Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Он лежит в ЛПП, подгаверждая, что Р; действительно являегпся стабилизирующим решением. 1 2) а < О. Здесь (А, Фг) снова определяема. Таким образом, из леммы 22.1, часть а), имеегпся гполько одно неогприцагпельное решение непрерывного алгебраического уравнения Риккати. Это реиьение совпадаегп со сгпабилизирующим решением. Произведя вычисления, мы находим, что Рв = О и соответсгпвунпцее усиление обратной связи — К; = О, что приводит к полюсам замкнутого конгпура при рй = а, когаорые являются усгпойчивыми, потному что по предположению а < О.
1 3) а=О. Здесь (А,Ф5) имеет ненаблюдаемый полюс на границе усгпойчивости. Эта сигпуация не охвагпываегпся леммой 22.1. Однако можно проверигпь, что непрерывное алгебраическое уравнение Риккати имеегп гполько одно решение, а именно Ро, которое не являегпся стабилизирующим. 22.2.2. Чтобы изучигпь сходимость решений, мы снова рассмотрим два случал. Случай 1.
ф ф О Здесь (А, Ф т ) полностью наблюдаема. Тогда Р(ь) сходигпся к значению Р;, задаваемому выражением (22.5.7), для любого Р($7) > О. 692 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления Теория линейного квадратичного регулятора — мощный инструмент в проектировании систем управления. Мы проиллюстрируем его универсальность в следующем разделе, используя теорию ЛКР для решения так называемой проблемы подбора модели (ППМ). 22.6. Подбор модели, основанный на линейных квадратичных оптимальных регуляторах 22.6.1. Формулировка проблемы Многие проблемы в синтезе управления могут быть сведены до задачи следующего типа: Мы называем зто проблемой подбора модели.
Когда М(з) и Я(з)— матричные передаточные функции, нам нужно определить подходящую норму для измерения близостпи. В качестве иллюстрации мы рассмотрим матрицу А = [а;Д Е (У" пт, для которой определим норму Фробениуса следующим образом р гп ~~л~ь=,~,. л~л= ~1;ь„р т=1 1=1 (22.6.1) При этой норме подходящим критерием синтеза мог бы быть (22.6.2) Г = агя пшь7г ген Случай 2. 4 = О 1 1) а > О. Здесь (А,Ф ) не имеет ненаблюдаемых полюсов на мнимой оси тот, но оки не определяамы. Таким образом, Р(т) сходится к Р;, при условии, что мы выберем Р(4у) > Р; .
2) а <О. Здесь (А,Ф ) снова определлема и Р(в) сходится кРв для любого Р(ФГ) > О. в 3) и = О. Здесь (А, Фз) имеет ненаблюдаемый полюс на мнимой оси уго. Таким образом, лелле 22.2 ке применима. Фактически, Р(1) сходигпся к О для любого Р(гу) > О. Однако в этом случае куль— не стабилизирующее реитение. 0П0 22.6. Подбор модели, основанный на оптимальных регуляторах 693 где ,Уг = — 1 ~)МЦи)) — Ж(ги))Г(~о)Я сто) (22.6.3) 2)г.д „ и Б — класс устойчивых передаточных функций. Эту проблему можно преобразовать в векторную форму, представляя М и Г в виде векторов. Например, пусть Г является нижней треугольной матрицей и М, М и Г являются матрицами размерностей 3 х2, 3 х2 и 2х2 соответственно; тогда мы можем записать (22.6.4) где ~~ ~~ обозначает обычную евклидову векторную норму и где в атом конкретном случае Гдд(8) О(8) = Гдп(8) Ггг(8) Ч(8) = Ю'(8) = (22.6.5) 22.6.2.
Преобразование к временном области Далее мы выберем модель пространства состояний для 'Ч(8) и ут((8) в виде У(8) =Сд[81 — Ад] 'Вд (22.6.6) д)дг(8) = Сг(81 — Аг) ~Вг (22.6.7) где в случае векторов вида (22.6.5) Ад, Вд, Сд, Аг, Вг и Сг — матрицы размерностей пд х пд, пд х 1, б х пд, пг х пг, пг х 3 и б х пг соответственно. Перед продолжением решения проблемы подбора модели сделаем небольшое обобщение. В частности, иногда желательно ограничить размерность О.
Мы сделаем зто, обобщая (22.6.4) с помощью добавления дополнительного члена, который взвешивает О. Такой подход дает ге= — 1 (()ъоь) — тт(з )ее )(( ~-»в() )» )и (2268) где Г и К вЂ” неотрицательные симметричные матрицы. Мм (8) Мдг(8) М2) (8) Мгг (8) Мгд (8) Маг(8) д"т'д д (8) О ~гд(8) О ддгзд(8) О дд)дг(8) О О Ждг(8) д"угг(8) О О Лгг(8) й~зг(8) О О дд(82(8) 694 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления Тогда мы можем применить теорему Парсеваля (в равд.
4.10.2), чтобы преобразовать У)в во временную область. Передаточные функции в (22.6.6) и (22.6.7) устойчивы и строго собственные, так что это дает те=/ ())т~И) — т И)))1-'-)) Ю))ь)в Ртя9) где х) (0) Вт Используя (22.6.10) и (22.6.11) в (22.6.9), мы получаем ,7е) = $1х(1) Фх(т)+и(г) Ки(1))й до где х(Ф) = [хт(Ф)т хг(1)т] и (22.6.12) в = [ ' ] г [с, -с,] (22.6.13) Мы можем считать (22.6.10)-(22.6.12) стандартной задачей линейного квадратичного регулятора, как в равд. 22.4, где В= ~01 (22.6.14) 1Вг~ Замечание 22.1.
Заметим, что для получения преобразования задачи подбора модели в задачу линейного квадратичного регулятора основным шагам должна быть связь,С т [О(з)] с и(1). 22.6.3. Решение Нас интересует выражение и(г) как функция от х(г), т. е. и(~)= Кх(~)= [К, К,]' Гх,(1)1 (22.6.15) ~хг(1)~ такое, что,Уе) в (22.6.12) минимизируется. Оптимальная величина К— как и в (22.4.14). Мы также предположим, что значения А, В, Ф и т. д.— такие, что К соответствует стабилизирующему решению. хг(1) 0 Аг хг(~) Вг уг(г) 0 Сг хг(г) А=[ ]; (22.6.10) (22.6.11) 22.7.
Дискретные оптимальные регуляторы 695 Окончательно вход п(т) удовлетворяет уравнениям х(т) =Ах(~)+Во(1) х(0) = [В1~ О] и(~) = -Кх(~) (22.6.16) (22.6.17) В форме передаточной функции это дает выражение У(в) = Э(в) =-К(в1 — А+ВК) ~01 которое после задания конкретной структуры А, В и К дает О(в) = [ — 1+Кг(в1 — Аг+ВгКг) ~Вг] К1(в1 — А1) В1 (22 6 19) (22.6.18) 22.7. Дискретные оптимальные регуляторы Теория оптимальных квадратичных регуляторов для непрерывных систем может быть непосредственно расширена таким образом, что будет пригодна для дискретных систем. Мы кратко суммируем основные результаты без приведения доказательств — они аналогичны непрерывному случаю, описанному выше. Рассмотрим дискретную систему, имеющую следующее описание в пространстве состояний: х[й+ 1] = Аех[й]+ Веи[й] у[й] = Сех[й] (22.7.1) (22.7.2) Оптимальный квадратичный регулятор имеет вид и'[й] = — К„[й]х[й] где К„[й] — изменяющееся во времени усиление, равное (Е+ ВтР[й]В)-~ВтР[й]А (22.7.4) (22.7.6) где х Е и"",и Е м~ и у Е М'.
Для упрощения обозначений мы в оставшейся части раздела опустим нижний индекс д у матриц Ае,Ве и Се. Рассмотрим теперь функцию стоимости 696 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления где Р[й] удовлетворяет следующему дискретному динамическому урав- нению Риккати: Р[й] Ат (Р[й+1] Р[й+1]В(Ф+ВтР[й+1]В)-~ВтР[й+1]) А+Ф (22.7.6) Заметим, что это уравнение также должно быть решено при граничных условиях Р[йт] = Ф г (22.7.7) Вариант закона управления (22.7.4) для установившегося состояния (йу -+ оо) имеет вид по[й] = — Ко,х[й] где К = (Ф+В Р„В) В Р, А (22.7.8) где К, и Р, удовлетворяют соответствующему дискретному алгебраическому уравнению Риккати: А (Р Р В(Ф+Втр В) — Втр ) А+Ф Р О (2279) обладающему свойством, что А-ВКо, имеет все свои собственные значения внутри границы устойчивости, при условии, что (А, В) стабилизируема, а (А, Фь) не имеет ненаблюдаемых составляющих в единичном круге.
22.8. Связь с технологией назначения полюсов Заметим, что при разумных условиях установившееся состояние ЛКР гарантирует устойчивость замкнутого контура. Однако связь с точной динамикой замкнутого контура косвенная; она зависит от выбора Ф и Ф. Таким образом, на практике обычно требуется выполнить некоторую эмпирическую процедуру, чтобы получить удовлетворительную динамику~, ' замкнутого контура.
При некоторых обстоятельствах можно определить область, в которой должны находиться полюсы замкнутого контура, чтобы обеспечить нужное решение. Простой пример этого — когда мы требуем, чтобы полюсы замкнутого контура имели вещественную часть левее з = — гт для ст Е И+. Это можно получить перемещением мнимой оси с помощью преобразования (22.8.1) ю=а+ст Тогда Я(а) = -ст =~ Я(о) = О. 22.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
