Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 140
Текст из файла (страница 140)
Векторные сигналы изображены толстыми линиями. Предыдущий анализ имел целью нахождение устойчивой инверсии, которая гарантирует динамическую развязку. Конечно, возможны и другие структуры. Пример 26.2. Рассмотрим обеект, имеющий номинальную модель Се(з) = г 2 1 (26.2.33) Эта модель имеетп неминимально-фазовый нуль в точке з = 4. Чтобы синтезироватпь рееуллтпор на основе идей, приведенных выиье, мы сначала вычислим правую матприцу взаимодействия, которая, оказывается, имеет общую форму ~~(з) = йая(з+ ст, (з+ ст)г). Для упрощения вычислений выберем ст = 1. Тоеда [Лдд(з)] ' = [д'о(з)(дд(з)] " = 2 2 (26.2.34) и реализация в простпранстпве состояний для [Лн(з)] д будетп АА =; Вл =1; Сл = 2 6 ' Рх = (26.2.35) Далее вычисляем (А;, В;, С;, Пд) как минимальную реализацию (Ад,ВАед,С~„вахед) для д = 1 и д = 2.
Эти вычисления дают Ад 4 Вд 1 Сд [5 2]т Пд [1 0]~ (26 2 36) Аг = 4 Вг = 1 Сг = [15 6] Вг = [3 1] (26.2.37) 854 Глава 26. Развязка з — 4 П,(з) = — 1 з+ 10 (26.2.38) Наконец, выбираем Рс1(з) в (26.2.29) так, чтобы обеспечить полосу пропускания приблизительно равной 3 рад/с, например, Заметим, что элементы 11(з) и ~г(з) в Рс1(з) были выбраны с относительными степенями, равными соответствующим степеням столбцов матрицы взаимодействия (и(з).
Также и их усиления на нулевой частоте были выбраны так, чтобы обеспечить единичное усиление на нулевой частоте в дополнительной чувствительности Т (з), что дает (4(за + 4з+ 9) 4(э+ 10)(зг+ 4з+ 9) ) 26.3. Пред- и пост-диагонализация Матрица передаточных функций Щз), определяемая выражением (26.2.29), фактически является правым диагональным компенсатором для устойчивого (но не обязательно минимально-фазового) объекта.
Это можно видеть (как в (26.2.32)) из С„(з)Пн(з) =61ай((1+К;(г1 — А] ~В;) ~г;(з)) (26.3.1) где Пн,(з) = Щз) = фи(з)Ж(з) 13<~ (з) (26.3.2) Позже мы увидим, что иногда также желательно иметь левый диз; гональный компенсатор. Мы могли бы получить такой компенсатор на основе предыдущих принципов. Однако более простой путь — сначала сформировать Со(з) — Со (з) Эти подсистемы могут бьапь стабилизированы обратной связью по состоянию с усилениями Кз и Кз соответственно. Для этого случал каждое усиление выбрано тах, чтобы переместить неустойчивый полюс в точке з = 4 х устойчивому местоположению, например, з = -10, что дает К1 = Кз — — 14.
Таким образом, П,(з) в (26.2.24)— диагональная матрица размерности 2 х 2, имеющал вид 26.3. Пред- и пост-диатоиапизаиия 855 Найдем правый диагональный компенсатор Пк(з) для С„(з), используя метод, предложенный выше. Пусть далее Пь(з) = Пкт(з), обладающий свойством, что Пь(з)Со(з) Пнт(з) Сот(з) = [Со(з)Пк(з)]~ (26 3 4) что является диагональной матрицей по построению. Пример 26.3. Рассмотарим тот же обвектп, чтпо и в примере 26.2. Тогда — 9(з+ 1)г [з+ 10 120 к(з) ~к( ) ( ) 'и( ) 4(зг+4з+9)(в+10) [в+10 40(з+2) (26.3.5) Если мы повтпорим процедуру примера 26.2, но на сей раз для Сот(з), то получим, что [Лк(з)] 1 = [Ст(з)4 (з)Г1 = + 2( +1) (26.3.6) В этом случае реализация в пространстве состпояний для [Лк(з)] будет Ал= 0 4 , .Вл= 0 4, Сл= 15 15 ' ~л= 0 С1 = [2.5 1.5]~ 1Э1 = [1 0]~ (26.3.8) Сг =[25 15]~ Пг=[2 Ц~ (2639) А1 =4 Аг =4 Вд=2 Вг=4 Эти подсистемы могуп1 быть стпабилизированы обратпной связью по состоянию с усилениями Кд и Кг соотпветстпвенно.
Сделаем тот же выбор, что и в примере 26.2: переместим неустпойчивый полюс при з = 4 в устойчивое местоположение, например, з = — 10, что обеспечиваетпся с помощью К1 = 7 и Кг = 3.5. Таким образом, Па(з) есть диагональная матприца размерности 2 х 2, имеющая вид з — 4 П,(з) = — 1 з+ 10 (26.3.10) Пс1(з) выбрана как и в (26.2.39), чтпобы обеспечить ту же самую полосу пропускания 3 рад/с. Окончательно этпо даетп — 9(з+1) [в+10 2(в+10)1 4(зг+ 4з+ 9)(з+ 10) ~ 30 10(з+ 2)~ (26.3.7) Тогда минимальные реализации (АПВП Сп 13;) для (Ал, Вле;, Сл, Оле; при т'=1 и1= 2 будут 856 Глава 26. Развязка 26.4. Неустойчивые системы Далее мы займемся задачей проектирования развязанного регулятора для неустойчивого М1МО-объекта.
Здесь мы имеем дополнительную сложность: нужна некоторая минимальная обратная связь, чтобы обеспечить устойчивость. Чтобы вникнуть в эту задачу, мы представим четыре альтернативных варианта проекта: 1) проект с двумя степенями свободы, основанный на предварительной фильтрации эталонного сигнала; 2) проект с двумя степенями свободы, использующий аффинную пара- м етризацию; 3) проект, основанный на обратной связи по состоянию, с одной степе- нью свободы и 4) проект, объединяющий и обратную связь по состоянию и аффинную параметризацию. 26.4.1. Проект с двумя степенями свободы, основанный на предварительной фильтрации эталонного сигнала Если требуется полная динамическая развязка только для изменений эталонного сигнала, то это может быть легко получено сначала стабилизацией системы, используя некоторый подходящий регулятор С(з) и затем используя предварительную фильтрацию эталонного сигнала, Основная идея иллюстрируется рис.
26.3. Пусть этот объект имеет передаточную функцию С (в); тогда передаточная функция замкнутого контура, связывающая В(в) с У(в) на рис. 26.3 С,1(з) = [1+С (в)С(з)] С (з)С(в)Н(в) (26.4.1) Чтобы обеспечить развязку, нужно лишь выбрать Н(з) как правый диагональный пред-компенсатор для устойчивой передаточной функции (1+ С„(в)С(в)~ С„(в)С(з). Проиллюстрируем это примером. Предварительный фильтр Рис. 26.3.
Проект с предварительной фильтрацией для полного динамиче- ского разделения 26.4. Неустойчивые системы 857 С (з) =С ьт(з)Р гу( )Г' где (-5 зг 125з+ 1 0 Сон(з) = ~ 1 — 0.0023~ ' Со~у(з) ~ 0 з(з+ 1)г (26.4.3) 1). Преобразовать модель в форму простпранства состпояний и оценить нули. 2). Спроехтироватпь предварительный стабилизирующий регуллтпор, чтобы обеспечить статическую развязку для эталонных сигналов. 3). Спроектировать предварип1ельный фильтпр, чтобы обеспечить динамическую развязку для эталонных сигналов. Решение 1) Если мы вычислим бес(Сорт(з)), то увидим, что это — неминимально- фазовая система, имеющая нули при з = ~0.1072. Нужно спроек- тпировать регулятор, хотпорый обеспечивает динамичесхую развязху.
Выполним это в несколько шагов. Модель пространства состояний Модель простпранства состояний длл системы имеетп вид хр(1) = Аохр(Е) + Вои(1) У ($) = Сахро + 1:Уои (г) (26.4.4) (26.4.5) где Ао= (26.4.6) Во— — 02 1 0 0 0.04 0 0 — 0.0023 о.= [ (26.4.7) В.=О Будем проехтпироватпь стабилизирующий регулятор со структпурой, показанной на рис. 26.4.
Сначала спроектируем наблюдатель для состпояния хр(1), используя выход у(т). Этот проект использует тпеорию фильтра Калмана с Я = ВоВо~ и К = 0.051гиг. Пример 26.4. Рассмотрим объект — 004 0 0 0 0 — 2 — 1 0 0 1 0 0 0 О 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 858 Глава 26. Развязка Рис. 26.4. Оптимальный квадратичный проект с интегрирующими свойствами Оптимальные усиления наблюдателя оказываются следующими: -3.9272 1.3644 2.6120 0.1221 -0.6379 0.1368 -2.7266 -4.6461 (26.4.8) «(Ф) = — у(1) = — Сохр(г) (26.4.9) Мы можем теперь определигпь составной вектор состояния х(ь) = (хр (ь) «~(с)]~, приводящий к составной модели х(1) = А х(г) + В и(г) (26.4.10) где (26.4.11) Далее рассмотрим составную систему и спроекгпируем регулятор состояния с помощью теории линейных квадратичных регуляторов.
Выберем С~ГС О О 0 0.006 О 0 0 0.1 (26.4.12) Ф = 21йхз ' для простоты мы рассмотрим здесь случай, когда эталонный сигнал г00 равен нулю. Мм хотим иметь нулевую ошибку в установившемся состоянии при ступенчатых входных возмущениях, Поэтому воспользуемся процедурой из равд. 22.13 и введем интегратор с передаточной функцией 1/з на выходе системы (после элемента сравнения). То есть, мм доба вляем1 26.4. Неустойчивые системы 899 что приводит к усилению обратной связи К = (Кт Кз), где 0 .1807 — 0.0177 0.1011 — 0.0016) 1'0.0412 -0.1264 Кт— Кз= ~ -0.0177 0.1496 0.0877 0.0294~ ' 10.0283 0.1844 (26.4.13) Это даетп эквивалентный замкнутый контур, показанный на рис. 26.5 (где мы игнорировали динамику наблюдателя, потому чтпо она исчезает в установивтаемся состпоянии). Окончатпельные реакции замкнутого контпура на единичные ступенчатые эталонные воздейсгпвия показаны на рис.
26.6, где гт(т) = р($ — 1). Эаметим, что, как и оэ7сидалось, систпема естатпически развязаная, однако проявляется существенная связь в тпечение переходных процессов, особенно после стпупеньки во втором этпалонном сигнале. 3) Замкнугпый контпур имеетп передаточную функцию '10(з) = (1+ Ж(з)) 'Ж(з) (26.4.14) з г и ие вв з Ф хи зо Ф1-1 -г о Рис. 26.6. Эквивалентный замкнутый контур (динамика наблюдателя игнорируется) 100 270 ЗОО 400 800 800 700 800 900 1000 Время (с] Рис. 36.6.
Статически развязанное управление 860 Глава 26. Развязка где (л(з) = Со(з1 — Ао+ ВоКд) ВоКз — (26.4 15) Это устойчивая собственная передапдочная функция. Заметим од- нако, что она неминимально-фазовая, потому что первоначальный объект был неминимально-фазовым. Используем методы равд. 26.2.2, чтобы спроектировать инверсию, которая сохраняет динамическую развязку при наличии неминимально- фазовых нулей. Чтобы использовать эти методы, учтем, что экви- валентным объектом являепдсл замкнутая система с передаточной функцией (26.4.14) и с моделью пространства состояний, определяемой четырьмя матрицами (Ае, Ве, СВ,О), где А,=[ ' ' '0 ]; В =40 62; с =1с, О) 426.4.16~ Матрица взаимодействия для этой замкнутой системы равна ~,(.) = ~,; =0.0З Г(э+а)2 0 Это ведет к расишренной системе, имеющей модель пространства состояний (А'1В'1С'1Р') с Ае = Ае В' =В, С' =а~С +2оС А +С А ~ — СеАВВВ Тогда точнал инверсия имеет модель пространства состояний (Ал, Вл1Сл,0л), где Вл = В'.[В',]-д Сл = -Рз',]-дс', вл Ве [в'.]-д Теперь можно сформировать две подсистемы, как рассматривалось в равд.
26.2.2. Сформируем минимальные реализации этих двух систем, которые обозначим через (Ад,Вд,Сд,Рд) и (Аз,Вз,Сз,Рз). Определим стабилизирующую обратную связь длл этих систем, используя теорию линейного квадратичного регулятора с Фд = Сд~сд Ф, =106 Ф,=С,~Са Фг = 10 26.4. Неустойчивые системы 861 х 1 х хй ххе юй О Я Ф чв во -1 1ОО 200 ЗОО 400 500 600 200 ВОО 900 1000 Время [с[ Рис. 26.7. Динамически развязанное управление Затем сформируем пред-компенсатор, как на рис. 26.2, где выберем 21 — Кт[А2) ~В2 »1()хх ( )2 21 — Кз[А2] 1В2 ~2(з) = о ( )2 где Кы К2 теперь представляют стабилизирующие усиления для этих двух подсистем, как сказано в равд. 26.2.2. Результирующие реакции замкнутого контура для ступенчатых эталонных воздействий показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
