Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Ошибка возникает при подстановке в матрицу (~ решений интегральных уравнений. На самом деле магрпцу 4~ следует строить, используя поля перемещений или потенциалов, соответствующих фундаментальному решению. Пример 13.1. Статическое взаимодействие. В качестве примера рассмотрим здание, стоящее на грунте, заполняю ем бесконечное пол п о- г— 5 Г '" 1 щ У Р странство (рис. ! 3.2, а). Занимаемая конструкцией область разбивается на конечные элементы, а бесконечному полупространству соответст- Б Обвасть 2 вует область с граничными элементами.
Отметим, что поскольку плоскость, изображающая грунт, должна быть бесконечной. то, вообще 4 говоря, необходимо ввод«ть ( бесконечно большое число х 05аасть 2 граничных элементов. Зту трудность на практике можно обойти одним нз следующих двух пут«Й б 1. ПРиближенный способ. рнс. (з.2. двскретное представление с по- Проводится (рнс.
13.2, б) мощью комвннацнн конечных н граничных гРаница на конечном расстоя- элементов. нни, которая и рассм;прпвается при решении данного примера. Отметим, что в данном случае область замыкалась с помощью нескольких больших граничных элементов. В общем случае это не обязательно, но здесь это делалось длд того, чтобы иметь возможность сравнить решения методами граничных и конечных элементов, получаемых для одной и той же ограниченной области.
2. Вместо функций Грина для неограниченного пространства используется фундаментальное решение задачи для полупространства. При использовании такого подхода граничные элементы вводятся только для дискретно~о представления границы между грунтом и конструкцией. При этом остальная область, занимаемая грунтом, строго учитывается в том случае, если грунт считается однородным.
изотропным и упругим (в других случаях требуется применять фундаментальные решения более сложного вида). Глава !3 433 Показанные на рис. !3.2, а области были затем объединены таким образом, что область 2 могла быть либо граничным элементом (рис, 13.2, б), либо набором конечных элементов (рис. 13 3). мвявеа Метод гранатных клементов и другие методы 439 13.3. Мего д Бубнова и анергетический подход шенных невязок Этот подход состоит в использовании методов Б б у нова и взвеязок или энергетических представлений ния эквивалентных мат иц ений для нахожделасти, диск етное и е с х матриц метода конечных элементов для обр р д тавление которой осуществлялось г аничными элементами. Находя г раннчные интегральные соотноь граб (р ..
),:ожно в пренебрежении пространшения для области 1 > ис. !3.1, и ственными интегоалами напи р а сать для задачи о потенциале урав- Пвамааиа, на иетерой зрнилвамвветсв негртыа ь! 5>не. 13.3. Сетка конечных элементов. ,Дискретные представления с помощью граничных элементов для области 2 и конечных элементов для области 1 использовались для построения эквивалентной симметричной матрицы жесткости для области с граничными элементами (см. выражение (13.19)). Рассматривалась нагрузка 'Таблица !3.!.
Вертикальные в виде пяти сосредоточенных перемещения ! Х !О' в пяти точках вертикальных сил, прилонерхн о ионна, к которому приложена женных к верхней части, аеагрузка и дополнительной силы, при- ложенной в угловой точке. Полученные результаты приведены в табл, 13.1. Решение комбинированным методом хорошо согласуется с результатами расчетов, при которых конечными элементами представлялась вся область, но интересно Решение методом монетных элементов Решение иомбниировеииым методом — 339 — 97 135 Зб! б00 — 355 — 105 135 370 б!7 отметить, что для дискретного представления основания использовалось только 37 узлов в методе граничных элементов, тогда как в методе конечных элементов их требовалось !63.
Еще большее различие возникает в трехмерном случае. си + ) >7вис(Г ~,р„,(Г (13.35) г г В теории упругости соответствующее соотношение имеет ие имеет вид спи, + ~ р>,и1 с(Г = ~ и,чр> е!Г. (13.36) г г Как и прежде п е п элемента можно р, р д оложим, что потенциальную энергию жно представить следующим образом (см. равд. 13.2); для 1 П = — ) >7и г!à — >7и гаГ, (13.37 г П вЂ”вЂ” П = 9 ) р~и,э(à — 1) Р~и с(Г.
(13,38) г г. Используя соотношение (13.35) для точек, лежащих вн т и области, приведем выражение (13.37) к виду П=— П = — ~ >7(х) ~ — ) >7е($, х) и(9)с(Г($)+ г 1 г + ~ иа(9, х) >7 ($) г(Г($)1 е(Г(х) — ~ >7 ~ — ~ г)в(9, х) и($) е(Г(9)+ г, г е ! ° а,*>т>е>лг>е>) а> >, оззз>, г Из выражения (13.38) с учетом соотношения (13.36' п представление ия . ) получается для потенциальной энергии для статических задач теории упругости П— т !э >*>( — )рте.*>,>т>а>е>е + !""" *>э'>е>ате>)'"т*>- !е ( — )з>тте, *> а>аа>е г, е! "йа *>э >е>а>е>)лг>>. »зее> г 440 Глааа Гд Мелтод граничных Олемен(лоо и другое методы 441 Теперь и и ([ (или иу и р1) можно выразить с помощью обычных интерполнрующих функций. В этом подходе используются двойные интегралы, где внутреннее интегрирование ведется по $, а внешнее — по х.
Следующие шаги аналогичны используемым в энергетическом подходе (разд. 13.2). Маргулис [7[ предложил выражать внутреннюю энергию через пространственные интегралы (см. выражение (13.22) и (13.23)), а не с полющью граничных интегральных выражений (13.3?) и (13.38). Ои доказал, что получаемые матрицы симметричны н что эта процедура не только следует из вариационной формулировки, но и может быть получена в рамках метода Бубнова. Маргулнс [71 предложил также использовать функцию Грина .для ограниченной, а не для бесконечной области. В этом случае функцию и* можно определить следующим образом: иьЯ, х) = 0 на границе Г. (13.41) Для такого типа функций уравнения (13.35) и (13.36) упрощаются и принимают вид соответственно ..;.)р От=О, „,,„-[рлррт=ь.
(13л2, 1343) г Используя эти выражения, в пренебрежении интегралами по части Г, границы энергию можно представить следующим образом: О= — '[4()1 — [4 а, ) (2)рт(4)[ОГ(), (1344) г [ г О= —, [Р (*) ! — [Р(4(3,,) 4(3)рр(3)~ ОГ(*). ((ОЛО) г [ г При подобном подходе также получаются симметричные матрицы, если неизвестные выразить через интерполирующие функции. Данный подход часто применялся при непрямых формулировках метода граничных элементов [2, 30, 311. В этом случае для задач о потенциале можно начать со следующих выражений: и = ~ и*а([Г3 ([ = ~ — „а([Г.
(13.46, 13.47) г г Теперь можно ввести энергетический функционал П(а) = — — ~ а([с[Г. ! (13.48) г Подставив сюда выражение (13.47), получим л( )= — —,' [ (*)[[ 3„' (4)рт(3))рт(,). (13ля) г [г При этом также получаются симметричные матрицы. Аналогичные рассужузения могут быть применены и для задач теории упругости. 13.4.
Задачи о поведении жидкости внутри сосуда Рассмотрим теперь такую задачу о взаимодействии жидкости и конструкции, когда жидкость находится внутри замкиутогсь сосуда (рис. 13.4). Сосуд может быть представлен стандартными конструкция Ооласть Я ) иакоеть (Область Ос ) Смболная лоаеркиость исидньсти, на котореи морят Оогникнуть колебания Система конструкция + жиакость ( область я(+ Пе) Рнс, 13,4. К вадаке о поведении жидкости внутри ванкнутого сосуда. конечными элементами, а для дискретного представления жидкостм используются конечные или граничные элементы. Для такого типа задач оказывается более удобным представлять область, занимаемую жидкостью, с помощью граничных элементов, поскольку здесь внутренние узлы не представляют интереса.
Поэтому следует построить матрицы для жидкости и связать их с конструкцнонной системой. Предположим сначала, что жидкость несжимаемая н невязкая и что ее поведение можно описать с помощью потенциала, который здесь обозначим (р.
Матрицы влияния метода граничных элементов в этом случае можно записать в виде (13.50) где (р и 9 — векторы, компонентами которых являются узловые значения соответственно потенциалов и нормальных скоростей. 442 443' Глава И Метод граничныл элементов и другие лтхтттды Для простоты будем считать, что движение является гармоническим. Тогда для произвольной точки й скорость можно вы азить через перемещение (?». можно выра- Я» = 1оз(?».
(13.51) Потенциал скорости можно связать с давлением Р ур Бернулли. При гармоническом движении оно имеет авнения Б » с помощью 1 глг» = — —.Р . гыр»' Тогда уравнение (13.50) можно представить как НР = озарбН. (13.53) Обращая матрицу Н, получим Для того чтобы связать уравнение (13.54) с системой уравнений метода конечных элементов, описывающих поведе ние конструклами. Соот , необходимо воспользоваться эквивалент алентными узловыми сисилами Р мож ами. Соотношения между узловым давлением Р и эквивалентными можно записать с помощью матрицы распределения гтг: С учетом формулы (13.54) можно написать Р = гоар (1»ГН тб) ег' = Мнет'.
(13.56) ментов. По Структура матрицы М такая же, как и в методе конечных онечных элечить этому ее можно сложить с матрицей масс окончательные матрицы для системы ж сосуда и полуидкость — конструкция. Отметим, что матрицы Н и 6 уравнения (13.50) я . ) имеют та- М зоб ем сл у ф рму„как и в статической задаче о потенциале. М але. атрица к симмет ичном щ учае будет несимметричной, но ее можно привести ричному виду с помощью процедуры вида (13.19).
13.4.1. Г а р ничное условие на свободной поверхности свобо Для того чтобы представить процесс образов а ования волн иа дной поверхности, необходимо принять во внимание тическое условие внимание кинемад»р (13.57) где ось з направлена по нормали к свободной поверхнос . От "гр дз является скоростью движения жидкости в ти. меном направлении. ти в вертикальДля гармонических задач можно написать дФ еве (13.58! Таблица ?3.2. Безразмерные значении частот ые?7/К собствеинык колебаний в круговом цилиндрическом сосуде (О!!с —. 1) Сетке кенечных элеиентон течнее решение 1551 !ох !ох го 15ХГ5Х!5 ЗОХЗОХЗО З5ХЗ5ХЗ5 3,86 7,07 !0,19 3,84 7,07 10,27 3,84 7,06 10,25 3,85 7,08 10,27 3,83 7,02 10,17 1 2 3. 1,75 5,33 8,54 1,76 5,38 8,65 1,77 5,39 8,69 1,79 5,43 8,74 1,81 5,48 8,84 3,04 6,?1 9,97 3,07 6,78 10,13 3,09 6,81 10,17 3,12 6,85 10,25 3,16 6,95 10,42 4,20 8,02 11,35 4,25 8,12 11,55 4,27 8,16 11,61 4,32 8,23 11,74 4,40 8,39 12,02 Как было показано ранее, эту нормальную составляющую ско- ' рости можно рассматривать как функцию перемещений К а потенциал можно представить как функцию давления, т.
е. для произвольной точки й имеем Я„= го!(?»= — — — Рю Р =ура~ (1359 13.60)' ы 1 Ы !Р Эти давления можно вновь выразить через эквивалентные узловые силы, используя матрицу распределения К. Эквивалентные узловые силы Р„действующие на свободной поверхности, равны Рэ = йгр)че?е (13.612 где Р, и сг', — соответственно силы и перемещения в узлах колеблющейся или свободной поверхности. Соотношение (13 61) применяется только для узлов на свободной поверхности и егер можно подставить вместо вектора Р в формуле (13,56). Узлы на колеблющейся поверхности в дальнейшем обычно устраняются с помощью приема матричной конденсации, поскольку они не имеют непосредственной связи с узлами конструкции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
