Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Пример 13.2. Колебания в абсолютно жестком сосуде. Комацу (341 рассмотрел несколько интересных примеров, где учитывалось колебание жидкости в абсолютно жестком сосуде. В этом случае уравнение движения при гармонических колебаниях можно записать в виде (К-.'М)и=б, (ар 444 445 Рл /3 Мееаод гранича~ах зееменгаоо а е!русое нееловы где К вЂ” матрица, обусловленная только учетом колебаний свободной поверхности, М вЂ” матрица масс жидкости. Вектор (е' относится только к узлам на свободной поверхности. Варьи(зуя величину оз, можно найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы.
В табл. 13.2 представлены результагы вычисления собственных значений частоты колебаний для жидкости, вращающейся в абсолютно жестком круговом цилиндрическом сосуде с плоским дном 5000 Рнс. 13.5, Геометрии круго. 1 О!О ваго цилиндрического со- еа суда. 1500 Ю Рис. 13.5. Частоты собственных упругих колебаний полусферической оболочки, частично заполненной водой. Параметры задачи Е = = 7 10'е Н/м', И .= 0,3, ч = 500 = 280 (кг с'1/м', й = = 5.10 е м, /7 †-- 0,1 м, //I/7 =- 0,59. При расчете 0 использовалось !5 элементов оболочечиого типа и 21 кольцевой граничный элемент. (рис.
13.5). Результаты были получены с использованием кольцевого граничного элемента и различных сеток конечных элементов. Например, для представленной в таблице сетки 10х10х10 располагалось по 10 элементов на дне, стенке и свободной поверхности. В табл. 13.2 приведено точное решение !35), показывающее хорошее соответствие результатов. Пример 13.3. Колебания в мягком контейнере.
Этот пример также взят из работы Комацу (34). В ием исследуются частоты колебаний полусферической оболочки, частично заполненной водой (рис. 13.6). Результаты численных и экспериментальных исследований, приведенные в работе Комацу, достаточно хорошо соответствуют друг другу. 1 5 5 Я 5 0 Окруэеиое аоаираое чисао и 13.4.2. Учет сжимаемости жидкости Распространение изложенной выше теории иа случай сжимаемой жидкости имеет важные приложения в технике при решении задач типа взрыва внутри сосуда высокого давления, распространения волн сжатия и т. п. Математически они соответствуют за- ,!ачам дифракции. рассматривавшимся в гл.
10. Учет с кпмаемосгп жидкости вансен, когда частоты становятся высокими, но при низких часто~ах ею обычно пренебрегают (33 ). Разрешающее уравнение для потенциального течения сжимаемой жидкости имеет вид ее 3/е (13.62) где с — скорость распространения звука в жидкости. При гармоническом движении уравнение (13,62) принимает форму утФ+хеФ = О, (13.63) где и = от/с — волновое число. Функция Грина, соответствующая уравнению (13.63), имеет внд Ф = (1/4) Но 11(кг) для двумерного случая, (13.64) Фе =- ехр ( — тхг) для трехмерного случая.
(13.65) Дальнейший путь решения аналогичен изложенному в гл. 10. 13.6. Приближенная форма метода граничных элементов Ранее уже обращалось внимание на то, что приближенные решения граничных уравнений можно использовать вместе с граничными элементами. Практический интерес к этому возникает тогда, когда фундаментальное решение трудно получать или оно слишком громоздкое, чтобы им можно было пользоваться. Кроме того, при этом уменьшается размерность результирую.цих матриц, поскольку граничные узлы теперь оказываются связанными не со всеми, а только с соседними узлами 120, 21, 31).
Для иллюстрации такого приема рассмотрим ддя простоты случай уравнения Лапласа (17еие) и с(11 = ) ие/е е5Г ~ е)ие с(Г, (13.66) г г (13.68) где à — полная граница. Предположим, что это уравнение задано для внешней области (рис. 13.7), которая распространяется на бесконечность.
Фундаментальное решение трехмерного уравнения Лапласа имеет вид ие = 1/(4пг). (13. 67) Для произвольной принадлежащей внутренней области точки, включая сюда и точки, лежащие вблизи, но не на самой внутренней границе Г„можно написать ~ ие)ос(Г = ) иег/г/Г. г г Метод граничные злеменгаое и друеие мегвгг)м 446 Глана И Отметим, что граничные интегралы по удаленной на бесконечно большое расстояние части Г границы обращаются в нуль при г -ь оо. Подставляя фундаментальное решение (13.67) в уравнение (13.68), получим ~( —,' )ддг= ~и — д'„( —,' )дг.
(13.69) г, г Это соотношение получается, если рассматриваемую точку взять вне тела, т. е. во внутренней области, поэтому в соотношении В яя граница О Г Внешняя область 1 Рнс. ! 3.7. Внутренняя (с конечными ялементамн) н внешняя области. (13.68) отсутствует слагаемое с с. Здесь все еще сохраняется взаимосвязь значений величин на границе, обусловленная тем, что система уравнений бесконечна.
Однако уравнение (13.69) можно упростить, если граничную поверхность Г, рассматривать как сферу достаточно большого радиуса. Для элемента поверхности сферы можно написать с(Г =- /7Я з!п ф с(6 г(ф (здесь О и ф — угловые координаты). Отметим, что на поверхности сферы д/дп = д/дг, поэтому соотношение (!3.69) принимает вид ям ял — — + и ( †, )) Я' з1п ф с(Ос(ф = О. (13.707 о о Это соотношение является специальной формой условия излучения Зоммерфельда, ко~орое для границы Г, в приближенном виде можно представить так: г (ди/дг) + и = сопя!.
(! 3.71), Условие (13.71) можно задавать в каждом узле независимо от других условий, но при этом сохраняется влияние соседних узлов, что дает, как и в методе конечных элементов, конечную систему уравнений. Важность описанной выше процедуры состоит в том, что ее можно обобщить на случай формулировки приближенных условий излучения, когда фундаментальное решение имеет сложный вид. Рассмотрим, например, волновое уравнение (или уравнение Гельмгольца) для двумерной задачи в области ь! Ч'и + каи = О, (13.72) где и — волновое число, и — потенциал. В соответствии с рис.
13.7 для двумерной задачи область с граничными элементами распространяется на бесконечность, а фундаментальное решение имеет вид = ((/4) Но~ ! (мг), (13.73) Н'," (мг) ж )гг — ехр (( (кг — — ")~, (13.77) дН',и (нш дН!" (нг) и, . 1/ 2 ~. ( и ' ) да Вг =- — мН"'(иг) ж(к1~ — ехр ~1 (кг — — )).
где Н вЂ” функция Ганкеля, г — расстояние от рассматриваемой точки до точки на границе Г,. Применяя обратную формулировку метода взвешенных невязок к уравнению (13.72) и тем же гранич- ным условиям, что и применявшиеся ранее (т. е. существенным и естественным), получим (Чапе+ маие) и сИ = ~ !/ему — ) ие4 !(Г. (13.74) г, г, Поскольку функция ие удовлетворяет уравнению Гельмгольца, то для произвольной точки, внешней по отношению к области с граничными элементами, можно написать ~ иь!7 е(Г = ~ и!)ь с(Г, (13.75) г, г или, используя фундаментальное решение, ) Н,"' (мг) д !(Г =- ) —" — „— и с(Г. (13.76) гг г, Это соотношение можно упростить, если принять, что рассма- триваемая точка или точка наблюдения находится достаточно далеко от исследуемой области.
Это означает, что можно восполь- зоваться асимптотическим разложением для функции Ганкеля и ее производной (отметим, что на окружности д/дп = дlдг): Глана Гд 448 Метод граничных элементов и друпэе методы 449 Если граница Г, представляет собой круг радиуса )7, то получаем ~уу 2 „1 у ди е — зл/4 ) ( " зхи) демаг(Г ==- О. (13 78) нн )Гуэ Х дух Гг В двумерном случае для элемента длины можно написать 4(Г = =- )сс(8, откуда следует условие ~ 2ГГЙ ( — — ехи) 428 = О. (13.79) о Это соотношение является другой формой записи условия Зоммерфельда, которое для границы Гу можно представить в форме ди/дг — зхи = О.
(13.80) Аналогичным образом можно получить соответствующее условие в задачах исследования напряженного состояния, динамики грунтов, течения жидкости и многих других сложных задачах. Пример 13.4. Дифракция волн на препятствиях цилиндрической формы [!9). Случай одиночной вертикальной колонны, на йп узел 2ББ элементов — ам 20м Рис.
13.8. Сетка конечных элементов. которую набегает гармоническая волна, был рассмотрен для того, чтобы определить, как учет условия излучения влияет на точность получаемого решения. Область вокруг колонны была разбита на конечные элементы, как показано на рис. 13.8. Результаты расчетов дифракцни волн были получены для различных длин волн при задании условия излучения на внешней границе. Для того чтобы проверить пригодность условия излучения для группы плоских гармонических волн, сначала был рассмотрен случай, когда цилиндр не является абсолютно жестким.
Для длин- 1,0 — (Ь вЂ” ) + — (Ь вЂ” ) + х'йи = 0 (а1 с граничным условием й (ди!дп) = 4) на участке Г, границы, (б) где и — высота волны относительно уровня спокойной воды в плоской системе координат ку, Ь вЂ” глубина, д — заданный расход на участке Г, границы, х — волновое число. 10 Нвеббяя К. н ЛГ. ных волн (длина волны ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
