Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 68
Текст из файла (страница 68)
46г где а — постоянный единичный вектор. Прямой подстановкой убеждаемся, что справедливы равенства Ч е*=О, (! 2.47) Ч Х е*=Ч(а.Чи") для $чьх. (12.48) Из уравнения (12.40) видно, что существует векторный потенциал. Ч', для которого справедливы соотношения [181 Ч х Чг = и, Ч.Ч" = О. (12.49, 12.50) Таким образом, подставляя в уравнение (!2.44) вместо Р фундаментальное решение е* и вместо Е векторный потенциал Ч", учитывая уравнения (12.41) н (!2.46) — (!2.50) и вводя (см. равд. 2.2)! охватывающую точку $ малую сферу радиусом е с поверхностью оторая исключается из области интегрирования, из уравнения (12.44) получим (Чи'х а) гвсЯ ( Ч' Х Ч(а Чиа) иг(à — ~ (Чи' Х а) Х и и г(Г. (12.51) г+г, г+г, Это уравнение можно переписать в следующей форме: а.(ев Х Чи*)е(Я = ~ (а Чи')(и и)г(à — ( а [(и и) х Чиа1с(Г.
(12.52д г+г, г+г При е -и 0 область интегрирования Я в левой части уравненн ( . 2) редставляет собой пространство, ограниченное поверхня. постыл Г, поскольку пространственный интеграл по области, ограниченной поверхностью Г„будет стремиться к нулю при е — 0 Для интегралов по поверхности Г„стоящих в правой части уравнения (!2.52), имеем и )1(»» 1( ~»г — ! е х»1х» ~»г)— 1г» г, / 1 = Вш) —,, ()(а и)(и и) — а [(ихи Х п1) г(Г) = 4яа и%).
(12.53д ге 14 а Глава Г2 Учитывая это соотношение, а также то, что вектор а имеет произ- вольное направленне, из уравнения (12.52) получаем 4пи$)+ ~(и и)Чи*г]Г= ~(и х а) х Чиае)Г+ + ) из х Чи' бй. (12.54) Аналогичные выражения можно получить и для двумерных задач течения, взяв в качестве функции и* ($, х) фундаментальное решение для двумерного случая (см.
разд. 2.3), причем здесь пре- дел в выражении (12.53) равен 2па и (5). Таким образом, получаем обобщенное выражение для скорости и [24]: ( [и(к) к и(кЦ х г($, х) е (а х) !" (") и(к)]г(5 ") лг(,), (12.55) г где для трехмерного случая имеем а = 2, г( = 3, Г (ь, х) = [хз (ь) — хз (х), хз ($) — хв (х), «.
(Ы вЂ” х. ( )] а для двумерного случая ГД, х) = (х,($) — х,(х), хз($) — х,(х)]. Отметим, что прн использовании уравнения (12.55] для опре- деления значений функции и в области, занимаемой потоком, необходимо, чтобы на границе Г были заданы значения и, и и„. Если эти значения являются совместными, т.
е. если одно из этих значений получается из решения уравнений (12.40) и (12.41), когда второе из этих значеннй используется в качестве граннчн[]го зна- чения, то обе этн функции, входящие в уравнение (12.55), являются допустимыми и не переопределяют задачу. Для задачи о внешнем обтекании тел конечных размеров можно считать, что область й в уравнении (!2.55) является бесконечной и полностью занята жидкостью. Тогда, следуя процедуре, изло- женной в разд. 2.!О, границу можно разбить на две части; часть границы между твердым телом и жидкостью, где выполняется условие отсутствия прилипания (и =- 0), н часть бесконечно уда- ленной от тела окружающей его поверхности, где задается гра- ннчное условие, согласно которому скорость равна скорости не- Примеры реии.нии задач меканина миднаынн возмущенного потока (и == и ).
Вычисляя поверхностные. интегралы в уравнении (12.55), получаем в этом случае и($) = 2 ) „' г(Я(х)+и„. (12.56) В приведенном уравненин можно узнать закон Био — Савара для индуцированных скоростей [!8, 29]. Таким образом, интегральное уравнение (12.55) является распространением закона Био— Савара 'на область, ограниченную поверхностью Г. Если заданы значения функций и на границе Г н ев в области И, то из уравнения (12,55) можно получить неявную схему вычисления скоростей в произвольной точке потока, Отметим, что, как видно нз выражении (12.56), в уравнении (12.55) в неявном виде содержатся граничные условия на бесконечности и, кроме того, при вычислении скоростей необходимо рассматривать только распределение завихренности в вязкой области потока, поскольку подыптегральная функция в пространственном интеграле равна нулю прн из = О. 12.6.1.
Задачи об установившемся течении где Ь вЂ” общий напор, равный р из Ь = — -]- —, р 2 ' (12.58) Здесь р — давление, р — плотность жидкости, и' = а хв. Из определения завихренности (12.41) имеем Ч из=О. (12.59) Прежде чем переходить к решению уравнении Навье — Стокса (12,39) для неустановнвшегося течения, обсудим сначала процедуры численного решения задач для установившегося течения несжимаемой вязкой жидкости. Хотя в ряде численных исследований задач об установившемся течении применяются уравнения с временными зависимостями (чтобы решения для установившегося течения получать с помощью асимптотических представлений), тем не менее в этом подходе в процедуру численного решения вводится новая зависимая переменная — время, что приводит к дополнительным трудностям вычислительного характера.
Как уже отмечалось выше, кинематика течения жидкости описывается соотношениями (!2.55). Кинетическая сторона течения представляется уравнениями Навье — Стокса, которые для случая установившегося течения можно написать в следующем виде [18]: Ч Х еи = —,(и х е — Чй), 1 (12.57) Глава 12 д а о а о о (12.62) Таким образом, можно видеть, что дифференциальные уравнения (12.57) и (12.56) для завихренности аналогичны системе уравнений (12.40) и (12.4!) для скоростей. Поэтому интегральное уравнение, описывающее кинетику потока, можно получить простой заменой в уравнении (12.55) векторов и и е соответственно на е и (а хе— — 57й)7», в результате чего получаем 1 ( 1 ([и(к) хе(х) — »И(х) хг($,кЦ г(с,к) ( + Ва® =— 2ли ] ч г (С, к) в а + ] [е(к)Хи(кЦХГ(а, «) га ($, х) [е (к)'и (хЦ г (с' х) с(Г (х) (]2 я)) г (2, к) Применяя теорему Остроградского †Гаус к слагаемому, содержащему й, найдем »и (к) х Г (с, к) ((] ( ) ~ л (к) л (к) х Г ($, к) ]Г ( ) (]2 6]~ о " (5 к) га ($ к) г и уравнение (12.60) можно представить в следующем виде: ! (1 ( [и(х) хе(хЦХГ(с, х) ](]( )+ 2ла~» ) г" (С, х) (е(х) Хл(кЦ Х г(4, х) — [е(х) л(хЦГ(4, х) ]],( ) +~ г г ($,к) ! (Л(х) и(к) Х г(С, х) ) гв (С, ,) г Значения е в области, занимаемой потоком, можно вычислять итерационным путем, используя приведенное выше уравнение и считая, что для него известны значения и в области (], а также е и й на границе Г.
Так же как это было при нахождении и (см. уравнение (12.55)), в любой точке невязкой части потока вектор е равен нулю. Таким образом, при вычислении используютсядолько значения функпии и на границе Г (они являются заданными граничными условиями) и в тех областях, где поток является вязким. С учетом сказанного в качестве области, для которой ищется решение, можно взять область, где поток является вязким.
Алгоритм численного решения задач о неустановившемся течении несжимаемой вязкой жидкости с использованием уравнений (12.55) и (12.62) был описан и подробно обсужден в работах Ву и Вахбаха (30, 31]. Г)Римере Реиинил юдач механики ксидкосгпи Пример !2.5. Ву н Вахбах [30] методом граничных элементов получили решение задачи о течении вдоль полости квадратного профиля с числом Рейнольдса, равным 600. Они использовали линейные граничные элементы и треугольные ячейки с линейными интерполирующими функциями для дискретного представления границы и области внутри ее.
7ссс 7соо сосо 7ссо 7000 еаа 7оао иос сое соо Е 7ооо 75С~ МЛ 752 752 729 70 7 7 750 700 727 750 500 500 Е7 070 СВС 5'5 570 550 Е2 088 л- 580 25С 250 ~-ЬВС 297 202 М7 НС . Мо 287 275 250 с Рис. 12.11. Устеновнвсвееси течение несжимаемой виоков масанов»и вдоль ноло- сти нри Йе = 600. Характер течения для этой задачи виден из рис. 12.11, где показаны открытая полость квадратного поперечного сечения и движущаяся пластинка, отстоящая от полости на расстояние, равное одной шестой ширины полости. Там же показаны граничные условия для скоростей.
Граничные условия для скоростей на входе и выходе являются линейными и соответствуют распределению Куэтта для скоростей по высоте профиля, когда отсутствуют градиенты давления. Эти условия задаются в поперечных сечениях канала, отстоящчх от ее краев на расстояние, равное одной трети ширины полости. В результате вычисления векторов скоростей (рис. 12.11) была получена та же картина обтекания с центральным вихрем в полости, что и найденная в работе [32 ] методом конечных элементов и в работах ]33, 34] методом конечных разностей.
425 Геаао Гв (12.63) 12.6.2. Задачи о неустановившемся тече)еии Задачи о неустановившемся течении несжимаемой вязкой жидкости описываются системой уравнений (12.39) — (12.41). Интегральное уравнение, эквивалентное уравнениям (12.40) и (12.4!), определяющее кинематику потока, уже было получено ранее (см. уравнение (12.55) ). Ниже будет получено интегральное представление для кинетической картины течения (35 — 38]. Перепишем уравнение (12.39) для завихренности в следующем виде: 1 де 1 7ве — — — = — — )р х (и х е). д1 2) Сравнивая это уравнение с уравнением (4.1), можно видеть, что уравнение (12.63) можно рассматривать как нелинейное неоднородное уравнение диффузии, где нелинейность обусловлена копвективным слагаемым, стоящим в правой части.
Таким образом, интегральное уравнение, эквивалентное уравнению (12.63), можно легко получить (см. уравнение (4.29) ) в следующем виде: ер е (в, Ее) + т) ] ~ е (х, Е) ]2 )ие Я, х, Ер, Е) и (х)] 1(Г (х) с]Е = = т~ ] и*5, х, Е„, Е) ]]7 Х е(х, Е)] Х и(х)] 1ЕГ(х)1М+ 1,Г + ее(х, Е,)и*5, х, Ер, Е,)2Я(х)+ 11, + ]1 ~ ]Ч Х ]и(х, Е) Х е(х, Е)]]и*Я, х, Ею Е))И(х) )ЕЕ, (12.64) где и Д, х, Е, Е) — фундаментальное решение уравнения дифа фузни (см. уравнение (4.26)). Используя приведенные выше уравнения, можно с помощью итерационной процедуры найти значения е в каждой точке поля в произвольный момент времени Е. Для простоты рассмотрим двумерную задачу обтекания препятствия, помещенного в бесконечное пространство. Внутренний интеграл в последнем слагаемом уравнения (12.64) можно взять по частям, что дает — ])2) )) 'ее= — е]еИ ) ° )626.] ) 2 ')ео, ))266) г ПримеРы решение еадач мекала)еи ееедеепен но поскольку первый интеграл в правой части этого уравнения равен нулю в силу условия отсутствия прилипания, то уравнение (12.64) можно свести к виду 1р е$, Ер)+т] ~ е(х, Е)(ТЕивД, х, Е„, Е) и(х)]1ЕГ(х) 2ЕЕ = 1.
Г = 2) 1 1 ив К, х, Ер, Е) ]Че (х, Е) и (х)] 2ЕГ (х) 2ЕЕ + 16 Р + ео(х, Ев)иа(в, х, Ек, Ев)2Я(х) + ер + ~ ~ Е(Х, Е) ]и(Х, Е) 1)и'$, Х, Е„, Е)]1(61(Х) )ЕЕ. (12,66) 1. Г Для жидкости, находящейся в контакте с движущимся телом, условие отсутствия прилипания приводит к механизму зарожде- Рнс, !2,12. Картина обтекания кругового ннлнндра. ния (или исчезновения) вихрей на поверхности твердого тела. В случае когда жидкость в начальный момент времени находилась в покое, безвихревое течение, обусловленное движением твердого тела, имеет отличную от нуля тангенцпальную скорость относительно этого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
