Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 142
Текст из файла (страница 142)
е. неминимально-фазовый нуль должен появитьая в канале 1. Нам также нужно, чтобы (М12(з) — 2Мгг(з)],, = 0 (26.5.19) ( — М12(з) + (з+ 1)М22(з)],-1 = 0 (26.5.20) т. е. не нужно, чтобы неминимально-фазовый нуль появился и в канале 2. Вместо этого мы можем выбрать элемент связи М1г(з) таким образом, чтобы удовлетворить условиям (26.5.19) и (26.5.20). Предлаеаем читателю исследовать, почему оба этих условия всегда одновременно удовлетворяются. Тогда устойчивость контура может быть обеспечена без требования, что Мгг(з) обращается в куль при з = з,. Однако необходимо, чтобы функция Мп(з) все-таки обращалась в куль при з = з,. Мы видим, что направление, связанное с кемипимально-фаэовым нулем, в этом случае пг = [1 О].
Далее исследуем, что произойдет, если ке нужно получать полную динамическую развязку. Рассмотрим исходный обвект, имеющий модель, данную выражением (26.5.6). Выберем верхнюю треуеаяьную матрицу чувствительности — т. е. потребуем, чтобы матрица передаточных функций разомкнутого контура имела вид 26.о. Ограничения в частотной области для динамически развязанных систем 869 26.6. Ограничения в частотной области для динамически развязанных систем Дальнейшее понимание мультипеременного характера ограничений в частотной области может быть получено путем исследования влияния развязки на компромиссы чувствительности, как это было сделано в гл.
24. В частности мы советуем читателю повторно рассмотреть теорему 24.2. Рассмотрим М1МО-контур управления, где Б (з) и, следовательно, Т (з) — диагональные устойчивые матрицы. Лемма 26.3. Рассмотрим М1МО-обьекгп с неминимально-фазовым нулем в точке з = г, = у+уб со связанными направлениями 61~, й~т,..., Ь~ . Предположим также, что Б (з) лвляегпся диагональной; гпогда для любого значения г, такого, чгпо йгг ф О, выпавняегпся условие Доказательство Контур развязан, гпак что выполняетпся условие [Б (з)]й„= О для всех и Е (1,2,...,т), кроме случая, когда й = т. Это подразумевает, что йтгБ~ )) й ~Б~ (26.6.2) Очевидно, чгпо если выбрагпь нижнюю треугольную структуру связи, то неминимально-фазовый нуль появится в канале 2, но не обязагпельно в канале 1.
Этогп пример подтверждает, что единственный неминимальнофазовый нуль может появигпься более чем в одном канале, когда обеспечиваегпся полная динамическая развязка. Конкретная ситуация здесь зависит от свлзанного с этим нулем направления. Эта ситуация, хогпорая может гпакже происходить и с неусгпойчивыми полюсами, дает дополнительные ограничения на характеристики, учигпывая неизбежные компромиссы, которые являются результагпом присутствия неминимально-фазовых нулей и неустойчивых полюсов. Пример также подтверждает вывод, что треугольная развязка можеп1 улучшить основные компромиссы проекта по сравнению с теми, хогпорые имеютсл при полнои динамической развязке.
ППП 870 Глава 26. Развязка Используя это свойство в выражении (24.8.6) теоремы 24.2, мы получаем 1 '"', 1п(]61т]) à — 1ФслФ (2' )]„„] а(г.,ь) = '" ~ а(г.,а) ь 1 Гоо + — / 1п][Яо(2(и)]„в]«й(го м) > 1п(]Ь,~]) (26.6.3) Тогда требуемый результат следует из использования (24.8.7). ППП Вывод 26.1. Согласно той же гипотезе леммы 26.3, если М!МО- контур развязан (диагональная матрица чувствительности) и технические требования таковы, что ][8 (дю)]~„] < е„„<< 1 для и Е [О,ю~], тогда 1$Ф (2 )]-]] > (26.6.4) Доказательство Аналогично выражению (24.9.2) из равд. 24.9 и используя (26.6.1), где Ф(ю„) такая же, как в (24.9.3). ППП Мы также имеем следующий соответствующий результат для функции дополнительной чувствительности.
Лемма 26.4. Рассмотрим М1МО-систему с неустойчивым павюсом, расположенным в точке з = и = О+ дф, имеющей связанные с ней направления дм...,д„„. Предположим также, что Т (з) являетсл диагональной; тогда длл любого значения т, такого, что д;„14 О, выполняется условие 1п][То(дю)]гг]«ЩЧо,«~) = О ~ о ~ в т о 1 ~ ~ 1~ для г Е '7; (26.6.5) (26.6.6) Доказательство Контур развязанный, так что выполняется условие [Т (з)],в = О для всех 7в Е (1,2,...,т) кроме случая, когда к = т. Это подразумевает, что 2ь.7. Стоимость развязки 871 Используя это свойстпво в выраэтсении (24.7.6) теоремы 24.1, мы получаем 1, 1п([д;„[) — 1п[дта[ТоЬ~))тт[дПЖо,т ) = '" / «ЯЧо,а) 1 г' + — / 1п[[Т (7отЯ„„[дйЯ„от) > 1п([дик[) (26.6.7) Тогда искомый результпат следуетп после использования (24.7.7).
ПП0 26.7. Стоимость развязки Мы можем теперь исследовать стоимость динамической развязки, сравнивая результаты в гл. 24 (а именно, лемму 24.4) с выводом 26.1. Чтобы сделать анализ более прозрачным, мы предположим, что геометрическая кратность нуля тз, равна единице — т. е. имеется только одно левое направление Ьт, связанное с конкретным нулем. Сначала предположим, что 61 имеет больше чем один элемент, отличный от нуля, — т. е.
что кардинальное число Чт~ больше единицы. Тогда сравним выражение (24.8.8) (применимое к контуру с взаимодействием) и (26.6.1) (применимое к динамически развязанному М1МО-контуру). В первом выражении мы видим, что правая часть неравенства может быть отрицательной для некоторых комбинаций ненулевых недиагональных чувствительностей. Таким образом, можно использовать недиагональные чувствительности, чтобы уменьшить нижнюю границу пика диагональных чувствительностей. Это можно интерпретировать как двумерный компромисс чувствительности, потому что он включает наряду с частотным и пространственное измерение. Подобный анализ может быть выполнен и в отношении выражений (24.9.2) и (26.6.4). Тогда мы видим, что в (24.9.2) нижняя граница [[[Я Цоти,„[[, может быть сделана меньше, чем с помощью соответствующего выбора характеристик недиагональных чувствительностей. Таким образом ограничение чувствительности, являющееся результатом (24.9.2), может быть сделано более мягким, чем в (26.6.4), которое соответствует развязанному случаю.
Выводом из этого анализа является то, что с точки зрения компромиссов и ограничений проектирования лучше иметь связанный М1МО- контур управления по сравнению с динамически развязанным. Однако существенный факт, что выводя эти заключения, мы считали, что Йт имеет более одного элемента, отличного от нуля. Если это не так, 872 Глава 26. Развязка Пример 26.6. Рассмотрим следующую М1МО-систему: 1 — з ( +цг 1 — з (з + 1)(з + 2) з + 4 (з+ 2)г = Сон(з)(Сор(з)] 1 (26.7.1) Со(з) = (з+ 1)(з+ 2) где (1 — з)(з+ 2)г (з+ 1)(з+ 2)(з+ 3)1 огч(з) = ~ г ~ (26 72) ](1 — )( + 2)( + 1) ( + 1) ( + 4) (з) (з + 1)2(з + 2)2 (26.7.3) 1) Определить расположение нулей в ППП и их направления.
2) Оценить интегральные ограничения на чувствительность, которые будут без организации динамической развязки и получить границы пика чувствительности. 3) Оценить интегральные ограничения на чувствительность, которые будут, если требуется динамическал развязка и пааучить границы пика чувствительности. 4) Сравнить границы, полученные в пунктах 2) и 3). Решение 1) Нули обвекта являются корнями де1(С 1ч(з)) — т. е. корнями полинома -2зг — 14зз — 32з4 — 18зг + 26зг + 32з + 8. Только один из т.
е. если только 61, у~ О (соответствующее направление является каноническим), то не возникает никакого дополнительного компромисса, накладываемого требованиями развязанного замкнутого контура. Когда 61 имеет только один ненулевой элемент 61„ф О, это означает, что т.-й столбец чувствительности нулевой, т. е. [Б ],„(«,) = О и что остальные столбцы Я («,) линейно независимы. Нуль тогда связан только с г-м входом и„(1). Напротив, если Ь1 имеет более одного ненулевого элемента, то нуль связан с комбинацией входов. Другое упрощение в вышеупомянутом анализе было связано с тем, что Со(з) является матрицей размерности тхт и максимального ранга, а Со(«,) имеет ранг т — 1 — т.
е. нулевое пространство, связанное с нулем при з = «„имеет размерность д, = 1. Когда это ограничение снято, мы могли бы иметь благоприятную ситуацию, что направления йт1,6~т,...,Ь~~ могут быть выбраны таким способом, что каждое из них имеет только один ненулевой элемент. Это предполагает, что не потребовалось бы никаких затрат на динамическую развязку. Проиллюстрируем вышеупомянутый анализ на следующем примере. 26.1. Стоимость развязки 873 этих корней, а именно тот, который расположен в точке з = 1, находится в ППП. Таким образом, г = 1 и Ий(г„ьт) = йо 1 1+ 012 (26.7.4) Далее вычислим Со(1): ьэ (1)ьо (26.7.5) откуда можно заметить, что размерность нулевого простпранстпва и, = 1 и (птолько) связана'с (левым) направлением Ьт = [5 — 6]. Ясно, что этот вектор имеет два ненулевых элемента, так что мы могли бы ожидатпь, что будут дополнительные компромиссы проектирования, являющиеся результпатпом развязки.
2) Применяя частпь 2) тпеоремы 24.2 для г = 1 и г = 2, мы получаем соответственно (26.7.6) (26.7.7) Если мы наложим на проекта тпребования в соотпветпствии с леммой 24.4, то для связанного М1МО-контура будем иметпь (26.7.8) (26.7.9) 3) Если мы требуем динамическую развязку, выражения (26.7.6) и (26.7.7) упрощаютпся и будутп, соответстпвенно, 1 1 — / 1п ]5[80(2с l)]11 — 6[80(101)]21! — 2йо > 1п(5) 1+ ьт 00 1 к./, — 1п [5[80(за1)] 12 6 [80 Цю)]22! 2 йо > 1п(6) 1+ ьт б 1г 1 1 -ы .1 [[[8 ]11[! + ]][80]21[! 5 е11+ бе21 5 ( 1 'т -ы 1 ]][8 ]22]! +-[[[80]12]]00 > ~ б -~ +ь.) 1 00, 1 — 1П][80(уэ)]11! йэ > О 1 Гоо 1 — / 1п[[80(тат)]22! — сЬ» О к,.) 1+О (26.7.10) (26.7.11) 874 Глава 26.
Развязка С динамической развязкой (26.7.8) и (26.7.9) упрощаютпся до 4) Чтобы определить количественно отношения между величиной границ в связанном и развязанном случаях, используем показатель к1д, определяемый как частное правых частей неравенств (26.7.8) и (26.7.12): где Л1, = — (26.7.14) ь еэ1 Е11 Таким образом, Лзе — относительная мера взаимодействия в направлении от канала 1 к каналу 2. Проблемы, рассмотренные вы1ие, отражены в графической форме на рис.
26.10. 1.г о 0 1 г Э 4 5 б 7 б 9 10 Отношение Лм = еПее Рис. 26.10. Стоимость развязки с точки зрения нижних границ ника чувствительности На рис. 26.10 показано семейсгпво кривых, соответствующих разли'1ным полосам пропускания 1о . Каждая кривая предсгпавляет для указанной полосы пропускания отношение между границами пиков чувствительности как функцию показатпеля развязки Л1,. Мы можем сделать следующие основные выводы, а) Когда показатель Л14 очень маленький, фактически нет никакого влияния канала 1 на канал 2 (по крайней мере, в диапазоне частот (0,1оо]); тогда границы очень близки (к1а — 1). 1 о.б к о.б Й О 04 о.г ))(~.)11!! ) ))(в.Ь !! > (26.7.12) (26.7.13) 26.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
