь не так, как надо? На самом деле, ничего.
Мы рассматривали фильтр в идеальной форме, когда не было никакого шума процесса. В этом случае фильтр мог (асимптотически) оценить состояния с нулевой ошибкой. Далее, 22.14. Промыаленные приложения 729 как только состояния будут определены, они могут быть предсказаны на будущее, используя резонансную модель ((22.14.27), (22.14.28)).
Эта модель имеет полюсы на границе устойчивости и таким образом не является устойчивой! (Действительно, полоса пропускания фильтра была уменьшена до нуля.) Трудность состоит в том, что мы имеем сверх-идеализированную проблему. Практически, частоты в сигнале эксцентриситета точно не будут известны (например, из-за скольжения). Гармонические компоненты также не будут стационарными (например, из-за эффекта нагревания валков). Моделируя эти эффекты, мы можем просто добавить небольшой шум процесса к правой части уравнения модели ((22.14.27), (22.14.28)).
В этом случае модель становится стабилизируемой со стороны шума. Тогда решение установившегося состояния уравнения Риккати оказывается положительно определенным, а окончательный фильтр будет устойчив и с конечной полосой пропускания. Это приводит нас к другому компромиссу проектирования. В частности, если, например, модель ((22.14.27), (22.14.28)) неточно известна (заданная интенсивность шума процесса Я большой величины), то окончательная полоса пропускания фильтра будет большой.
С другой стороны, если, например, модель ((22.14.27), (22.14.28)) имеет высокую степень точности (заданная интенсивность шума процесса малой величины), тогда окончательная полоса пропускания фильтра будет маленькой. Можно было бы подумать, что на практике для проектов, подобных рассматриваемому, часто возможно реализовать основные идеи более простым способом. Действительно, дело обстоит именно так.
Для окончательной реализации решение уравнения Риккати в реальном масштабе времени обычно не используется. Вместо этого используется изменяющийся во времени набор фильтров, который охватывает сущность формального оптимаеьмого проектирования. Этот вид заключительных упрощений типичен в приложениях. Окончательная система, описанная выше, была запатентована под названием АПБНЕС® и доступна как коммерческий продукт 1пс1пвФг1а1 АШоша$1оп Бегебсев РФу. 1Ы.
22.14.4. Управление вибрацией в гибких структурах Как было указано во введении к этой книге, новые исполнительные механизмы часто открывают удивительные новые возможности для усовершенствованного управления. Например, имеется существенный интерес к новым типам электромагнитных исполнительных механизмов н устройств, которые обладают высокой плотностью энергии преобразователей на основе современных материалов. Преобразователи на основе 730 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления Рис. 22.11. Управление вибрацией с использованием пьезоэлектрического исполнительного механизма современных материалов включают пьезоэлектрические, электрострикционные, магниторестрикционные и запоминающие форму сплавы.
Многие прикладные области существуют благодаря этим технологиям, особенно в управлении слабо развязанными системами. Чтобы проиллюстрировать принципы, используемые в приложениях этого вида, мы рассмотрим проблему проектирования регулятора для пьезоэлектрической слоистой балки, изображенной на рис. 22.11. В этой системе измерения производятся датчиком смещения, который приложен к концу балки, а пьезоэлектрическая накладка используется как исполнительный механизм. Цель регулятора состоит в том, чтобы минимизировать колебания балки.
Легко видеть, что это задача регулирования; следовательно, можно разработать линейный квадратичный регулятор для уменьшения нежелательных колебаний. Чтобы определить динамику структуры типа балки на рис. 22.11, нужно найти частное решение дифференциального уравнения в частных производных, которое известно как уравнение Бернулли — Эйлера для балки. Используя технику анализа методом нормальных волн, можно показать, что передаточная функция балки состояла бы из бесконечного числа слабо демпфированных колебательных элементов второго порядка, т.
е. передаточная функция от напряжения, приложенного к исполнительному механизму, до смещения конца балки, может быть записана следующим образом: (22.14.30) Обычно интересно спроектировать регулятор только для конкретной полосы пропускания. Поэтому часто (22.14.30) усекается, сохраняя первые тт' членов, которые находятся в пределах интересующей полосы пропускания. В этом примере мы рассматриваем специфическую систему, описанную в приложениях, приведенных в конце главы.
Рассмотрим только первые шесть членов этой системы. 22.15. Резюме 731 Тогда передаточная функция будет иметь вид 6 сзз С(з) = 7 с зг+2(,,„.з+ыг' (22.14.31) 22.15. Резюме ° Полное мультипеременное управление использует динамику взаимодействия строго и явно. ° Фундаментальный результат 8180-синтеза, гласящий, что при умеренных условиях полюсы номинального замкнутого контура могут быть назначены произвольно, переносится и на М1МО-случай. ° Эквивалентность расположения полюсов обратной связи по состоянию и в частотной области при решении (мультипеременного) диофантова уравнения также переносится на М1МО-случай. Здесь считается, что коэффициент ~ равен 0.002, а а; приведены в таблице, расположенной выше.
Сначала спроектируем линейный квадратичный регулятор. Здесь Ф вЂ” матрица, равная Ф = 0.1483йад(ю~~,1,...,ые~,1). Причина выбора такой матрицы весов состояний в том, что при этом выборе Ф квадратичная форма х(8)~ Фх(8) представляет общую энергию балки в любой момент времени, соответствующую ее шести колебательным звеньям. Матрица весов управления также выбрана несколько произвольно как Ф = 10 з. Далее устройство оценки состояния фильтра Калмана разработано при ь1 = 0.081 и К = 0.003.
Чтобы показать характеристику регулятора в замкнутом контуре, мы изобразили на рис. 22.12 импульсные характеристики системы с разомкнутым и замкнутым контуром. Можно видеть, что линейный квадратичный регулятор значительно уменьшает структурные колебания. На рис. 22.13 мы изобразили частотные характеристики балки при разомкнутом и замкнутом контурах. Можно видеть, что линейный квадратичный регулятор существенно заглушил первые три колебательных звена структуры. 732 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления х 10" 1.5 0.5 Рис.
22.12. Импульсные характеристики балки с разомкнутым и замкнутым контуром СЗ -100 хГ а Ч-12О $ И о -14О -130 1О 10 Частота )рал/с) Рис. 22.13. Частотные характеристики балки с разомкнутым и замкнутым контуром х1О 2 2 8 5 0 ~2 < О О.в я 1 'В 0.5 о о й -0.5 х я -1.5 'о 1 1.5 2 2Л 3 3.5 4 4.5 5 Время [с) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Время )с) 22.15. Резюме 733 Экаиаааентная технология синтеза Параметры настройки Относительные штрафы за ошибки управления в зависимости от управляющих воздействий Линейный квадратичный регулятор Эталонная модель дополнительной чувствительности замкнутого контура и взвешенный штраф за отличия контура управления Подбор модели Характеристический полнном замкнутого контура Назначение полюсов ° Сложности мультипеременных систем являются причиной использования синтеза, основанного на критерии (он кратко упоминался в Б130-случае), чтобы получить дополнительный мотив. ° Популярное семейство критериев — функционалы, вклеочшощие квадратичные формы ошибок управления и управляющих воздействий.
° В случае общей нелинейной формулировки оптимальное решение описывается двухточечной краевой задачей. ° В линейном случае (так называемый линейный квадратичный регулятор) общая проблема сводится к решению непрерывного динамического уравнения Риккати, которое может быть решено с использованием нестационарной обратной связи по состоянию. ° После затухания начальных условий оптимальное нестационарное решение сходится к постоянной обратной связи по состоянию, так называемому решению установившегося линейного квадратичного регулятора. ° Часто достаточно пренебречь начальным переходным процессом точного линейного квадратичного регулятора и реализовать только установившийся линейный квадратичный регулятор. ° Установившееся состояние линейного квадратичного регулятора эквивалентно о соответствующему подбору модели, где задана желаемая дополнительная чувствительность и регулятор выбирается так, чтобы он соответствовал настолько близко, насколько возможно, некоторой выбранной мере и о размещению полюсов, где задается характеристический полипом замкнутого контура и регулятор выбирается так,чтобы получить этот полипом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
