Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 139
Текст из файла (страница 139)
26.2. Устойчивые системы Сначала рассмотрим ситуацию, когда полюсы объекта в разомкнутом состоянии расположены в желаемой области. Мы используем технологию аффннной параметризации, описанной в гл. 25, чтобы спроектировать регулятор, который обеспечивает полную динамическую развязку. 2Б.2.1. Минимально-фазовый случай Обращаем ваше внимание на общую процедуру Я-проектирования, отраженную в гл. 25. Чтобы достичь динамической развязки, выберем Щв) следующим образом: 848 Глава 26.
Развязка Рис. 26Л. Развязанная система управления, построенная иа основе принципа внутренней модели, для устойчивых М1МО-объектов (26.2.4) (26.2.5) (26.2.6) т (3) = С (з)Щв) = С (з)~н(в)[Лр„(з)] ~Рс~(з) = С (з)фр (в)[С (в)4р„(з)] ~Рс~(в) (26.2.7) Мы видим, что она диагональна, как и требовалось. Тогда связанная с этим структура системы управления могла бы выглядеть, как показано на рис. 26.1. Фактически, этот проект не единственен. Например, альтернативным выбором Щз) был бы Я(.) — [Л.(.)] 4,,(в)1:~я(з) (26.2.8) где 1)с1(в) определяется выражением (26.2.3).
Заметим также, что Рс~(з) может иметь более общую структуру Оц(з) = 41ан (~1(з), $г(з), ", Ф~(з)) (26.2.9) где $1(з),Фз(з),...,$я,(з) — собственные устойчивые передаточные функции, имеющие относительные степени, равные соответствующим степеням столбцов левой матрицы взаимодействия для С (з). Передаточные функции ~1(з),12(з),...,~„я(в) должны быть выбраны так, чтобы иметь единичное усиление на нулевой частоте. Проиллюстрируем это простым примером. где ~н(з) — правая матрица взаимодействия, определенная в (25.4.3), а р1(з),рз(з),...,ря,(з) — устойчивые полиномы, выбранные таким образом, чтобы сделать Щз) собственной. Можно показать, что фактически эти полиномы имеют степени столбцов, соответствующие левой матрице взаимодействия для С (з). Полиномы р1(в),рз(з),...,р,„(з) следует выбрать так, чтобы иметь единичное усиление на нулевой частоте.
Мы видим, что при этом выборе мы получим следующую номинальную дополнительную чувствительность: 26.2. Устойчивые системы 849 Пример 26.1. Рассмотрим устойчивую М1МО-систему размерности 2 х 2, имеющую номинальную модель ( +1) ( +2) [(з+1) (з+1)(э+2)1 Нужно выбратпь подходящую матрицу с4(з), используя аффинную параметприэацию, чтобы управллтпь этим обвектом таким образом, чтпобы М1МО-контур управления мог отслеживать эталонные сигналы в полосах пропусканил меньше или равных 2 рад/с и 4 рвд/с в каналах 1 и 2 соответпственно. Решение Попытаемся получить развязанный проект, т. е. получить дополни- тпельную матприцу чувстпвительностпщ имеющую вид Т„(з) = Лай(Ти(з),Тгг(з)) (26.2.11) (26.2.14) где Ти(з) и Тгг(з) будут выбраны так, чтпобсч иметь полосы пропускания 2 рзд/с и 4 рзд/с в каналах 1 и 2 соотпветпственно. Тогда с1(з) должна в идеале удовлетворятпь условию Щз) = [С (з)] 1Т (з).
(26.2.12) Заметим также, чтпо матприца С (з) устпойчива и имеет нули старого внутри ЛПП. Тогда единстпвенной трудностью в получении инверсии С (з) является необходимость получения собственной (бисобстпвенной) матприцы Я. Это довольно просто обеспечить; для этого можно было бы добавитпь большое коли ~ество быстрых, устойчивых полюсов в Ти (з) и Тгг(з). Однако имея относительные степени больше, чем это необходимо, можно получить нежелательное запаздывание на высоких частпотах. Нас могло бы также заинтересоватпь получение бисобственной Я(з) для реализации стпруктпуры протиивонакопления (см. позже в этой главе). Это тот случай, где матрицы взаимодействия играют полезную роль. Выберем стпруктуру (26.2.8), из которой видим, что Т (з) = Пт1(з).
Следовательно, относительные степени Ти(з) и Тгг(з) будут выбраны равными стпепеням первого и второго стполбца левой матрицы взаимодействия для С (з) соответственно. Тогда, следуя равд. 25.4.1, вычислим левую матприцу взаимодейстпвия 4ь(з). Этпо дает (ь(з) = й1а8((з+ а), (з+ а)); а Е и+ (26.2.13) Тогда (26.2.12) можно также записатпь в виде Фз) = [4ь(з)С (з)Г'4ь(з)Т (з). 850 Глава 26. Развязка Следовательно, матрица Щз) собственная тогда и только тогда, когда Т (з) выбрана так, чтобы сделать Сь(з)Т (з) собстпвенной. Таким образом, возможный выбор Тм(з) и Тгг(з) может быть Т11(з) г и Тгг(з) г 6 (26.2.15) 4 4(з+ 4) г+8 +4 зг+ бе+ 16 Предлагаем читпатпелю проверить, что зти передаточные функции имеют требуемые полосы пропускания.
Чтобы получитпь окончательное выражение для Щз), мы далее должны вычисеить [С (з)) 1, которая имеет вид з+2 [(з+1)(з+2) 1 2з+5 ~ — (в+1)г 2(в+1)~ (26.2.16) отпкуда мы окончательно получаем 4(з+1)(з+2) зг+Зз+4 4(з+ Цг Щ ) = [С ( )Г1Т ( ) =— зг +Зз+4 Полученный проект можно проверить, используя файл тзто4.пиИ пакета ИМУЫгтК. ППП Вышеупомянутая процедура проектирования ограничена минимально-фазовыми системами.
В частности, ясно, что Ц(з), выбранная с помощью (26.2.1) или (26.2.8), устойчива тогда и только тогда, когда С„(з) является минимально-фазовой, потому что [Ла(з)] 1 и [Ль(з)[ 1 включают инверсию С (з). Мы поэтому должны скорректировать Щз) так, чтобы гарантировать устойчивость, когда С (з) является неминимально-фазовой. Путь, как это сделать, описан в следующем разделе. Начнем с описания в пространстве состояний [Ла(з)[ 1, определяемой четырьмя матрицами (АА,Вз,Ср„Рр,)1.
Обозначим через й(г) вход этой системы. Наша цель состоит в том, чтобы так модифицировать [Лп(з)) 1, чтобы достичь двух целей: а) обеспечить устойчивую передаточную функцию и при этом б) сохранить ее диагональные свойства. 1 Заметим, что неминимвльно-фазовые нули Ое(в) являются собственными значениями Ая, т. е. Аь здесь неустойчива. 26.2.2. Неминимально-фазовый сиучай 4(з+ 4) зг + бе+ 16 8(з + 4)(з + 1) зг + бз + 16 (26.2.17) 26.2. Устойчивые системы 8$1 С этими целями мы определим следующую подсистему, которая управляется 1-м компонентом й(1): к;(с) = Аевт(Ф) + В;й;(г) (26.2.18) ит(1) = Сьт;(г) + 1Э;йт(1) (26.2.19) где и,(1) Е К, йг(г) Е Ж и (А;,ВьС;,П;) — минимальнаЯ РеализациЯ передаточной функции от 1-го компонента й(с) к окончательному вектору выхода й(1). Таким образом, (А;,В;, СнР;) — минимальная реализация (Ах, Вхе,, Сх, Рхег), где е; — т-й столбец единичной матрицы размерности т х тп.
Далее применим стабилизирующую обратную связь по состоянию для каждой из этих подсистем — т. е. сформируем йЯ= — К;к;(Ф)+г;(1); 1=1,2,...,т (26.2.20) где г;($) Е К. Проектирование К; может быть выполнено любым удобным способом — например, линейной квадратичной оптимизацией. Наконец, объединим вместе т векторов и~(Ф),иг(1),...,и„,(1), чтобы получить выход, который может быть теперь обозначен через й(с): й(с) = ~ и;($) (26.2.21) С приведенными определениями мы в состоянии установить следующий результат. Лемма 26.1. а) Передаточная функция отп Р(Ф) = [У~($) гз(1) ...7ит(1)] к й(1) имеет вид 'тт'(з) = [Лн,(в)] ~Щз) (26.2.22) где [Лн,(в)] ~ =(Сх[в1 — Ах] ~ВА+Рх) (26.2.23) ХЭ,(з) =Йаб([1+К;[з1 — А;] ~В~] ') (26.2.24) б) Лн (з)"тт'(з) явллетпся диагональной матрицей. в) тт'(з) имеет представление в пространстве состпояний, задаваемое выражениями (26.2.18)-(26.2.21).
Доказательство а) Ив уравнений (26.2.18)-(26.2.20) передатпочнал функция отп г,(с) к о;(1) имеетп вид Ж;(з) = (С! — 1Э;К~)[в1 — А;+В)К;] 'В;+В; (26.2.25) 852 Глава 26. Развязка Используя лемму об инверсии матрицы (лемма 18.2) и (26.2.18)- (26.2.20), мы получим Жд(з) =(Сл[з1 — Ал] ~Вл+Рл)е;[1+Кд[з1 — А;] дВ;] д (26.2.26) Тогда передаточная функция от г($) к й(в), определенная в (26.2.22), будет выглядеть следующим образам: яд Ж(з) = ~~д 'вв'д(з)е; (26.2.27) в=д = (Сл[з1 — Ал] ~Вл+Рл)йа8'([1+Кд[з1 — А;] 'В;] ') (26.2.28) б) Следует непосредственно из определения [Лп(з)] в) По способу формированил. ППП Возвращаясь теперь к задаче определения О(з), выберем Фз) = (дд(з)187(з)13с1(з) (26.2.29) Это эквивалентно выражению (26.2.30) где Пд2(з) — то же, что и в (26.2.9) (или в (26.2.3)), и Рв(з) — такая же, как в (26.2.24) и мы использовали (26.2.20).
Тогда Я(з) = [Со(з)] Ов(з)йай(зд(з),З2(з),",Ф„,(з)) (26.2.31) Т~(з) =йа81[1+Кд[зХ вЂ” Ад] дВ;] 'Ц(з)) (26.2.32) Заметим, что все неминимально-фазовые нули объекта сохранены в То(з), что является необходимым для внутренней устойчивости. Читатель может заметить (это неявно проявляется в (26.2.32)), что некоторые из неминимально-фазовых нулей продублированы и появляются во многих диагональных элементах. В худшем случае, каждый неминимально-фазовый нуль будет появляться в каждом диагональном элементе. Точное значение, сколько нулей появится в каждом канале, зависит от степени каждой минимальной реализации, включенной в определение моделей (26.2.18)-(26.2.20).
Мы не будем здесь это доказывать, но неминимально-фазовые нули, появляющиеся в (26.2.32),— где вд(з),вг(з),...,д,„(з) — такие же, как в (26.2.9). Наконец, мы видим, что окончательно номинальная дополнительная чувствительность равна 26.2. Устойчивые системы 853 в„(Ф) Рис.
26.2. Диагональная развязка М1МО-регулятора Я(з)) диагонально инвариантны и появляются во всех возможных диагонализированных замкнутых контурах. Таким образом, распространение неминимально-фазовой динамики на другие каналы — компромисс, неотъемлемо связанный с развязкой. Окончательная реализация Щз) показана на рис. 26.2. На рис. 26.2 бд обозначает систему, описанную в форме пространства состояний четырьмя матрицами (Ад,Вд,Сд,Пд), как в (26.2.18) и (26.2.19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
