Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 115
Текст из файла (страница 115)
10. 20) чтобы получить др(1) (А Л(т)С)р(т)+р(т)(А Л(т)С)т+Л(е)ВЛ(г)т+~) (22.10.21) при условии, что Р(0) = Р„. Заметим, что мы использовали тот факт, .то О.(~) = ЛР)ВЛР)т+ О. Шаг 4 Затем мы выбираем Л($) для каждого момента времени так, чтобы параметр Р был как можно меньше. где Л($) — изменяющееся во времени усиление, которое следует опре- делить. Заметим, что (22.10.16) имеет ту же самую структуру, что и стандартный линейный наблюдатель, за исключением того, что она содержит изменяющееся во времени усиление наблюдателя.
22.10. Линейные оптимальные фильтры 703 Решение Завершим формирование квадрата в правой части (22.10.21), определив Л($) = Л'(Ф) + Л(8), где Л'(Ф) = Р(8)Ст К ~. Подставляя в (22.10.21), получим й (А Л(1)С ЩС)Р(~)+Р(~)(А ЛЩС Л(~)С)т +(Л.( )+Л( ))В(Л.( )+Л( ))т+Са (22.10.22) =(А — Л(~) С) Р(1) + Р ($) (А — Л(Ф) С) + Л'(1)НЛ'(1) + б4+ ЛИ)К(ЛИ)) Мы ясно видим, что Р(1) минимизируется в каждый момент времени, если выбрать Л(~) = О. Таким образом, значение Л*(1) является усилением оптимального фильтра, потому что оно минимизирует Р(т) (и, следовательно, Р(8)) для всех $.
Окончательно, оптимальный фильтр удовлетворяет условию — = Ах(а) + Л*(Ф) [у~(Ф) — Ся(т)] Ю(8) (22.10.23) где оптимальное усиление Л*($) удовлетворяет условию Л (8) =Р(8)С~К " (22.10.24) и Р(т) является решением уравнения при условии Р(0) = Р„. Уравнение (22.10.25) может быть также упрощено следующим образом: — = С~ — Р(Ю)СтР. 1СР(1)+Р(ф)Ат+ АР(1) (22 10 26) Ж Читатель узнает, что решение задачи оптимальной линейной фильтрации, представленное выше, имеет очень тесную связь с задачей линейного квадратичного регулятора, представленной в разд.
22.4. 704 Глава 22. Проектирование через методы оптимального упрввленив Замечание 22.3. Когда мы говорим о свойсгпвах, они обычно ограничиваются стационарным случаем (или тесно связанными с ним случаями, например, периодические сисгпемы). Таким образом, при обсуждении фильтра в установившемся состоянии обычно ограничиваюгпся случаем, когда А, С, Я, К и т. д. не являютпсл явными функциями времени. Свойства оптимального фильтра, следовательно, вытекают непосредственно из оптимальных решений линейного квадратичного регулятора согласно соответствиям, приведенным в табл.
22.1. Таблица 22.1 Соответствие между квадратичными регуляторами и фильтрами Регулятор Фильтр Например, часто интересен случай оптимального фильтра в установившемся состоянии, полученного, когда А,С,Сг и К независимы во времени и границы фильтрации стремятся к бесконечности. Дувльной к задаче оптимального управления является фильтр установившегося состояния, который имеет вид — = Ах+ Л~(у' — Сх) Их($) тМ (22.10.27) где (22.10.28) Замечание 22.2. Важно заметить, что в вышеупомянутом решении нет никакого различия, является ли система нестационарной (гп. е.
А,С,чг,В. и др. являются функциями времени) или нет. Это часто важно в приложениях. 22.10. Линейные оптимальные фильтры 705 и Р; — стабилизирующее решение следующего непрерывного динами- ческого уравнения Риккати: Я Р С~К вЂ” 1СРо+РооАт+АРоо 0 (22.10.29) Мы не будем здесь разбираться с нестационарными свойствами; их легко получить из соответствующих свойств оптимального регулятора. Для иллюстрации приведем без доказательства следующие факты, которые соответствуют данным в разд. 22.6.1 для оптимального регулятора: 1) Пусть система (С,А) определяема из у($) (читатель может судить, что это предположение разумно,— в конце концов, если система не определяема, то имеются неустойчивые состояния, чья реакция не может быть замечена на выходе и эвристически понятно, что тогда невозможно сказать что-нибудь существенное относительно этих состояний по поведению выходного сигнала); и 2) пусть все состояния системы подвержены шуму, тогда невозможно оценить их раз и навсегда и затем с помощью модели разомкнутого контура предсказать все будущие значения.
(Технически для этого т требуется, чтобы (А,Ят) была стабилизируема.) Тогда оптимальное решение уравнения фильтрации Риккати (22.10.26) стремится к установившемуся пределу Р;, когда 1 -+ оо. Этот предел имеет два основных свойства: е Р; является единственным неотрицательным решением матричного алгебраического уравнения Риккати (22.10.29), полученным при подстановке -~-). в (22.10.26). ° Когда эта установившаяся величина используется для формирования наблюдателя установившегося состояния, как в ((22.10.27), (22.10.28)), тогда наблюдатель обладает тем свойством, что (А— .1аооС) является устойчивой матрицей.
Это последнее свойство важно в приложениях. В частности, мы напомним, что ошибка х(1) между х(1) и х(1) удовлетворяет условию (22.10.19). Вариант установившегося состояния этого уравнения устойчив, если (А — 7'," С) — устойчивая матрица. 22.10.2. Фильтр установившегося состояния как детерминированная задача подбора модели Далее мы дадим альтернативу — вполне детерминированное представление оптимального фильтра как задачи подбора модели. Рассмотрим 706 Глава 22.
Проектирование через методы оптимального управленил Е.(в) = Р( )У.( ) (22.10.34) где Р(з) — вектор-строка размерности 1 х тп, соответствующий передаточной функции фильтра и Уо(з) = С(з1 — А) 'хо (22.10.35) Нам остается найти оптимальную величину для передаточной функции Р(з).
С этой целью мы рассмотрим все возможные начальные состояния х . Известно, что все такие состояния могут быть сформированы как линейная комбинация базисных векторов ет,...,еп, где е; = [0,...,0,1,0...,0]т. Таким образом, мы представляем в виде векторов выражения (22.10.33), (22.10.34), (22.10.35), заменяя х, каждым из вышеупомянутых векторов, т.
е. мы вводим векторы-строки Е = [зт,..., з„] (22.10.36) Е = [зт,...,з„] (22.10.37) и матрицу размерности тп х п х =[рт " Рп] (22.10.38) где т( 1 У;(е) =С(з1 — А) 'е; (22.10.39) (22.10.40) гт( ) = Р( )Ъ,( ) (22.10.41) Мы хотели бы, чтобы вектор-строка Е(з) был в некотором смысле близок к Е(з). Кроме того, мы хотим задать некоторый вес величине модель пространства состояний, как в ((22.10.1), (22.10.2)) без шума: т1х(т) <Й = Ах($); х(0) = х, (22.10.30) у,(1) = Сх(1) (22.10.31) Пусть нас интересует оценка скалярной комбинации состояния, которую мы обозначим через зв(т) = 7 х(т) (22.10.32) или в форме передаточной функции Е' (з) —.Гт(з1 А)-тх, (22.10.33) Наш фильтр должен быть линейной стационарной системой, которой управляет у,.
Это мы выразим в форме передаточной функции, требуя, чтобы 22.10. Линейные оптимальные фильтры 707 фильтра, чтобы избежать больших значений Р, которые увеличили бы высокочастотные компоненты в измерении возмущений. Критерий, который определяет близость Е к Й с учетом величины Р, — следующий квадратичный критерий в частотной области: з=) ($$аь Н' — ао ~~ц' ~-$$ао цЦа пьи4е где мы несколько произвольно ввели веса С) и В, чтобы иметь возмож- ность смещать баланс между вариантами близости Й к Е при большом усилении фильтра.
С учетом (22.10.33), (22.10.34), (22.10.35) критерий будет иметь вид (22.10.43) Интересно транспонировать величины в вышеупомянутом выражении. Это сохраняет норму, но смещает Р к интуитивно более интересному значению. Эта операция дает (22.10.44) Мы можем теперь думать о Рт как о векторе управления. В этой форме мы рассматриваем (22.10.44) как простую стандартную проблему подбора модели точно так, как это было рассмотрено в разд. 22.6 со следующими соответствиями: Р(,)т [1 Кз(з1 Ат+ СтКз)-~Ст)[Кт(з1 — Ат)-~7) (22 10 47 или Р(з) = Тт[з1 — А] ~Кт~[-1+ С(з1 — А+ КзтС) еКзт) (22.10.48) Теперь из-за конкретной структуры задачи уравнение Риккати и оптимальные усиления имеют специальную форму.
Конкретно, мы имеем, что уравнение Риккати имеет вид о=ф-РВа ВтР+РА+АтР (22.10.49) х = ~ ()!а~ - ън'Ф'))' ~ ))а~))'„) г а~ = (з1 — А ) ~С~ = Ж = Сз(з1 — Аз) ~Вз 7т = (з1 — Ат) -'-.~ — — ~ = С,(з1 — А,)-'В где Сз = Ст = 1, А~ = Аз = Ат, Вз = С и Вт = у. Из разд.
22.6 оптимальное решение (22.10.45) (22.10.46) 708 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления которое после использования конкретной структуры А, В, Ф и Ф дает с в Я1 ~РзС~В. ~СРв РзСК 'СРг1 С~ ~ [Р,стВ.-'СР,т Р,стВ.-'СР,~ Р тАт РгАт + АР т АРг (22.10.50) 0= где мы использовали А=[ ~; в=[ ]; Р=[ О=Я вЂ” РС В, ~СР+РА +АР (22.10.52) Мы также имеем, что Рг удовлетворяет уравнению Ц РСту-тСР т+Р тАт+АР т (22.10.53) Сложение (22.10.52) и (22.10.53) дает -РС В. ~С(Рзт+Р)+(Рзт+Р)Ат+А(Рвт+Р) 0 (22 1054) которое приводит к Рзт Окончательно = — Р =Рв.
(22.10.55) [К1 Кг] = а '[В тР В тР ] [ — К 'СР В. 'СР] Задание Лт = — Кт = Кг тогда дает (22.10.55) (22.10.51) Заметим, что в нашей задаче Ад = Аг = Ат, Вг = С и что Р = Рг удовлетворяет следующему частному уравнению: 22.10. Линейные оптимальные фильтры 709 Наконец, подставляя (22.10.56) в (22.10.48), мы имеем Р(з) = у~[з1 — А] ~Л[1 — С(з1 — А+ЛС) тЛ] = у~[з1 — А] т[1 — ЛС(з1 — А+ЛС) т]Л =тт(з1 — А) '[з1 — А+ ЛС вЂ” ЛС](з1 — А+ЛС) тЛ = у '[з1 — А+ ЛС] 'Л (22.10.57) Мы замечаем, что у~ появляется как сомножитель вне фильтра. Таким образом, мы фактически нашли результат, который может быть сведен к случаю, не зависимому от выбора 7.
В частности, заметим из (22.10.32) и (22.10.34), что оптимальный фильтр для оценки х просто равен (з1 — А+ЛС) ~Л. Эта передаточная функция может быть реализована в форме пространства состояний хе(1) = (А — ЛС)х(т) + Лу($) (22.10.58) что, как можно видеть, идентично фильтру установившегося состояния, данному в (22.10.27). Замечание 22.4. Вышеупомянутпый результат даетп чистпо детперминированное предстпавление оптимальной фильтрации и позволяетп нам находить компромисс между величиной ошибки и параметрами фильтра. Другие связи с детерминированной теорией оптпимального управления исследуются в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
