Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 117
Текст из файла (страница 117)
ПОП Реализация регулятора в пространстве состояний позволяет непосредственно использовать результаты формирования наблюдателя и синтеза обратной связи по состоянию. Это полезно не только при моделировании, но также и при практической реализации регулятора. Можно также получить и правое матричное дробное описание (см. разд. 20.3.3) для регулятора. В частности, из леммы 20.1 следует, что [Стт(в)] ~Стч(в) = Стч(в)[Сгт(в)] (22.12.11) где где Хсп(в) и 1Ч7сьт(в) — матрицы полиномов и Г(в) — полинам обратной связи по состоянию, имеющий вид Г(в) = т1ес(з1 — Ао+ ВоК) (22.12.14) Точно так же, используя (20.3.24), (20.3.25) и лемму 20.1, передаточную функцию объекта можно записать в виде (22.12.15) где Сгу(з) =1 — Со(з1 — Ао+ВоК) Л = 1 1чсту(з) о о Стч(в) = К(в1 — Ао+ ВоК) Л = о Со(з) — Со[в1 Ао] Во = [Сов(в)] 'Со~ч(з) = Сом(зПСоуу(з)] ' Сотч(в) = Со(в1 — Ао + ЛСо) Во Соо(з) =1 — Со(з1 — Ао+ЛСо) Л Сотч(в) = Со(з1 — Ао+ ВоК) Во Соо(з) =1 — К(з1- Ао+ВоК) ~Во Тогда мы имеем следующий результат.
(22.12.12) (22.12.13) (22.12.16) (22.12.17) (22.12.18) (22.12.19) 716 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления Лемма 22.4. Чувствительность и дополнительная чувствитпельность, следующие из закона управления 22.12.5 равньг соогпветственно 8, (з) = Ср(з)С р(з) = 1 — С ьт(з)Стч(з) (22.12.20) То(з) = фогт(з)Сьт(з) = 1 — Ср(з)Сор(з) (22.12.21) Доказательство Из леммы 20.1 мы имеем, что Сор(з)Ср(з) + Сект(з)Сьт(з) = Ср(з)(лор(з) + Стч(з)Согч(з) = 1 (22.12.22) Используя (22.12.22) в (20.5.3) и (20.5.4), получим гпрвбуемый резульгпат.
ППП Из леммы 22.4 мы снова видим, что полюсы замкнутого контура расположены в нулях Е(з) и Г(з), как и в 8180-случае. 22.13. Получение интегрирующих свойств при синтезе линейного квадратичного регулятора Важный момент, пока еще не рассмотренный, — зто то, что оптимальное управление и оптимальная обратная связь по оценке состояния автоматически не обеспечивают интегрирующих свойств. Это свойство— структурная проблема, которая должна быть включена в решение. Отсылаем читателя к равд. 18.7, где обсуждены различные способы задания интегрирующих свойств (или общий принцип внутренней модели) в обратной связи по оценке состояния. Например, из части б) разд. 18.7 мы видели, что один способ задания интегрирующих свойств состоит в том, чтобы поместить набор интеграторов на выходе объекта.
Это может быть описано в форме пространства состояний следующим образом: х(1) = Ах(1) + Ви(1) (22.13.1) у(т) = Сх(т) й(1) = -у(1) Как и раньше, мы можем использовать наблюдатель (или фильтр Калмана), чтобы оценить х через и и у. Следовательно, в дальнейшем мы будем считать (без дополнительных комментариев), что х и г непосредственно измеряются. Составная система может быть описана в форме пространства состояний в виде х'(1) = А'х'(1) + В'и(1) (22.13.2) 22.13. Получение интегрирующих свойств при синтезе регулятора 717 где х' =; А' =; В' = (22.13.3) Далее мы определим обратную связь по состоянию (из х'(1)), чтобы стабилизировать составную систему.
Конечно, главный вопрос — является ли составная система управляемой. Достаточное условие этого определяется следующей леммой. Лемма 22.5. Каскадированная система (22.13.2)-(22.13.3) полностью управляема при условии, что исходная система управляема и у нее нет нулей в начале координат.т Доказательство Результат непосредственно следует из леммы 20.6. ППП Заключительная структура системы управления будет тогда такой, как изображено на рис. 22.2. Рис. 22.2. Интегрирующие свойства в М1МО-управлении Легко видеть, что эта идея может быть расширена на любую модель возмущения или эталонного воздействия, включая соответствующие полиномы, формирующие возмущение (принцип внутренней модели) вместо параллельных интеграторов на рис.
22.2. Соответствующая версия леммы 22.5 просто требует, чтобы полюсы возмущений/эталонных сигналов не были нулями исходной системы, точно так же, как в разд. 20.7.6. г Напомним, что если объект имеет один или несколько нулей в начале координат, его выход ие может управляться постоянным ограниченным сигналом. 718 Глава 22.
Проектирование через методы оптимального управления Проиллюстрируем эту идею следующим примером. Пример 22.4. Рассмотрим систпему с описанием в простпранстпве состояний, предстпавленном матрицами (А,В, С,О), где А= 5 3 , .В= 1 2, С= 1 1 (22.13.4) Нужно синтезировать линейный квадратичный оптимальный регулятор, который обладает интегрирующими свойстпвами и где функция стоимости определяется параметарами Ф и Ф, где Ф = 1 и Ф = 0.01*двад(0.1,1).
Решение Сначала выберем полюсы для наблюдатпеля состояния обвекта, которые будут расположены в тпочках — 5 и — 10. Это приводит к (22.13.5) Тогда регулятор будет формировать вход обеекта в виде линейной комбинации оценок состпояния обвекта и интегратпора.
Мы хотим создатпь оптимальный регулятор, формирующий полюсы замкнутого контура, расположенные в круге с центром в з = -3 и радиусом, равным единице (см. равд. 22.8). Так мы получаем оптимальное усиление обратной связи, имеющее вид 1 -4.7065 -2.0200 -8.0631 0.0619 1 ~ — 4.8306 0.3421 — 8.0217 -4.0244~ Этот проекта смоделирован в контуре с тпои же самой структурой, что и на рис. 22.2 (см. файл свп1.тИ пакета $1МОЫМК). Характперистика отпслеживания изображена на рис. 22.3, где прикладывались ступенчатпые эталонные воздействия. 22.14. Промышленные приложения Мультипеременные проекты, основанные на теории линейного квадратичного регулятора и фильтре Квлмана, составляют тысячи реальных приложений.
Действительно, недавно было сообщено, что имеется приблизительно 400 патентов в год, основанных на фильтре Калмана. Авторы данной книги также применяли эти методы в многочисленных реальных приложениях. Мы считаем, что фильтр Квлмана является 22.14. Промышленные приложения 719 ов Рис одним из наиболее мощных инструментов, доступных проектировщику систем управления. Основной вопрос в использовании этих методов на практике заключается в формулировке задачи; как только проблема должным образом изложена, решение — обычно довольно очевидно. Большая доля успеха в применении этой теории зависит от формулировки, поэтому мы заключим эту главу краткими описаниями четырех реальных приложений, с которыми авторы были лично связаны.
Наша цель представления этих приложений не состоит в том, чтобы описать все детали, что было бы за пределами возможностей этой книги. Вместо этого мы надеемся дать достаточную информацию такого плана, чтобы читатель мог видеть методологию, используемую в применении этих методов к различным типам задач. Конкретные приложения, которые мы здесь рассмотрим, следующие: ° Отслеживание геостационарного спутника. ° Оценка массы цинкового покрытия на непрерывных линиях гальванизации. ° Оценка эксцентриситета валков при управлении толщиной на прокатных станах. ° Управление вибрацией в гибких структурах. 22.14.1.
Отслеживание геостационарного спутника Известно, что так называемые геостационарные спутники, фактически, как будто колеблются на небе. Период этого колебания — одни звездные сутки. Если желательно направить приемную антенну точно на спутник, чтобы максимизировать полученный сигнал, то необходимо отследить это воспринимаемое движение. Требуемая точность наведения обычно в и ей нй и Ф Ф и з и мз и 4 5 6 7 В е 1о Время [с] 22.3.
Характеристика отслеживания проекта линейного квадратичного регулятора с интегрированием 720 Глава 22. Проектирование через методы оптимального управления путник Наземная станция Рис. 22.4. Спутник и определение угла поворота антенны пределах нескольких сотых градуса. Физическая установка такова, как показано на рис.
22.4. Можно было бы выполнить решение этой задачи с использованием разомкнутого контура следующим образом: дана модель (например, список углов наведения в зависимости от времени), антенна могла быть направлена в нужном направлении, определяемом кодирующими устройствами положения. Эта техника используется на практике, но она связана со следующими проблемами: ° Она требует высокой абсолютной точности в кодирующих устрой- ствах положения, антенне и структуре отражателя.
° Она также требует регулярного технического обслуживания для ввода новых параметров модели. ° Она не может обеспечить компенсацию ветра, теплового и других изменяющихся во времени влияний на антенну и отражатель. Все это объясняет использование для решения замкнутого контура. В таком решении идея состоит в том, чтобы периодически перемещать антенну, чтобы найти направление максимальной силы сигнала. Однако данные, полученные таким образом, забиты шумом по нескольким причинам, включая следующее: ° шум в полученном сигнале р; ° изменения в интенсивности сигнала, передаваемого со спутника; ° неточные знания о диаграмме излучения антенны и ° влияние порывов ветра на конструкцию и отражатель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
