Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Предположим, что мы хотим перевестпи начальное состояние хв в минимально возможное состояние как можно скорее в интервале (тв,Фу], но без затрагпы слишком больших управляющих усилий (измеряемых амплигпудой и) для достижения этой цели. Тогда задача оптимального регулятпора определяется как задача нахождения опто- 686 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управлении мального управления и(ь) на интпервале [ь,>,~у], гпакого, чтобы бьша минимизирована следующая функция стоимости: где Ф Е йп "и и Фу Е Кп" и — симметричные неотрицательноопределенные матрицы, а Ф 6 Ж " — симметричная положительноопределеннал матрица. ППП Для решения этой задачи может использоваться теория, полученная в резд.
22.3. Сначала установим следующие связи между общей задачей оптимальности и ЛКР-задачей: Г'(х(8), и(1), ~) = Ах(1) + Ви(1) (22.4.4) У(х, и, т) = х(1) Фх(т) + и($)~Фи($) (22.4.5) д(х(ту)) =х® Фух(47) (22.4.6) Тогда Иг(х(ь), и(т), в) = У(х(т), и(г), т) + ~ ' ~ 7" (х(~), (р),4) (д,~е(х(~),~) ~т дх Гд,7 (х(4) ~)1т =хЯтФх~1) + и(4)тФи(1) + ' (Ах(~) + Ви(~)) дх (22.4.7) Таким образом, чтобы получить оптимальное значение и, определяемое выражением (22.3.13), мы должны минимизировать гу(х($),и($),Ф). Это требует, чтобы мы вычислили градиент Иг(х(Ф), и(4), ~) относительно и и затем приравняли его нулю.
2Ф ( )+Втдз'(х(т),т) (22.4.8) ди дх Теперь, приравняв -~~ = О, мы видим, что оптимальный вход и'(т) определяется выражением ие(4) 1Ф тВтдд'(хИ) 4) (22.4.9) 2 дх Мы видим также, что определитель Гессе для УУ относительно и равен матрице Ф, которая, в соответствии с первоначальным предположением, положительно определена. Это подтверждает, что (22.4.9) дает минимум для Иг.
22.4. Линейный квадратичный регулятор (ЛКР) 687 Далее заметим, что,7'(х'(ву),17) = [х'(ву)]тФух (17). Мы видим, что это квадратичная функция состояния в момент $7. Можно по индукции показать, что это истинно для любого момента 1. Далее предположим, что оптимальная стоимость имеет вид Ло(хЯ,1) = хт(1)Р(1)х(1) с Р(1) = [Р(1)]т (22.4.10) Тогда мы имеем, что = 2Р(г)х(в) (22.4.11) дх д,Х'(х(1), $) т дР(1) (22.4.12) д1 Ж Если мы теперь используем в (22.4.9) выражение (22.4.12), то Мы также имеем из (22.4.7), что И~(х(1),ио(1),1) = хт(1)(Ф вЂ” Р(1)ВФ 'ВтР(1) + 2Р(~)А) х(1) (22.4.15) Чтобы вычислить Кн(1), нам сначала нужно получить Р(1), что можно сделать, используя (22.4.12) и (22.4.15) в (22.3.14); это дает — х~(1) — х($) =хт(1)(Ф вЂ” Р($)ВФ 1В Р(1)+2Р(1)А)х($) (224.16) Ж Заметим также, что 2хт($)Р($)Ах($) = хт(1)(Р(1)А+ АтР(1))х($).
Чтобы выражение (22.4.16) выполнялось для всех х(1), нам.требуется г1Р(1) Ф Р(1)ВФ-1ВтР(1) +Р®А+ АтР(1) (22 4 17) Уравнение (22.4.17) известно как непрерывное динамическое уравнение Риккати. Это уравнение следует решить относительно времени, чтобы удовлетворить граничным условиям (22.4.6), (22.4.10): Р(1,) =Ф, (22.4.18) Вышеупомянутая теория также хороша и для нестационарных систем, т. е. когда А, В, Ф, Ф являются функциями времени. Однако в стационарном случае можно сказать намного больше относительно свойств решения. Это является предметом рассмотрения в следующем разделе.
688 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления 22.5. Свойства линейного квадратичного оптимального регулятора Предположим, что А, В, Ф, Ф являются стационарными. Будем в первую очередь интересоваться тем, что произойдет, когда 4 -+ оо. Здесь мы суммируем основные результаты. Однако отсылаем читателя также и к приложению П, где дается более глубокое рассмотрение результатов.
Выделим два варианта результатов. В разд. 22.5.1 мы дадим краткий обзор основных свойств, используемых в простых задачах. В разд. 22.5.2 будут выделены более продвинутые результаты, такие, которые могли бы понадобиться в более сложных ситуациях. 22.5.1. Краткий обзор свойств Во многих простых задачах используются два ключевых предположе- ния: 1) Система (А,В) стабилизируема по отношению к и(4).
(Читатель может почувствовать, что это предположение разумно, — в конце концов, если система не стабилизируема, то ясно, что оптимальное управление не сможет исправить ситуацию.) 2) Все состояния системы соответственно представлены в функции з стоимости (22.4.3). Технически это означает, что система (Фт,А) является определяемой. При этих условиях решение непрерывного динамического уравнения Риккати Р($) сходится к установившемуся пределу Р;, при 47 -+ оо.
Этот предел имеет два основных свойства: ° Р; — единственное неотрицательное решение матричного алгебраического уравнения Риккати (22.5.1); в разд. 22.5.2 оно будет получено, если положить -21 = О в выражении (22.4.17). лги ° Когда эта установившаяся величина используется в законе управления с обратной связью, как в выражении (22.4.14), то полученная замкнутая система будет устойчива. Ясно, что последнее свойство является особо важным.
22.5.2. Более детальный обзор свойств Здесь мы будем часто ссылаться на приложение О, так что советуем читателю рассматривать приложение на своем компьютере в процессе чтения этого раздела. 22.5. Свойства линейного квадратичного оптимального регулятора 689 В некоторых приложениях полезно знать немного больше относительно свойств решения задачи оптимального управления, чем это дается в разд. 22.5.1. Такие результаты отражены здесь.
Лемма 22.1. Если Р(т) сходится, когда $у -+ оо, тогда предельное значение Реп удовлегпворяет следующему непрерывному алгебраическому уравнению Риккати: О=Ф вЂ” Р ВФ ~В Ре+Р А+А Ре (22.5.1) 1 Кроме того, если (А,В) стабилизируема и (А,Ф5) не имеет никаких ненаблюдаемых составляющих на мнимой оси, то сущестпвуетп единственное полоогсительное полуопределенное решение Р,', для непрерывного алгебраического уравнения Риккати, обладающее тем свойством, что матрица системы для замкнутого контура А— ВФ ~ВтР'„имеет все свои собственные значения в открытой ЛПП. Назовем это решение стабилизирующим решением непрерывного алгебраического уравнения Рикхати.
Другие свойстпва стабилизирующего решения следующие: а) Если (А, Фт) определяема, спшбилизирующее решение — единстпвенное неотрицательное решение непрерывного алгебраического уравнения Риххагли. б) Если (А, Ф ) имеет ненаблюдаемые компонепты в огпкрытой ЛПП, то стабилизирующее решение не является полоогсительно-определенным. 1 в) Если (А, Ф 5 ) имеет ненаблюдаемый полюс впе открытой ЛПП, тпо в дополнение к сгпабилизирующему решению существует, по крайней мере, одно другое неотрицательное решение непрерывного алгебраического уравнения Риххати.
Однако в эгпом случае стабилизирующее решение удовлетворяетп условию Р' — Реп > О, где Р,„, — любое другое решение уравнения Риккапш. Доказательство См. прилоэгсение Р. ППП Сходимость решения непрерывного динамического уравнения Риккати к стабилизирующему решению непрерывного алгебраического уравнения Риккати рассмотрена в следующей лемме. 990 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления йш Р(~) =Р' (22.5.2) тт -тве а (Лри условии, что (А,Фт) определяема, справедливо, что Р(гу) = Фу>О.) Доказательство См. приложение О.
ППП Проиллюстрируем вышеупомянутые свойства простым примером. Пример 22.2. Рассмотрим скалярную систему х(г) =ах(г)+и(г) (22.5.3) и функцию стоимости гтт (гу) г+ / (фх(,)г» и(,)г),Ц (22 5 4) о 22.2.1. Обсудить эту задачу оптпимального управления в свете леммы 22.1 и леммы 22.2. 22.2.2.
Обсудить сходимость решений непрерывного алгебраического уравнения Риххати Рв . Решение 22.2.1. Связанное с этим непрерывное динамическое уравнение Рихха- ти имеет вид Р(1) = — 2аРЯ+ Р(г) — тр; Р(37) = тру а непрерывное алгебраическое уравнение Рикхатпи— (Рв )г 2 Рв (22.5.5) (22.5.6) Случай 1. тр ~ О 1 Здесь (А,Фт) полностью наблюдаема (и поэтому определяема).
Из леммы 22.1, частпь а), имеется только одно неотрицательное решение непрерывного алгебраического уравнения Рихкати. Это решение совпадает со стабилизируютцим решением. Выполнив вычисления, мы находим, что единстпвенное неотрицательное решение уравнения равно 2 ц,г4 '<-4Ф 2 (22.5.7) 1 Лемма 22.2. Если (АгВ) стабилизируема, (А,Ф*) не имеет никаких неиаблюдаемых полюсов на мнимотг оси, а также если Р(47) = Фу > Р;,то 22.5. Свойства линейного квадратичного оптимального регулятора 691 когпорое приводит к следующему усилению обрагпной связи: К а+ т/ай+ ь~ь (22.5.8) Соответствующий полюс замкнутого контура равен р ь — ь/аг+ф (22.5.9) Ясно, что он находится в ЛПП, подтверждая, чгпо решение является действитавьно стабилизирующим решением. Случай 2. ф = О Здесь, мы рассмогприм три значения парамегпра а; одно — положительное, вгпорое — отрицательное и трегпье — равное нулю.
! 1) а > О. В згпом случае (А, Ф5) имеегп наблюдаемый полюс вне области устойчивости. Тогда из часгпи в) леммы 22.1 в дополнение к стабилизирующему решению сущесгпвуегп, по крайней мере, одно другое неогприцагпельное решение непрерывного алгебраического уравнения Рихкати. Произведя вььчисления, мы находим, что имеюгпся два неотрицательных решения уравнения: стабилизирующее решение Р; = 2а и другое решение Р' Мы видим, чпю Р;„— Р', >О и что Р', даегп усиление К;, = 2а, чпьо приводит к полюсу замхнугпого контура при р ь = — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
