Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Теперь первый вход новой последовательности из 1в' шагов вперед используется в качестве управления. Вышеупомянутая процедура повторяется неограниченно. Идея иллюстрируется на рис. 23.10. Заметим, что только заштрихованные входы фактически подаются на объект. и ьглг — подмножество У, которое удовлетворяет ограничениям на всем интервале (Й,й+ Ф вЂ” 1]: 23.3. Что такое модельное прогнозирующее управление? 747 О 1 2 3 4 дп гд) О ! 2 3 4 5 Пв12) Рис.
23.10. Принцип управления с расширяющимися условиями Вышеупомянутое модельное прогнозирующее управление неявно определяет стационарную стратегию управления Ь(п), как в (23.2.1), т. е. статическое отображение Ь: Х вЂ” 3 У вида (23.3.13) 6(х) = и'(О) Метод первоначально возник в промышленности как реакция на потребность учитывать ограничения.
Посвященная этому вопросу литература может быть разделена на четыре поколения следующим образом: ° Первое поколение (1970-е годы) — импульсные или линейные модели с реакцией на ступеньку, квадратичной функцией стоимости и для специальной обработки ограничений. 748 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление ° Второе поколение (1980-е годы) — линейные модели пространства состояний, квадратичная функция стоимости, входные и выходные ограничения, выраженные как линейные неравенства и квадратичное программирование, используемое для решения задачи оптимального управления с ограничениями. ° Третье поколение (1990-е годы) — несколько уровней ограничений (мягкие, жесткие, упорядоченные), механизмы выявления неосуществимых решений. ° Четвертое поколение (в конце 1990-х годов) — нелинейные задачи, гарантированная устойчивость и робастные модификации.
23.4. Устойчивость Замечательное свойство модельного прогнозирующего управления заключается в том, что можно обеспечить устойчивость результирующей замкнутой системы (по крайней мере, при наличии полной информации о состоянии). Это оказывается возможным потому, что функция стоимости задачи оптимального управления действует как функция Ляпунова для замкнутой системы. Напомним читателю, что краткое представление устойчивости по Ляпунову дано в гл.
19. Для ясности описания сделаем следующие упрощающие предположения. 1. Вводится дополнительное ограничение для заключительного состояния задачи оптимизации с расширяющимися условиями, а именно, что х(зт") = 0 (23.4.1) где х(1т') — предельное состояние, получающееся из управляющей последовательности Узе, как в (23.3.11). 2.
Функция з (х,и) положительно определена для обоих аргументов. Теорема 23.1. Рассмотрим систему (23.3.1), управляемую на основе алгоритма модельного прогнозирующего управления с расиьирянпцимися условиямц описываемого выражениями (23.3.8) — (23.3.11) и удовлетворяюо4ую предельному ограничению (23.4.1). Этот закон управления переводит замкнутую систему в разряд абсолютно асимптотически устог2чпвых. Доказательство Согласно предположениям регулярности, функция стоимости Ъф )положительно определенная и собственная: Ъ,еу(х) -+ оо когда Охй -+ оо. 23.4.
Устойчивость 749 Рот(х): УД(х) = ппп Рд~(х, П) (23.4.2) ИЕИо К вЂ” 1 1гт(х,П) = ~ Цх(с),и(с))+Р(х(тт)) (23.4.3) с=а Обозначим оптимальную управляющую последовательность разомкнутого контура, дающую Ру(х), через Ц~ — (и~(0) ио(1) ио(1тт 1)) (23.4.4) Напомним, что для стратегии модельного прогнозирующего управления фактическое управление, прикладываемос во время тс, является первой величиной этой последовательности и = Ь(х) = и'(0) (23.4.5) Пусть х(1) = 2(х,й(х)) и пусть х(Ф) — предельное состояние, полученное воздействием Уо. Заметим, что мы считаем х(тУ) = О.
Подходящее решение (но не оптимальное) для второго шага в решении с расширяющимися условиями Рвт(х1) тогда будет: У. = (ио(1),ио(2),...,ио(И вЂ” 1),0) (23.4.6) В этом случае приращение функции Ляпунова при использовании истинного оптимального входа в модельном прогнозирующем управлении и при переходе от х к х(1) = ~(х, Ь(х)) будет равно ~~Я(~) = Ю(~(1)) — 1%~) = УФ(х(1) П ) Ъж(х,Пв) (23.4.7) Однако величина У'., оптимальна, так как мы знаем, что Р)у(х(1), П;,) < 1 "вт(х(1), О ) (23.4.8) где П является условно оптимальной последовательностью, определенной в (23.4.6). Следовательно, мы имеем ЬЬРИ(х) (Ум(х(1),О,) — ь1о(х,П,) (23.4.9) Учитывая, что О состоит из (Ф вЂ” 1) членов, включая По, мы можем видеть, что правая часть (23.4.9) удовлетворяет условию Ъ)у(х(1), О ) — Ку(х, Пв) = -Цх, 6(х)) (23.4.10) Поэтому для этой задачи она может использоваться как функция Ляпунова.
Мы вспоминаем, что для (х,1с) модельное прогнозирующее управление с учетом ограничений будет следующим: 750 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление где мы использовали то, что Рве дает х(Н) = 0 (в соответствии с предположением) и, следовательно, б' дает х(Н+ 1) = О. Наконец, используя (23.4.9) и (23.4.10), мы имеем г1а$теу(х) < — Цх й(х)) (23.4.11) Когда функция Цх, и) положительно определена для обоих аргументов, устойчивость следует сразу же из теоремы 19.1. ППП Замечание 23.1. Для ясности мы использовали в вьпаеупомянутпом доказатпельстве довольно ограничительные предположения, чтпобы сделать его простым. Фактически, оба предположения, 1 и 2, могут быть значитпельно смягчены. Например, предположение 1 может быть заменено предположением, что х(Н) входит в предельный набор, в котпором находятся «хорошие свойствам Точно так же предположение 2 может быть смягчено до требования, что система является определяемой функцией стоимости.
Мы остпавляем заинтересованного читпатпеля разобратьсл с этими усовершенствованиями в ссылках, приведенных в конце главы. ППП Замечание 23.2. Не касаясь проблемы устпойчивостпи, пользователь модельного прогнозирующего управления мог бы заинтересоваться, есть ли преимущества характеристик, если они вообще существуютп, связанные с использованием этого алгоритпма. Чтобы (частично) отпветить на этот вопрос, мы сделаем паузу и повторно рассмотрим пример 23.2.
Пример 23.3. Рассмотрим снова задачу, описанную в примере 23.2, с ограничением входа ~и(й)( < 1. Вспомним, что «близорукая» стратегия, используемая в примере 23.2, вела к большому перерегулированию. Здесь мтя рассмотприм функцию стоимости, приведенную в (23.3.10) с Н = 2 и такую, что Р(х(Н)) является оптпимальной неограниченной бесконечно увеличивающейся стоимостью и Ь(х(8),и(с)) — возрастающая стоимость, связанная с основной задачей линейного квадратпичного регулятора, как описано в примере 23.1. Существенное различие между примером 23.2 и текущим примером — то, что в примере 23.2 мы рассмотрели при оптпимизации только ограничение входа в текущем управлении, теперь мы рассматприваем ограничение на текущем и следующем шаге.
Таким образом, источник управления совсем не такой, как в случае «близкого взгляда», что было в предыдущем случае. На рис. 23.11 показана результирующая характеристпика, а на рис. 23.12 показан соответпстпвующий входной сигнал. Характеристика на фазовой плоскости показана на рис. 23.13. Сравнение рис. 23.11 23.5. Линейные модели с квадратичной функцией стоимости 751 я1 Рис. 23.13. Фазовая траектория прн использовании модельного прогнозиру- ющего управления и 23.13 с рис. 23.7 и 23.9 подтпверждаетп преилтущестпва учета будущих ограничений при формировании сптраптегии управления. ППП 23.5. Линейные модели с квадратичной функцией стоимости До сих пор мы описывали алгоритм модельного прогнозирующего управления в общем нелинейном случае.
Однако разумно было бы ожидать, что дальнейшее понимание проблемы может быть получено, если рассмотреть специализированный алгоритм, охватывающий линейный случай с квадратичной функцией стоимости. Это и будет темой текущего раздела. Снова мы будем использовать схему пространства со- моменты квантования (й) Рис.
23.11. Реакция на выходе при использовании модельного прогнозн рующего управления моменты кввктоввняя (к) Рис. 23.12. Реакция на входе при использовании модельного прогнозирующего управления 752 Глава 23. Модельное прогнозирующее управление (23.5.1) (23.5.2) х(Е+ 1) = Ах(Е) + Ви(Е) у(е) = с (е) где х(Е) б 1~К, и(Е) Е 1~™ и у(Е) Е И"' .
Мы предполагаем, что система (А, В, С) стабилизируема и определяема и что 1 не является собственным значением А. Итак, чтобы проиллюстрировать используемые принципы, мы расширим схему, описанную в разд. 23.2, включив отслеживание эталонного сигнала и подавление возмущения. Таким образом, рассмотрим задачу отслеживания постоянной уставки у, и подавления изменяющегося во времени выходного возмущения (о(Е)1: мы хотим свести к нулю ошибку е(Е) = у(Е) + (г1(Е) — у,) В дальнейшем будет удобно не делать никакого специального различия между выходным возмущением и уставкой, так что мы определяем эквивалентное выходное возмущение г1 как внешний сигнал: е,(е) = 1(е) — у, (23.5.4) Без потери общности мы возьмем текущее время, равное О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
