Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 77
Текст из файла (страница 77)
г Чввг В (ВЗЗ !0.6066 14.142! 2 3 4 5 6 7 15. 14.4889 12.9904 10.6066 т 5 1,0823 1 2 з.в0гз З!5 4 !О 6066 (г 99о( 6 14 4889 15 В этом примере рассматривается Цилиндрическая полость, нагруженная внутренним давлением. Область, рассматриваемая в задаче, является бесконечной, и поэтому здесь !(4РВ = 1. На рис. !4.6 показан способ дискретного представления, а в табл. 14.2 приведены исходные данные, При решении испольаоТаблица 14.2. Ислодиыа даннме для щам о иилиндрическва лакает л 474 Галс Ы Преграммм реясемия яс ЭВМ дегмерямс годас 475 велось шесть граничных элементов н семь граничных узлов.
Лополнительиая информация была получена дзя шести внутрен. них точек. Ниже представлена распечатка результатов расчета. Зги результаты находятся в хорошем соответствии с результатамн аналитического решения с2), прн этом мансимальная относительная погрешность составляет 2 зь. х х а а х а а х а о с х < с а о < х о х х х с * х х < а х х х с < х х И х х х < а С х < х< сх *о а еа в о а< о х < с х < а о с с Ь х х с х с с я < у о е с 1С а х а х о х я х с х о я о з х С х < х а х х х а с х а м < х х а < с с а х С 'С < х а х < х а < с с ь ь а х о с х х х о о „---.
х о х х о а С х х с с х а с о а о о х х х х С < « ь с х х С < с а С х х о х х х х х с 477 47Г Гааза !4 Празраммн речения аа Эдрд дедмерннх задач х х х х и н х и о х о х х х с х с о н х х х х с х х и х х х о о х х $ 2 за < х ни с с х и о й Ъ с с и х о и с х х "о с о х < х с с о н х х х и х х < 4 о < х н < х х о < с о с о х и < и с < х о х о о < о х и < с Э « хо и ви еи О,< 0~ -<с х о Ос х о х и х х 'с х и оо х оо х х х ах « а а с к о х х х с х х с < с 479 Формулы нигягиного ингнггрирозония Гааявба ЛЛ 1.06000 00600 ОЮОЦ! ° В 0 18343 46474 94670 о 52553 24099 16329 0 79666 64774 13627 О 96028 98564 97ыб О 36268 17833 78162 О 113706645877887 О 22238 10344 53374 О 10122 8 5362 90376 О 577 15 02Ь11 89626 я= 1 О.ООООО ОЮОЮО ООООО 0 77449 66692 41481 А.1.
Введение О 88888 ВВВВВ 88889 О 55555 55555 55556 4=9 0.00000 Оп!00 ООООО О 3 425 342!40ЭВЮЧ Об!337 14327 00590 0 83603 11073 6636 8.96816 02З95 07626 0 330 1 9 1!ЗН 01 В О 3121 ° 70770 40003 0 260Ы 06964 02915 О 18064 81606 М857 0 081 7 43883 61574 !=4 0 31998 10435 84856 0%113 Ы115 94ЮЫ 0 65214 51548 Ь2546 0 34785 48451 17444 — 5 О.ООООО ОХПО Ооооб О 53846 93181 05683 О 90617 98459 38664 ! — 10 014887 43389 81671 О.ЬЗЗЗЧ ЗЗЧ4! 29247 0 67940 95Ь82 99024 0 86506 33666 88985 09719065 85171 О «ЬЯВВ ЯВКВВ 88889 Ю 47862 80704 99366 О 23Ь92 68850 56189 0 29552 42247 '!4" 51 О 269.'б 67191 09996 0 21908 63625 ! 598' 0 14945 13491 505Я1 ООЬЬЮ !ЗЫЗОВЬВ Ог3861 9!ВЬОР 197 1.6 6130 93864 66265 О 91246 95142 0315- 0 46791 39344 72691 О 6076 147 0 43!19 О!737 44971!она ) Ю 41795 938И 77469 О 381ЯЗ 00505 05П9 Ю 27970 519!4 89277 Ю 12948 49661 ЬЯ К 70 ° —. !2 012521 4085 !146Ч О 36783 149Я9 98180 О 58731 79542 866!7 О 76990 2674! 9410» ооон! 7 511 щ75 0 981'11Ь342 417,'Ч 0 24914 70458 13403 О 3349 516 38315 О 20116 74267 21066 0 16007 83285 43346 О 10691 91359 95118 0 04 17 5 Зж1 ы41 О ОООВ охяо 00000 Ю 40584 51513 77397 О 74153 11855 99394 О 74%0 79123 42759 (А.2) 1 — ~1(х)ь(х ~ 1(хг)в1, 1 (А.
1) 1 1 1 Г)рпложенце А Формулы численного интегрирования В этом приложеаии представлены некоторые правила численных методов определения интегралов по элементам и ячейкам. Г!оскольку форнула Гаусса численного интегрирования в настоящее время является лучшей с точки зрения точности при заданном числе точек, упор будет сделан именно иа данную процедуру численного интегрирования. Приводимые ниже формулы численного интегрирования разделены иа две группы. Первая группа относится к стандартной схеме интегрирования и используется в тон случае, когда в интегралах отсутствуют какие-либо сннгулярности. Вторая группа связана с интегрированиен по элементам илн ячейкам, в которых иа краю области интегрирования имеется особая точка (место приложения точечного источника или сосредоточенной силы), и поэтому эти формулы следует применять только в подобных случаях (т.
с. при вычислении ведущих диагональных поднатрнц матриц О и О). А.2. Стандартные формулы гауссовых квадратур Л.2.1. Одночерные квадратуры П ) где х, — координата 1-й точки ннтегрпровзния, в, — соответствующий весовой коэффипиепт, и — общее число точек интегрирования (табл. Л.1). Погрешность равна Ен =.. = О (грн)Ихон).
А.2,2. Двух- и трехмерные квадратуры дли прямоугольников и прямоугольных шестигранников Формулы для двух- и трехмерных случаез следуют из выражения (А.1) и ниеют вид ~ Г (х, у) г(х г(у ж ~„~ Г" (хп уз) в,гвЗ, -1 — ! ! 1! 1 ) г(х, у, г)г(хю(уг(гяв ~ ~~~~ ~~Г(хо уз, г!)ввзвн. (Л.З) — ! — 1 — 1 Я 1 7=11 1 Координаты точек интегрирования и весовые коэффициенты приведены в табл. Л.1. Формулы чаеееллаеа иклгеерлроыиизл Прииыееа/те А 48! А.2.3.
Треугольная область Численное интегрирование по треугольной области можно выполнить, воспользовавшись симплекснымн координатам~ Ч, и Чз (гл. 3), в результате чего получим (рис. А.(); 1/! — О л 1(Ч!' Чз Чз)!(Ч! ((Чз хы/(Ч! Чз Чз)(вз, (А.4) о б 1 ! *1- л,— 1 л где симплексные координаты и г соответствующие весовые коэ ф. фициенты взяты из работы Хам. мера и др. (2) и приведены в табл. А.2.
Из выражений (А.4) и (А.1) можно, ка к это было сделано выше, получить формулы численного интегрирования для трехмерных пятигранных ячеек. ='ч! 10,03 ($ О) 4! Рис. А,!. Косоугольиаи система коордпват Ч»Ч». Таб/иио А.г л ( е', 1/3 1/? 1/2 0 7 (плтев степевв) 2 4 С 6 7 А.З. Вычисление сингулярных интегралов А.3.1. Одномерные логарифмические формулы гауссовых квад. ратур (1) 1 $ /= 1/(х) )п — '«хам ~)(х!) оуз.
О (А.б) 1(лввеаиыа) 2 (кведре. 1 тпчвыа) 2 3 4 (куба- 1 ческва) 2 1 4 1/3 1'2 0 1/2 ыз 3/5 1/с 0,331 313 33 0,797 426 99 $1, ! 01 286 5 ! 0,10! 286 51 О 059 71 С 87 0,47014 /Ю 0,470 142 Ж 1/1 1/5 1М ыс О,ЗЗЗ ЗЗЗ 1З 0,101 286 51 О. 797 426 99 0,101 гвб 51 О 47 1 142 06 0 059 7 ! 5 В 7 0,470 142 06 0 1/2 !м 3/3 1/5 1/5 3/5 0.313 333 13 О, ! 01 286 51 О,!$3! 2865! 0 79 476 99 0,470 142 06 0,470 142 06 0,059 715 87 1 1/3 1/3 1/3 — 9п6 2И48 25/48 25/48 0,225 ООО ОЗ О,!25 939 18 01159!918 0,125'119 !З 0,)32 !9415 0,132 394 !5 0,132 »94 15 В табл, А.З представлены «оорди~аты точек и значения весов. Отметим, что приведенное выражение удобно применять в случае двумерных граничных элементов, где часто встречается логарифмическая особенность.
Таблаиа А.З пр ведев е в табл»вез елвеледует укввы т 1о е »телек, уккз»клев слрвве «Руглыз екебвзк. А.3.2. Численное интегрирование при особенности вида 1/у по треугольным и квадратным областям Квадратные формулы для этих случаев были получены Крпстеску и Лоубинаком !3) и позже Пине и др. !4). Здесь приводится формула, полученная в.
работе !4): л ~ —,1(х)(Ь ем ~~' 1(х(, у,)шы (Л.б) где и — область интегрирования (рис. Л.2). Точки и веса приведены в табл. Л.4, где обозначения ТС/ А или ТМ А относятся О.) !?00880 0,6022769! 0.6309079?(- И о,хауз?об О 76688030 4 О 41448480 ( 0,245274М 0,556!654 0,84898239 5 1?29134472 ( — 1) О,!739772! 0,4!370?5! 0,67731417 0,894771 36 6 о,гыз4ош (- и 0,17958339 0,31402045 О/МВЫ?м 0,75691533 0,93266884 0 167 И)55 (- 1) а)8018568 0,?46?9324 0,43346349 О,ОЗ2ЗЯИВ 0,81!33862 0,94084816 0,7185393! 0,28146068 0,5$340455 0,39198004 0,94615406(- 33 0,38346406 О,ЗВЬ87532 0,19043513 0,19225487(- 1) 0,29189346 О,\49?7622 0,23448829 0,989304ла (- 1) О,!89!1552 (- 1) 0,23876366 0,30828657 0,2453374? 6,14200875 0,55454622 (- 1) О, В!68958 (- 1) 0,39616938 0,?7030?М 0,23968187 0,16С77577 0,88943226( — !! 0,33394304( — 3) 05932М69 (- 2) В 0,13520243(- !) 0,79750427 ( — 1) 0,19787!02 0,35415398 0,52945857 0,70181452 0,84937937 0,95332645 9 0,01869338 (- 1! 0,64983682 ( 11 0,16222943 0,29374996 0,44661!95 0,60548 ! 72 0,75431017 0,87726585 0,96225056 10 0,90425944(- 2) 0,5197!054 (- И 0,1353!134 0,24705169 0,38021171 0,52379159 о/мзм4?г 0,79319019 О,ВУЕ)6102 0,96884798 О,!6441660 0,23752560 0,22684198 0,$7575408 0,1!292402 0578 2$'1 0,20979974 ! — 1 О,!6864073 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
