Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 121
Текст из файла (страница 121)
В этих случаях желательно при проектировании включить ограничения с самого начала. В гл. 11 описаны методы (имеющие дело с ограничениями), основанные на стратегиях противонакопления. Они, вероятно, совершенно адекватны для простых задач, особенно, для Я1ЯО-задач. Эти методы могут быть также расширены на некоторые М1МО-задачи, как мы увидим в гл. 26. Однако в более сложных М1МО-задачах, особенно тех, которые имеют входные ограничения и ограничения состояния, часто желательно иметь более формальный механизм обращения с ограничениями при проектировании М1МО-систем управления. Мы опишем здесь один такой механизм, основанный на модельном прогнозирующем управлении (МПУ). Это фактически было главным успехом в применении современного управления.
В литературе были сообщения более чем о 2000 применений этого метода, в основном, в нефтехимической области. Метод также все более и более используется в электромеханических задачах, когда системы управления работают 140 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление на границе рабочей области. Его главными преимуществами являются следующие: ° Он обеспечивает для М?МО-управления учет ограничений <одним махом», т. е. комплексно.
° Это один из немногих методов, которые позволяют работать с ограничениями состояния. ° Имеется несколько коммерческих пакетов, которые диот промышленные робастные варианты алгоритмов в области управления химическими процессами. Имеется много альтернативных путей описания модельного прогнозирующего управления, включая методы использования полиномов и пространства состояний. Здесь мы дадим краткое введение в метод, используя описание в пространстве состояний. Оно предназначено ознакомить читателя с основными идеями модельного прогнозирующего управления (например, понятие оптимизации с расширяющимися условиями). Это также служит иллюстрацией некоторых идей оптимального управления, рассмотренных в гл.
22, стимулирующих использование модельного прогнозирующего управления. Один из нас (Гребе) имеет значительный практический опыт использования модельного прогнозирующего управления в промышленности, где оно финансируется, позволяя получать существенные ежегодные сбережения за счет улучшенных характеристик управлении. Другой из нас (Гудвин) применил метод в нескольких промышленных задачах управления (включая дополнительное управление водой на сахарном заводе, стабилизацию качки судна с помощью перекладки руля и управление питанием машины для литья под давлением), где учет ограничений был ключевым соображением. Прежде чем рассматривать подробности модельного прогнозирующего управления, мы повторно обратимся к стратегии противонакопления, представленной в гл.
11. 23.2. Противонакопление; повторное рассмотрение Предположим на некоторое время, что все состояние системы непосредственно измеряется. Тогда, если есть стационарная модель системы и если цели и ограничения также стационарны, то из этого следует, что стратегия управления может быть выражена как определенное отобра; 23.2.
Противонвкопление; повторное рассмотрение 741 жение состояния на управление; т. е. оптимальная стратегия управления может быть выражена в виде и~~(Ф) = Ь(х(с)) (23.2.1) для некоторого статического отображения 6(о). Остается лишь охарактеризовать отображение 6(о). Для общей проблемы ограничений будет трудно дать простое описание й(о). Однако мы можем считать стратегию противонакопления в гл.
11 как частный пример простого (для данного случая) описания Ь(о). Конечно, если задача управления сформулирована в отсутствии ограничений, как линейный квадратичный регулятор, то мы знаем из гл. 22, что стратегия расширяющихся условий без ограничений имеет форму уравнения (23.2.1), где Й(о) имеет простую линейную форму Ьо(х(г)) К х(1) (23.2.2) для некоторой матрицы постоянных усилений К,о (см.
раздел 22.5). Если мы затем рассматриваем 8180-задачу, в которой ограничено только управление, тогда форма противонакопления (23.2.2) (в разд. 18.9) просто имеет вид заг(5о(х(г))~ (23.2.3) Мы видели в гл. 11, что вышеупомянутая схема работает очень хорошо, по крайней мере, в простых ситуациях. Проиллюстрируем сказанное следующим простым примером. Пример 23.1. Рассмотрим непрерывный обеект с двойным интегратором, котаорый квантуется с интпервалом Ь = 1 с. Соотпветпствующая дисхретнол модель имеет вид х(й+ 1) = Ах(й) + Ви(й) (23.2.4) у(й) = Сх(к) (23.2.5) где А=[ ]; В=[']; с=)1 0) п3.2.6) Выберем использование теории линейного квадратичного регулятора с расширяющимися условиями для получения закона управления.
В пределах этой стпруктпуры мы используем следующие весовые матрицы: Ф=С~С, Ф=0.1 (23.2.7) Стпратегия оптимального управления без ограничений, как в (23.2.2), может быть найдена с помощью'методов, описанных в гл. 22. Далее исследуем характеристпику этого закона управления при различных сценариях. Сначала рассмотприм случай, когда управление не имеет ограничений. г42 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление моменты квантования (й) Рис. 23.1. Реакция на выходе без ограничений моменты квантования (й) Рис. 23.2.
Реакция на входе без ограничений Х1 Рис. 23.3. Фазовая траектория без ограничений Тогда для начальных условий х(0) = ( — 10,0)т реакция на выходе и входной сигнал объекта будут такими, как показано на рис. 23.1 и 23.2. Рисунок 23.3 показывает оптимальную реакцию на фазовой плоскости. Далее предположим, что вход должен удовлетворять умеренному ограничению ~и(к)~ < 5.
Применение стратегии прогпивонакопления дает реакцию, показанную на рис. 23.4 с соответствуюи)им сигналам на входе объекта, представленном на рис. 23.5. Реакция гпакже показана на фазовой плоскосгпи на рис. 23.6. Рассмогпрение рис. 23.4, 23.5 и 23.6 показывает, чгао простая стратегия противонакопления — уравнение (23.2.3) — дала в этом случае вполне приемлемую реакцию.
ППП Вышеупомянутый пример, казалось бы, говорит, что нет потребности в более причудливых методах. Действительно, можно показать, что за- 23.2. Противоиакоппеиие; повторное рассмотрение 743 моменты квантования (а) Рис. 23.4. Реакция на выходе с ограничением на входе )и(к)( < 5 моменты квантования (а) Рис. 23.5.
Реакция на входе с ограничением )и((с)~ < 5 Х1 Рис. 23.6. Фазовая траектория с ограничением )п(к) ~ < 5 кон управления, заданный уравнением (23.2.3), фактически оптимален при некоторых условиях, — см. задачу 23.10 в конце главы. Однако если мы сделаем ограничения более строгими, ситуация изменяется, как мы увидим в следующем примере. Пример 23.2.
Рассмотрим ту же самую установку, что и в примере 23.1, за исключением того, что вход тпеперь удовлетворяет более серьезному ограничению ~и(к)) < 1. Заметьте, что это ограничение составляет 10% от начального неограниченного входа, показанного на рпс. 23.2. Таким образом, зто довольно серьезное ограничение. Закон управления, задаваемый уравнением (23.2.3), теперь даст реакцию, показанную на рнс. 23.7 с соответствующим входным сигналом, показанным на рис. 23.8, эквивалентный график на фазовой плоскости показан на рис.
23.9. 744 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление моменты квантования (Ь) Рис. 23.7. Реакция на выходе с ограничением иа входе ~и(Й)~ < 1 моменты квантования (тг) Рис. 23.8. Реакция на входе с ограничением )и()е)~ < 1 хт Рис. 23.9. Фазовая траектория с ограничением ~и(к) ~ < 1 Рассмотрение рис. 23,7 укаэмваетп, чтпо простая стратегиц определяемая уравнением (23.2.3), не работпает удовлетворительно, и, дейстпвительно, дает е этом случае большое перерегулирование. ПС)0 Читатель может задаться вопросом, что в вышеупомянутом примере произошло не так, как надо.
Ключ к разгадке дается на рис. 23.9. Мы видим, что начальные ступеньки входа приводят к тому, что скорость растет до большой величины. Если бы управление было неограниченным, эта большая скорость помогла бы нам быстро перейти к началу координат. Однако из-за ограниченных возможностей управления тормозящая способность системы ограничена, и, следовательно, происходит большое перерегулирование. Отсюда вывод, что стратегия управления, определяемая уравнением (23.2.3), слишком близорука и не способна объяснить тот факт, что будущие управляющие входы будут ограничены 23.3.
Что такое модельное прогнозирующее управление? 745 так же как и текущий управляющий вход. Решением, казалось бы, была бы попытка смотреть вперед (т. е. предсказывать будущую реакцию) и принимать во внимание текущие и будущие ограничения при получении стратегии управления.
Это приводит нас к идее модельного прогнозирующего управления. 23.3. Что такое модельное прогнозирующее управление? Модельное прогнозирующее управление — алгоритм управления, основанный на решении задачи оптимального управления в реальном масштабе времени. Используется подход с растаиряющимисл условиями, который может быть получен в итоге следующих шагов: 1) Во время й и для текущего состояния х(й) решить в реальном масштабе времени для разомкнутого контура задачу оптимального управления для некоторого будущего интервала, учитывая текущие и будущие ограничения.
2) Применить первый шаг для последовательности оптимального управления. 3) Повторить процедуру для момента (/с+ 1), используя текущее состояние х(Й+ 1). Решение приводится к стратегии замкнутого контура, используя измеренную величину х(1г) как текущее состояние. Когда х(1г) непосредственно измерить нельзя, можно получить стратегию замкнутого контура, заменяя х(й) восстановленной величиной, полученной некоторой формой наблюдателя. Последняя ситуация рассмотрена в равд.
23.6. Пока же предположим, что величина х(й) может быть измерена. Тогда в общем нелинейном варианте метод выглядит следующим образом. Дана модель х(8+1) =у(х(6),и(8)), х(й) =х (23.3.1) Модельное прогнозирующее управление для (х, й) вычисляется путем решения задачи ограниченного оптимального управления: Ргг(х) . у~(х) — шш улг(х у) (23.3.2) пни„ где У = (и(й), и(й + 1),..., и(й + Ф вЂ” 1)) (23.3.3) ь+лг-1 Улг(х, У) = ~~г Цх®,и(6)) + Е(х(1г+ Ф)) (23.3.4) г46 Глава 23.
Модельное прогнозирующее управление (23.3.5) (23.3.6) и(с) ЕП в=й,й+1,...,Й+11à — 1 х(Е) ~Х Е=й,й+1,...,Й+И вместе с граничным условием х(й+ Ф) Е В' (23.3.7) Обычно множество У С 1кгп выпукло и компактно, множество Х С Кп является выпуклым и замкнутым и гг' — множество, которое может быть соответственно выбрано, чтобы достичь устойчивости. В вышеупомянутой формулировке модель и функция стоимости инвариантны во времени. Следовательно, получается закон управления со стационарной обратной связью. В частности, без потери общности мы можем задать й = 0 в задаче управления с разомкнутым контуром.
Тогда, для (х,й) мы решаем Рлг(х): (гД(х) = ппп Ум(х,У) (23.3.8) немн где У = (и(0), и(1),..., и(Ф вЂ” 1) ) Ф вЂ” 1 Угг(х,У) = ~~~ Ь(х(Ю),и(М))+Г(х(Ф)) (23.3.9) (23.3.10) при соответствующих ограничениях. Для решения вышеупомянутой задачи используются стандартные методы оптимизации. Пусть минимизирующая управляющая последовательность равна У; = (и',(0), и',(1),..., и',(Ф вЂ” 1)) (23.3.11) Тогда фактическое управление, прикладываемое в момент й, — первый элемент этой последовательности, т. е. (23.3.12) ио (О) Далее время смещается вперед на единицу и вышеупомянутая процедура повторяется для другого диапазона оптимизации на Ф шагов вперед.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
