Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Рис. 13,15. Зависимость относительных амплитуд волн вблизи острова-(иа пи- линдре) от угла В дли различных значений периода т. Оплошные линии соответ- ствуют теоретическим результатам, кружки — численным расчетам. Пример 13.6. Днфракция н рефракция волн на отмели параболической формы, на которой расположен остров цилиндрической формы (22).
На рис. 13.14 показаны основные геометрические характеристики, необходимые для решения задач, а также сетка конечных элементов. Сетка конечных элементов окружена рядом бесконечных элементов; функция, описывающая изменение в радиальном направлении, имеет вид Зависимость от времени определяется функцией ехр (гш1). Функция Р (г) — полипом, л. — так называемая длина затухания, х — волновое число, соответствующее частоте ш. Эта функция формы удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда. Длина затухания л'. выбирается таким образом, чтобы вблизи острова значение функции ехр ( — г/1.) примерно равнялось первому члену О,"' (хг) ряда обобщенного решения, где О,"' — функция Ганкеля Глава 1з нулевого порядка первого рода. Более подробное пояснение изложенного подхода можно найти в работе Беттесса и Зинке- вича 1221.
На рис. 13.15 дано сравнение подъема воды у острова, найденного численным методом и аналитически (см. работы Хомма 1371, Вастано и Реида 1381). Видно очень хорошее соответствие, особенно для волн средней длины, Слабым местом такого подхода является то, что для определения параметра Е требуется некоторая достаточно хорошая аппроксимация точного решения.
Однако, если эти данные имеются, то подход оказывается достаточно эффективным. Глава 14 Программы численного решения на ЭВМ двумерных статических задач теории упругости 14.1. Введение Здесь приведем простую программу на языке Фортран дл" решения на ЭВМ двумерных статических задач теории Упругости с использованием линейных граничных элементов, т.
е элементов с линейным изменением перемещений и напряжений. В этой программе требуется меныпе шагов, чем в алгоритмах, основанных на методе конечных элементов, поскольку здесь нет необходимости в специальной собирающей подпрограмме Значительно меньше также число неизвестных, поскольку испол зуются лишь узлы, расположенные на границе.
На рис. 14 1 сопоставляются основные этапы решения по данным методам. В методе граничных элементов требуется не только меньшее число этапов решения, но и значительно более простой ввод исходных данных, чем в методе конечных элементов. Промежуточные Ре зультаты вычисляются только в заданных точках, а ие в точи~к расположенных по всей области, как это имеет место в методе конечных элементов. Программа позволяет: 1) решать статические задачи теории упругости для плоских напряженного и деформированного состояний длЯ избран~ого. материала; 2) находить поверхностные напряжения и перемещения, а также напряжения и перемещения в произвольныя внутренних точках; кроме того, можно рассчитать напряжение на границе' 3) учитывать наличие плоскостей симметрии, перпендикулярных осям х и д, при этом не требуется вводить граничные узлы на данных плоскостях (рис, 14.2); 4) учитывать, не вводя особых требований, границу, удаленную на бесконечно большое расстояние 1рис.
14.3); 5) рассматривать многосвязные области; 6) учитывать разрывы напряжений путем введения двойных узлов, как это было описано в равд. 5.!2; единственно~ ограничение состоит в том, что в каждом направлении должно быть задано по крайней мере одно напряжение в одном из двойных узлов. Г е И 459 Иеген ээнечлыи элементов Иегов гранечлых элементов г а Рнс. 14.1. Сравнение программ, основанных на методах конечных н граничных влемевтов. Рнс. 14.2.
Плоскости симметрии: а — полная гранина, 1Пзг'М = О; б — снм- жтрня относительно осн х, 11г8г'М= 1; е — свммегрня относительно оси у, ЮЗУМ = 2; г — симметрия относительно осей х и у, Пг8'г'М = 3. Программы решение на ЗВМ двумерных задам Рнс. 14.3. Способы стыяовхи областей: а — случай бесяонечной области, стыков- ка в направления по часовой стрелке, ПЧРВ = 1; б — область яонечных размеров, стыковка в направлении против часовой стреляи, 1ИРВ = О; в — многосвязная область, 11чРВ = О.
14.2. Основная программа н структура исходных данных Блок-схема программы метода граничных элементов приведена на рис. 14.4. Основная программа определяет максимальные размеры системы уравнений (в данном случае используется 100 или 50 узлов с двумя неизвестными в каждом узле), Кроме того, канал 5 предназначается для ввода данных (1ГсЕ-5), а канал 6 — для вывода 11%Гч-6). ломо Основная программа вызывает следующие подпро- оозэ граммы: 15)РОТ вЂ” эта подпрограмма счи- енв . тывает исходные дан- Рис. 14.4. Основная блок-схема. ные. МАТГсХ вЂ” вычисляются матрица А и вектор правой части 1о, обозначаемые соответственно А (100, 100) и ХМ (100). з) 511зР— решается система уравнений методом исключения Гаусса. Этой программой при необходимости производится перестановка строк. О1зТРТ вЂ” вывод результатов решения граничной задачи; сюда же входит вычисление и печать значений напряжений на границе, а также значений перемещений и напряжений во внутренних точках.
Перечень используемых в программе переменных и их значений; 46! Г ° ГЕ 4ВО программы ре)иенам на ВВ)5) дармернаст эадач )5)Š— число элементов; .'0)0 — число узлов; г(Р— число внутренних точек; )4)5!2 — удвоенное число узлов (ХМ2.=. 2х)55); ХТ вЂ” сумма граничных узлов и внутренних точек (МТ .=- КМ вЂ”. КР): Е - — моду.ть 1Онга; РΠ— коэффициент Пуассона; !РŠ— индекс, означающий тип залачп (1 — плоское напряженное состояние, 2 — плоское деформированное состояние): С! — С1! — постоянные, характер»зуюп;пе свойства материала, необходимые для получения фундаментального решения и других выражений; 1ПВУ)5! — индекс, характеризующий налпч«е симметрии (Π— несимметричный случай, 1 — плоскость симметрии, перпендикулярная осп Оп 2 — плоскость симме!рпи, перпендикулярная оси х.
3 — пме)отс« две плоскости симметрии. перпендикулярные Ося» них); ХВУМ вЂ” коордннаты гоответственно х н О, определяю,п»с пли УЗУМ положение плоскостей; !МР — индекс, характеризующий наличие бесьоыеч:н )явленной границы (1 — имеется бесконечно !.!а- ленная гранкпа, 0 — тело конечных раза!е!)Оп); !РА и М1Р— параметры, определяющие симметрню петли гистереэиса; !РЛП. — индекс. указывающий, является лн матрица А сингулярной. Приведенные ниже массивы пспольза ются в программе, размерность зависит От пша задач и может пзмепяться прп э„бходимости. Отметим, что в приводи!он тексте программь ...!по а)К = 50, )5!Е =- 50 и !(Р =- 50!.
1) (2. 2) — матрица символов 1',ронекера; Х! (6, 3) — абсциссы точек гауссовой схемы интегрирования; ')5) (6, 3) — веса точек гаассовои схемы пнтегрировання: 1П(1Р ()ОХ) — вектор, указывающий на наличие двойных узлов (он равен нулю прп отсутствии двойного узла» равен числу узлов с одинаковыми коордннатаа»!); )КС (КЕ, 2) — стыковка элементов; 15ЪМ (ь)Т) — вектор, указывающий на то, нме!отся ли узел или внутренняя точка, находящиеся в какой- либо плоскости симметрии (он равен нулю, если таковых нет; равен 1 для плоскости, перпендикулярной оси у; равен 2 для плоскости, перпендикулярной осп х; равен 3, если точки распола- гаются на линии пересечения плоскостей симметрии); С ()5(Е) — вектор, компоненты которого определяют длину элементов; 5 (15((5(, 3) — матрица, элементами которой являются напряжения в граничных узлах Х ()5(Т) — координаты х граничных узлов и внутренних точен; у ()5)т) — координаты у граничных узлов и внутренних точек; !Р1Р ()5(152) — вентор, указывающий характер граничных условий (равен О, если заданы напряжения; равен 1, если заданы перемещения); А ()М)5)2, )ХТХ2) — матрица системы; Р (()))5(2) — вспомогательный вектор, который используется при считывании заданных значений напряжений и перемещений.
По окончании счета его компонентачи являются значения напряжений в узлах; ХМ ()5((5(2) — вектор правых частей системы уравнений. Когда вызывается после подпрограммы ВЕХРП, содержит решения для неизвестных на границе, а после окончания работы программы содержит значения перемещений в узлах. Текст основной программы С ПРОГРАММА ДПЯ РЕМЕ ННЯ ДВУМЕРНЫХ стмтнческнх задан теогмн упюгостн с ' м~тодом г ми«нных зпементов сома)сн нм 10! !*а СОММО« аг 3)г,г),Х)15,3),М)5.3'.)ООР150) )ЯС)50.1).С)50) ° , 0,3) !5))Г:50), « 105 ,)1)ОО).
Г!Р )ОО).а)100.100:.Р)!00). *, У'.100: * ВВОД НСХОДНы Х Да 5)Х )а )ма-; г)) !МР) .,55.),' )Р),гэ.ынг.н).с!.Гг 3 са ' 5,,0 '",с10 с!1,)Г5)м.х5)м.т5ум,)МГВ) Вй»йСПЕННЕ МАТРНОЫ Н НЕЗАОНСНМЫХ ЧПЕНОВ ХМ с).! Ма)га,ыг.ч, аьг м) с; сг,сэ.са.с5,са.с) сг, ° Гч.с;О.с!),ГО.;15 м )5 м Еум,!ыга !Га м!Г) Решгнм снстеа))г угнан. ная ВЫВОД НА ПЕЧАТ' РЕЗУ! ЬТАТОБ са.! 00!р!Гчч ь,ь ° г,ыг,)'Га.н)Г 01.сг.сэ.са сч,са. *сг,сг Гч,г)с с)С,Рс,х5)м,)5тм) 5 1 С" !ЫО 14.3.
Подпрограмма 1(а(РОТ С помощью этой подпрограммы вводятся исходные данные, необходимые для'работы программы. Исходные данные содержатся и счедующей группе перфокарт; Глава 74 !. Титульная карта. Одна карта, которзя содержит наименование задачи. Запись должна начинаться с 16-й колонки. 2. Карта базовых параметров. Содержит следующую информацию: !Л)РВ, (4Е, ЛЛ(, МР, 1РЕ, 105'ТМ, Е, РО РОЕМАТ (П, 14, 415, 2Р!0.0). 3. Координаты граничных узлов и внутренних точек карт с координатами каждого узла или точки К (внутренние точки нумеруются после граничных узлов, т. е. Л(ЛТ + ! ~ К ~ ЛТ): К, Х (К), У (К), !ОПР (К), 15УМ (К) ЕОЕМАТ (!5, 2Р10.0, 2!5).
3 а м е ч а н и е. В случае если два узла имеют одинаковые координаты (двойные узлы), то иа перфокарте для первого узла должны быть заданы координаты х и у, а ПН:Р должен содержать пробел слева. Координаты второго узла должны содержать пробелы слева, а !ПОР должен равняться номеру К предыдущего узла. Программа автоматически введет координаты и идентифицирует эти два узла как один двойиои. 4. Стыковка элементов МЕ перфокарт, содержащих число К элементов, номера первого и второго узлов в виде К, !МС (К, 1), 1КС (К, 2) РОЕМАТ (315).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
