Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Таким образом, 1Эс1(з) следует выбрать так, чтобы получить желаемую динамику в различных каналах. Например, мы всегда можем получить треугольную связь, выбрав Рс1(з) в виде нижней треугольной матрицы. Относительная степень элементов в Пс1(з) должна быть выбрана так, чтобы сделать Я(з) собственной (обычно, бисобственной). Заметим, что наличие [фь(з)] ~ в (25.5.28) гарантирует внутреннюю устойчивость, оставляя неминимально-фазовый нуль С в Т (з). Кроме того, [трь(з)] ~ вносит вклад в динамику контура полюсами, расположенными в точке з = — а (см.
(25.5.25)), которые обычно выбираются намного больше, чем требуемая полоса пропускания. Проиллюстрируем это простым примером. Пример 25.5. Рассмотрим объект, имеюгций номинальную модель 1 Ь+1 1) "'=( )(+ ) ~ (25.5.29) Нужно спроектировать М1МО-контур управления с полосой пропускания приблизитпельно 0.5 рад/с в каждом канале. 25.5.
Неминимально-фаэоеые нули 825 Иэ (25.5.28) и предыдущих выражений мы имеем 1 О Т (з) = [ф1.(в)] 'Рс~(в) = в — 1 11с~(в) з + 1 (25.5.33) Сначала рассмотрим вариант Р<1(в), делающий матрицу Т (з) диагональной. Это можно получить с помощью нижней треугольной матрицы Рс1(з): ~Рп(в) О '1Р21(з) Р22(в) (25.5,34) Тогда Рп(в) О в — 1 в-1 Рп Р21(в) Р22(в) в+1 в+1 с Рп(з) О Р21(в) Р22 (в) Т (в)= 1 О з-1 1 в+1 (25.5.35) 1~ Ч(в)=[Но(в)]- В~(в)=(в+1)(в+3) ~ в+1~ 1Р (,) Р (,) -1 Ь вЂ” 1 Ы„(в) О (в+3).021(в) (з+3)Р22(з) (з+ 1)(в+ 3)(Рп(з) — Р21(в)) — (в+ 1)(з+ 3)Р22(з) (25.5.36) 1) относительная степень Р22(в) равна 2; 2) относительная степень .021(з) равна 1; 3) относительная степень Рп(з) — Р21(в) равна 2. Мы сразу же видим иэ (25.5.35), что для того, чтобы сделать То(з) диагональной, необходимо, чтобы (в+ 1)Рп(з) = (в — 1)Р21(в).
Это означает, что неминимально-фазовый нуль появится в канале 1 так же 1сак в канале 2 замкнутого контура. Как мы увидим в гл. 26, явление, что развязка заставляет размещать неминимальнофаэовые нули во многие каналы, не является специфическим для данного примера, а является более общим компромиссом, связанным с полной динамической развязкой. Если вместо этого мы решим получить только треугольную развязку, то можно избежать наличия неминимально-фаэового нулл в канале 1.
Прежде чем мы выберем Ос1(з), необходимо иэ (25.5.36) определить требуемые ограничения на сп1епени Рп(в), Р21(з) и Р22(в), чтобы получить бисобственную Щз). Иэ (25.5.36) мы видим, что Щв) бисобственная, если одновременно выполняются следующие условия: 826 Глава 25. Параметризация М!МО-регуляторов Ргт(з) = — Рн(з) з+)3 (25.5.37) где,В Е К+ — намного больше, чем желаемая полоса пропускания, скажем, В = 5. Теперь можно продолжить выбор Рс~(з) тиаким образом, чтобы удовлетворить (25.5.37) с учетом ограничений полосы пропускания. Возможный выбор следующий: 0.5(з + 0.5) зг + 0.75з + 0.25 0.5(з + 0.5)(з — 5) 0.25 ~:~0(з) = (25.5.38) (зг+0.75з+0.25)(в+5) зг+0.75з+0.25 Характиеристиика этого проектиа можетп бытиь оценена моделированием с помощью файла тппоЗ.ттрн пакета 31МШ11г1К.
Обрагиитие внимание, что вы должны сначала запустить программу иэ файла рт4тоЗ.тп пакета МАТЮКАВ. ППП Замечание 25.5. Если С (з) имеет п, > 1 (различных) неминимально-фазовых нулей, например, гв1,..., гол„тогда вышеупомянутыйй подход все еще можно применить, если выберем Щз) = [~у,(з)Но(з)Г~ фь(з)1Эс~(з) (25.5.39) где Н„(з) теперь определяется следующим образом: (25.5АО) и где тру.(з)(тг~ — г-матрица взаимодействия для полюса, расположенно- го в точке з =г,г.
Условия 2) и 3) одновременно удовлегиворяютися, если Рн(з) имеет отиносительную степень 1, в то время как Рн(з) и Ргт(з) имеют одинаковое высокочастиотное усиление. Кроме того, мы предполагаем, что требуется, чтобы М1МО- контур управления был развязан на низких частотах. (Иначе появляются ошибки в установившемся состоянии для постиоянных этиалонных сигналов и возмущений.) Из уравнения (25.5.35) мы видим, что эта цель достигается, если Рн(з) и Ргт(з) имеюти усиления на низких частиотах равные по величине, но противоположных знаков. Подходящий выбор, который одновременно обеспечивает бисоб.стивенность Щз) и развязку на низких частотах, имеет вид 25.5.
Неминимально-фаэовые нули 827 25.5.3. О-синтез как проблема подбора модели (25.5.45) (25.5.46) Хотя использование матриц взаимодействия и г-матриц взаимодействия дает понимание основных возможностей и фундаментальной структуры Я-синтеза для М1МО-проекта, процедура, описанная в разд.
25.5.2, обычно не соответствует выполнению синтеза в цифровой форме. В дополнение к трудности автоматизировать численный алгоритм процедура требовала бы аналитического исключения компенсации неустойчивых полюсов и нулей, что выглядит странным. Трудность полностью связана с вычислениями л-матриц взаимодействия; робастные методы пространства состояний полностью пригодны для вычисления обычной матрицы взаимодействия.
В этом разделе мы поэтому исследуем альтернативный метод для вычисления устойчивой приближенной инверсии, используя соответствующие процедуры подбора модели разд. 22.6. Это обходит потребность в использовании г-матриц взаимодействия. Преобразуем сначала объект в бисобственную форму, используя обычную матрицу взаимодействия фь(в). Предположим, что целевая дополнительная чувствительность— Т'(в). Из (25.2.2) мы знаем, что при аффинной параметризации регулятора для М1МО-объекта номинальная чувствительность равна Со(в)Ща).
Следовательно, мы можем преобразовывать задачу Я- синтеза в соответствующую задачу подбора модели, выбрав Щв), минимизирующую ю= — 1' (~мн )-но )гь ц',г (25.5.41) где М, 1й и Г замещают Т', фыр и Я соответственно. Тогда мы можем, по крайней мере, в принципе применить методы разд. 25.5.4, чтобы синтезировать Я. Начнем с исследования С~ каждый раз по одному столбцу. Для дьго столбца мы имеем х;= — / щмь' я„; — нц )~Гц )/,уцра о5.5.4н Как и в подразд.
25.5.4,перейдем к временной области и используем хд(Ф) =Адхд($); хд(0) =Вд (25.5.43) рд(в) = Сдхд(1) (25.5.44) чтобы представить систему с передаточной функцией [М(л))„и используем хг($) = Азха($) + Взи(Ф) вз($) = Сзхз($) + би($) 828 Глава 25. Параметриаация М(МО-регуляторов 25.5.4. Подбор модели при решении без использования весов Здесь мы рассмотрим специальный случай общей задачи подбора модели.
В частности, в основной задаче подбора модели, как описано в (22.6.4), мы ищем ответ для задачи, в которой еавичима О нас не интересует. В этом случае мы берем В. = 0 и Г = 1. Однако трудность состоит в том, что эти условия приводят к эквивалентной задаче линейного квадратичного регулятора, где вес, штрафующий величину управления, нулевой. Это может быть недопустимо для исходных условий линейного квадратичного регулятора.
Такую ситуацию можно исправить рядом способов. Покажем, как можно обойти проблему, используя левую матрицу взаимодействия (ь(в) (см. раздел 25.4.1). Выберем элементы матрицы взаимодействия в виде (та+1)" (при малом т), чтобы так изменить модель пространства состояний для дг, чтобы в 22(а) = ~ь(а)Уз(а) был прямой путь от и к яз. В этом случае «2(т) удовлетворяет модели пространства состояний вида х2(1) = Азхз($) + Взи(Г) яз(в) = Сзхз(4) + би(1) (25.5.47) (25.5.48) где 6~6 — невырожденная матрица.
Вид оптимального управления в задаче подбора модели тогда изменится следующим образом: х 1 ((у щ — и(Й((( ж=) р~(ш( ~(ЙЯ ] ] 1 и (25.5.49) (25.5.50) где — = Ах(~) + Вп(~); х(0) = ~ Их(~) - - ('В11 Ж ~0] чтобы представить систему с бисобственной передаточной функцией ~ь(а)С (а). Кроме того, для квадратных объектов мы знаем из свойств сь(е), что (1еФ(Щ ф О.
Кажется, что это приспосабливает теорию, приведенную в разд. 22.6, для подбора модели. Однако важное отличие заключается в том, что здесь мы не имеем никаких весов величины управления и(т). Это ранее явно не допускалось. По этой причине мы сделаем паузу, чтобы расширить ранее полученные результаты и охватить случай, когда не используются никакие веса для управления. 25.5. Неминимально-фазовые нули 829 Ф =6Т6 Б~ = — С~О Функция стоимости имеет взаимную связь между У($) и и(в), но ее можно устранить, переопределив закон управления следующим образом: и(в) = Б(1) — Ф 1Ы(~) (25.5.53) Это преобразует задачу в их($) <Й = АЮ(1) + Вй(1) / Р(1)т Ф -(1) +„— ( )т Ф-( )),1 уо где А=А — ВФ 'Б В=В Ф=С [1 — ОФ 1) ]С ф=Ф=6т6 Теперь из разд.
22.5 мы видим, что стабилизирующее решение задачи — 1 существует при условии, что (А, Ф ! ) не имеет никаких ненаблюдаемых нулей на мнимой оси. При этих условиях мы можем выразить оптимальное значение й(в) в виде й(~) =-к,яр) =-[к,' к,']я(у) (25.5.60) или, используя (25.5.53), .®=-кя(~)=-[к, к,]яр) (25.5.61) где к, =к,'-6-'с, кз =к,'+6-'с, Как и в разд. 22.6.3, мы ищем ту конкретную обратную связь по состоянию для исходной системы, которая решает задачу оптимизации. Таким образом, значение п(8) может быть получено из условий Ж = Ат($) + Ви($); х(0) = '10~ п(1) = — Кя(~) с=[с, -с] Л [ ] Ф =С~С в=[-] (25.5.51) (25.5.52) (25.5.54) (25.5.
55) (25.5.56) (25.5.57) (25.5.58) (25.5.59) (25.5.62) (25.5.63) 630 Глава 25. Параметригация М!МО-регуляторов Взяв преобразование Лапласа, получим окончательную реализацию оптимального значения О(г) в виде Замечание 25.6. Вышеупомянутая процедура подбора модели обладала тем ограничением, что О(г) должна быть устпойчивой. Однако как мы аргументировали в гл. 7 и 15, обычно необходимо (например, в присутпствии входных возмущений) в замкнутом контуре различать устойчивые полюсы и полюсы с желаемым расположением. Метод, описанный вьиае, может быть изменен так, чтобы О(г) была ограничена таким образом, чтобы иметь полюсы в различных желаемых областях, как рассмотпрено в равд. 22.8.
Замечание 25.7. В случае, когда В квадратная и невырожденная, то иг (25.5.58) мы видим, чтпо Ф будет пюждественно равнятпься нулю. Этпо будетп ситуация, когда мы используем данный алгоритм для Я- синтеза — см. ниже. 25.5.5. Применение 0-синтеза для неминимально-фазовых нулей Теперь мы можем применить результаты разд. 25.5.4 к задаче Я-синтеза. Использование (25.5.64) в задаче, описанной уравнениями (25.5.45) и (25.5.46), дает в результате [О(г)[м = [ — 1+Кг (г1 — Аг+ ВгКг) Вг) Кт (г1 — А1) Вт (25.5.65) где К =К'( ) — 6 'О Кг =Кг(г) — 11 'Сг (25.5.66) (25.5.67) Фактически, связанная с этим задача ЛКР имеет некоторые специфические особенности, потому что, как было указано в замечании 25.7, Ф = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
