Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 141
Текст из файла (страница 141)
26.7, где г1(1) = р($ — 1) и г2($) = -[»(1 — 501). Заметим, что, как и ожидалось, система теперь еполностью развязана» от эталонного сигнала до выходной реакции. Предлагаем читатеаю смоделировать и изучить зависимость между входом и выходом предварительного фильтра Н(з). Обратите внимание на тонко скоординированное взаимодействие в эталонных сигналах, которые поступают на обеект (выход Н(з)). Это было бы поистине невозможно для человека-оператора, управляющего эталонными сигналами, вручную так, чтобы один выход обеекта изменялся без того, чтобы вызвать переходный процесс на другом выходе.
ППП 26.4.2. Проект с двумя степенями свободм, использующий аффинную параметризацию Здесь мы представим альтернативный проект развязки с двумя степенями свободы, используя идеи гл. 25. Сначала вспомним аффинную параметризацию всех стабилизнруюп1их регуляторов для не обязательно устойчивых систем, данную в лемме 25.2. Это представление повторно приведено на рис. 26.8. 862 Глава 26. Развязка Стабилизирующая Структура Рнс. 26.8.
Я-параметризация для неустойчивых М1МО-объектов Далее рассмотрим схему на рис. 26.9, которая включает две степени свободы. Можно легко показать, что номинальная передаточная функция от г(с) к у(с) имеет вид Ны(а) = С,дц(а)Г(а) (26.4.17) Следовательно, нам просто нужно выбрать Г(з) в виде устойчивого правого диагонального компенсатора для специального усвзойчввого обаекгла С„ы(з). Это можно сделать так, как сказано в разд. 26.2 и в разд. 26.3.
Заметим, что это даст проектирование передаточной функции от эталонного сигнала до выхода (определенной матрицей Г(а)), независимое от чувствительностей к возмущению (определенных матрицей Й(а)). Рис. 26.9. Я-параметризация с двумя степенями свободы для неустойчивых М1МО-объектов 26.4. Неустойчивые системы 863 26.4.3. Проект, основанный на обратной связи по состоянию, с одной степенью свободы С(з) = [С р(з)) ~С тч(з) = Сотч(з)[Соо(з)] ' (26.4.18) Затем используем следующие шаги. Шаг 1.
Сначала используем методы разд. 26.3, чтобы найти устойчивые пред- и пост-компенсаторы Пь(з) и Пи,(з), такие, что Совт(з)Пк(з) = Рт(з) и Пь(з)Сор(з) = Рз(з) (26.4.19) где 1Э1(з) и 1Эз(з) — диагональные. В соответствии с проектом С н(з) и С тз(з) устойчивые, но не обязательно минимально-фазовые. Таким образом, мы рассматриваем эту подзадачу как задачу определения устойчивых диагональных пред- и пост-компенсаторов для устойчивых передаточных матриц. Это точно такая же задача, что и решенная в разд.
26.3. Теперь, если можно выбрать Свт(з) = Пк(з) и Пь(з) = Со(з) (26 4.20) и если истинна лемма 20.1, то можно получить диагональные Т (з) и Я (з), как и требуется. Трудность состоит в том, что решения (26.4.19) в общем случае не будут удовлетворять лемме 20.1. Тогда мы не можем непосредственно использовать (26.4.20), а вместо этого переходим на следующий шаг.
Шаг 2. Мы решаем следующее уравнение (если возможно) для устойчивых диагональных От(з) и Пз(з), таких, что Р1(з)Р1(з) + Рз(з)ог(з) = 1 где Рт(з) и Пз(з) — такие же, как и в (26.4.19). (26.4.21) Методы проектирования, представленные в разд. 26.4.1 и 26.4.2, достигают диагональной развязки для эталонных сигналов только потому, что они основаны на структурах с двумя степенями свободы. В этом разделе мы покажем, как можно разработать предварительный стабилизирующий контур (когда это возможно!), чтобы получить диагональную номинальную чувствительность.
Будем стремиться получить динамическую развязку и для эталонных сигналов, и для выходных возмущений. Сначала представим объект с помощью ЛМДО и ПМДО следующим образом: 864 Глава 26. Развязка Заметим, что (26.4.21) — набор т независимых скалярных тождеств Безу. Мы знаем, что это разрешимо тогда и только тогда, когда числители соответствующих диагональных элементов в 1)1(з) и Пз(в) не имеют никаких общих неустойчивых сомножителей. Было показано (см.
ссылки в конце главы), что это фактически необходимое и достаточное условие для существования диагонального регулятора с одной степенью свободы. Следовательно, если нет никакого устойчивого диагонального решения (26.4.21), то развязка в структуре с одной степенью свободы невозможна никаким методом! Фактически, 1)1(з) и Пг(в) обычно называются диагональными структурами для числителя С„м(з) и знаменателя С р(в) соответственно. Наличие неустойчивых общих элементов в этих структурах подразумевает, что развязка с одной степенью свободы обязательно привела бы к компенсации неустойчивых полюсов и нулей, что недопустимо.
Таким образом, мы принимаем противоположное и переходим к шагу 3. Шаг 3. Построим регулятор С(з) в виде ПМДО следующим образом: С(з) = См(в)[Ср(з)] ' где См(в) = С р(в)См(в)[С р(з)] Ср(з) = Йз(в)Пн(в) вместе с Сы(в) = Пн(з)61(в) (26.4.22) В этом случае мы имеем сведующий результат. Лемма 26.2. Вышеупомянутый регулятор (если он может бить построен) гарантирует следующее: 1) Контур обратной связи устойчив, т.
е. Сар(в)Ср(в)+С,гг(з)Свг(в) =1 2) Номинальнол чувствительность диагональна, т. е. Бь(з) = Ср(з)Сар(з) является диагональной. 3) Альтернативное ЛМДО для С(з) имеет вид С(в) = [Ср(в)] ~Сы(з) где См(з) такая же, как в (26.4.22) и Ср(з) = [1- См(з)С м(з)][влар(з)] 26.5. Нули развязанных и частично рвзвязвнных систем 866 Доказательство 1) С р(з)Ср(в)+С ы(з)Сы(в) =Сор(в)Газ(в)Пь(з) (26.4.23) +С гч(~)С р(в)С1ч(виС р( )] = (С р(~)Рз( )Пь(в)С р(в) (26.4.24) + Сом(з)Сор(з)Пи.(з)6з(в))[Сор(з)] ~ (26.4.25) = (С р(в)йз(в)Пз(в)+ С р(з)С ы(в)Пк(в)61(з))[С р(в)] (26.4.26) (26.4.27) (26.4.28) = (С р(в)6,(в)1),(в) + Сор(з)Р,(в)6,(в)) [С р(в)] = С р(з)(11з(в)11з(в) + Пз(в)131(в))[С,р(з)] ~ = 1 2) Бо(в) = Ср(в)[Сор(з)Ср(з) + Соя(з)Сгт(з)] "Сор(в) = Ср(з)С р(в) [используя часть 1] = 1Эз(в)Пь(в)Сор(з) = Рз(з)йз(з) (26.4.29) которая яаляетпсл диагональной.
ППП 2б.5. Нули развязанных и частично развязанных систем Мы выше видели, что неминимально-фазовые нули и неустойчивые полюсы существенно затрагивают свободу получения развязки. Действительно, проведенный выше анализ говорит, что единственный нуль или полюс в ППП может потребовать обращаться ко многим контурам, если развязка — требование проекта. Мы пронллюстрируем это ниже различными аргументами. Рассмотрим объект, имеющий номинальную модель С (в). Предположим, что эта модель имеет неминимально-фазовый нуль в точке в = г„с направлением Й~ = [Йт Йз ...
Й ], т. е. И~С (г,) =0 ' (26.5.1) Предположим также, что регулятор С(в) спроектирован так, чтобы получить динамическую развязку, т. е. обладает диагональной матрицей чувствительности. Это означает, что матрица передаточных функций Предупреждаем читателя, что хотя вышеупомянутая процедура аналитически корректна, она не подходит для реализации, потому что (26.4.29) — не минимальная реализация и содержит неявные компенсации неустойчивых полюсов и нулей, которые должны быть выполнены алгебранчески до реализации. 866 Глава 26.
Развязка М(з) = сааб(Мы(з), Мгг(з),..., М (в)) (26.5.2) тогда Ь М(»о) = [Ь1Мы(»о) ЬгМгг(»о) ° ° ° ЬтпМокл(»о)1 = О (26.5.3) Таким образом, мы должны иметь, что Ь;Мп(»,) = О, для 4 1,2,...,т. Это подразумевает, что Ми(»„) = О для всех э', таких, что соответствующий компонент Ь; не равен нулю.
Подобная ситуация возникает и с неустойчивыми полюсами. В этом случае мы рассматриваем направление д, связанное с неустойчивым полюсом ц,. Напомним, что ц, является неустойчивым полюсом, если существует вектор, отличный от нуля, д = [д1 дг ...д ], такой, что т когда С (в) представлен в ЛМДО, С (з) = [С о(з)] 1Сом(в), тогда С о(по)у=О=~[Со(по)] 'д=О (26.5.4) Динамическая развязка подразумевает, что [М(в)] 1 также должна быть диагональной. Таким образом [М(з)] д= [(Мы(»о)) дь (Мгг(» )) дг .. (М т(»,)) д ] =О (26.5.5) Следовательно, мы должны иметь, что (Мп(»,)) 1д; = О для 1 = 1,2,...,т.
Это подразумевает, что Мн(»„) = О для каждого 4 такого, что соответствующий компонент д; не равен нулю. Чтобы получить более полное понимание этого явления, возьмем следующий пример, где для простоты рассмотрим только задачу неминимально-фазовых нулей. Пример 26.5. Рассмотрим обаект, имеющий номинальную модель 1 [в+ 1 2~] (з + 1)(з + 2) [ 1 1] (26.5.6) Это обаект имеет нуль при з = » = 1 с геометрической кратностью рэ = 1 и соответствующее левое направление Ьт = [1 — 2].
Предположим, что мы хотим получить развязанный М1МО-контур управления, т. е. обладающий диагональной матрицей дополнительной чувствительности. Тогда матрица передаточных функций разомкнутого контура М(з) = С (з)С(з) также должна быть диагональной Со(з) С(з) — ~ О М ] Мы(з) О (26.5.7) о разомкнутого контура М(з) = С (з)С(з) должна также быть диагональной — т. е.
2о.5. Нули развязанных и частично развязанных систем 867 что дает Мп (з) 1+ Мп(з) Т (з) = (26.5.8) Мгг(з) 1+ М22(з) Из (26.5.7) регулятпор должен удовлетворять условию 0 Мгг(з) д [Мдд(з) 0 Инверсия модели обеектпа дает (з+1)(з+2) [ 1 — 2 ~ [ о(з)] — ( ц [ 1 +ц (26.5.9) (26.5.10) Это подтверждает присутстпвие неминимально-фазового нуля, расположенного в точке з = 1. Тогда, используя (26.5.10) в (26.5.9), мы получаем (э+1)(в+2) [ Мп(з) — 2М22(з) (з — 1) [-Мдд(з) (з+ 1)Мгг(з)] (26.5.11) Используя (20.4.8), легко показать, что матприца чувствитпельностей по управлению Я„(з) имеетп вид Мп (з) 1+ Мп(з) 0 Б„( ) = [Сх (з)] ' (26.5.12) Мгг(з) 1+ Мгг(з) 1 [-з+1 — з+ 1] (з + 1)(з + 2) ~ 2 1 (26.5.13) Заметим, что этот обеект также имеетп неминимально-фазовый нуль, расположенный в точке з = зо = 1.
Чтобы получить ту же самую передаточную функцию разомкнутого контпура, как в (26.5.7), регулятор теперь нужно выбратпь таким: (э+1)(з+2) [Мдд(з) ( — з+1)Мгг(з)1 (з — 1) [2Мдд (з) (-з + 1) Мгг(з)] (26.5.14) откуда следует, что контур не будет внутпренне устойчив, если одновременно Мп(з) и Мгг(з) не обращаются в нуль при з = го. Следовательно, неминимально-фазовый нуль должен появиться в обоих каналах, чтобы избежатпь неустойчивостпи. Рассмотрим далее измененную модель, имеющую вид 888 Глава 26.
Развязка ]Мп(з) М12(з)] (26.5.15) Мп(з) М1г(з) 1+Мп(з) (1+Ми(з))(1+Мгг(з)) Т„(з) = М22 (з) 1+ М22(з) Тогда требуемый регулятор имеет форму (26.5.16) (з+ 1)(з+ 2) ~ Мп(з) М12(з) — 2Мгг(з) (з — 1) (-Мп(з) — М12(з) + (з+ 1)М22(з)1 (26.5.17) М1г(з) — 2Мгг(з)(1+Ми(з)) Мп(з) 1+Мп(з) Мп (з) ( 1 + М1 1 ( з ) и 1 + М22 ( з) ) — М1г (з)+ (э+1) Маг(з К1+ Мп (з) ) (з+ 1) (з+ 2) ао(з)— з — 1 1+М (з) (1+Мы (з)) (1+ М22 (з)) (26.5.18) Отсюда мы делаем вывод, что для обеспечения устойчивости замкнутого контура нам необходимо, чтобы Мп(з) обращалась в нуль при з = 1 — т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
