Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 73
Текст из файла (страница 73)
= 30 м) полученные результаты были весьма точными: относительная погрешность составляла 3 те. При уменьшении длины волны погрешность возрастала, что и можно было ожидать, поскольку сетка конечных элементов становилась слишком грубой. Было обнаружено, что для линейных элементов (а здесь применялись именно такие элементы) идеальным оказался выбор восьми элементов на длину волны. 2,0 Дальней шие исследования проводились с целью сравнения полученных результатов с ре- я зультатами, приведенными в работе Мея [20), где нспользовалась сетка конечных элементов / и ряды по функциям Ганкеля.
0,0 Результаты были получены для набегающей волны с 24 = 2п м 0,4 и подъема поверхности воды с частотой ш = 3,1321. На рис. 0 139 дано сравнение точного 0' 40' 00' 100' 100' решения, решения Мея методом В конечных элементов и решения, Рис !3.9, Результаты определения приведенноГо в работе (19), максимального подъема поверхности Сравнение показывает, что по. воды и по отношению к высоте иабеследнее решение весьма удачно гаюшей волны Ня вблизи кругового пилиндра. Параметры задачи радиус особенно если учесть, что об- пнлиидра равен 2 м, длина волны ласть вокруГ цилиндра пред- л = 2н и Сплошная кривая соответставлялась грубои сеткои ко- ствует аналитическом~ решению, печных элементов В резпении кружки решению метода козечз кружки — решению метоззом конечных Мея, например, использовалось элементов 119! с дискретизацией, по- 18 элементов для области, ле- казанной на рис.
Г38 жащей вокруг цилиндра, и, кроме того, более точно была описана геометрия препятствия. Пример 13.5. Резонансные колебания в гавани 121). В качестве еще одного примера применения условия излучения рассмотрим уравнение резонансных колебаний в гавани Глони гд (3) = ~ г)иос(Г+ ~/е(/ — $хи)иос(Г, г. г, (и), 1пп ~~~г ( — '," +охи,)~=0, (д) Ситуация, рассматриваемая в примере, показана на рис. 13.10, Здесь необходимо задавать граничное условие на фиктивной границе Г, океана, проходя через которую волна не теряет энергию.
Для этого необходимо общий подъем волны разбить на три составляющие: 1) поле набегающих волн ио; 11) поле отраженных волн и„, получаемое при отражении плоских волн от береговой линии; Анллнтуда ллосхнх нооегангщнх волн и ннс. 13.! О. К задаче о резонансных нолебзнннх в гаванн. !11) поле рассеянных волн и„возникающих внутри гавани. Гаким образом, суммарное волновое поле можно представить так: и=и, +из+и„ (в) где поле набегающих волн представляется следующим образом: ио —— а ехр 1 — схг соз (Π— а) ).
(г) Известно, что поле рассеянных волн и„будет перемещаться из входа в гавань к границе Г,. Это обстоятельство можно описать условием излучения Зоммерфельда на границе, которое можно представить следующим образом: Метод граничных еленентое и другие л 1 либо в приближенной форме ди,/дг+ схи, = 0 на участке Г, границы. Используя условие (е), для суммарного поля и можно записать ди/дг + 1хи =-'д (ио -1- и„)/дг -1- /х (ио -1- и„) = /. (ж) Отметим, что в правой части этого выражения находится известная функция / горизонтальных координат, угла, определяющего локальную геометрию, и угла набегания волнового поля ио.
Теперь можно включить это граничное условие в общую формулировку вариацнонного типа: ~ ~-д'„(Ь вЂ” ',")+ — '(й —,'и)+ иди~и (а = = ( (д —,„- 7) и аГ+ ~ й ( р, +1 — 1) иа (Г, г, г, откуда, интегрируя по частям, получаем — — ) ди ди' ди ди* (й — „— +й д —,— хйи '/1(й= дк дк и что является исходным соотношением для той часуи используемого здесь подхода, которая связана с применением конечных элементов, и где учтено граничное условие (е) на участке Ге границы.
Численные результаты были получены для классического случая бассейна Дункан в бухте Столовая в Южной Африке. и Для описания влияния волн, входящих в гавань, используе ся д скретное представление последней с помощью конечных элеу т ментов, показанное на рис. 13.11. На контуре АВСОЕР обычно задается условие равенства нулю нормальной компоненты потока ди/дп = О.
На входе в гавань АР задается условие излучения для плоской набегающей волны единичной амплитуды, распространяющейся вдоль оси д, когда отражением от соседних берегов пренебрегают. На рис. 13.12 представлены результаты определения подъема воды при волнении в 70-м узле для набегающих волн единичной амплитуды и различной частоты. Первые пики соответствуют тем же частотам, что и полученные при гармоническом анализе> выполненном в работе Бреббия и Эдея (321. Например, первый пик характеризует достаточно длинный период около 1 1,45 мин, и ему соответствует особая форма, описывающая процесс втекания и вытекания воды из бассейна и называемая помпажная форма. Второй пик также соответствует простому движению— так называемой колебательной форме.
Вычисления проводились 15" Глаза 73 )ч.555н ( 55н)"— Е Вход в гавань Рнс. !3.11. Сетка с 70 узлами, нспользованная в примере 13.3. Гранина Раздела 71 50 до значения частоты со = 0,4 с-', что является нижней границей части волнового спектра, обусловленной действием ветра. Интересно отметить, что после серий продольных (в основном) форм колебаний более значительную роль начинают играть поперечные формы. Влияние последних форм колебаний существенно, особенно с вероятностной точки зрения. Задавая условие излуче- Рнс, 13.12.
Максимальные значенвя подъема поверх- Г ности воды и в 70-м узле прн волненнн с учетом 2010 и нзлучення. 0 ОО5 ОДО 055 0,20 0,25 0,50 0,55 0',40 нг, рад/с ния на выходе из гавани, удается с достаточной достоверностью описать вклад энергии волн в общую энергию системы, а также вынос энергии из гавани. Более подробное обсуждение этого при- мера можно найти в статье Уокера и Бреббия (21). 13.6« Приближенная форма метода конечных элементов Применение метода конечных элементов обычно ограничивается областями конечных размеров и достаточно гладкими интерполирую1цими функциями, хотя иногда этот метод можно комбинировать с методом граничных элементов, как это было показано в предыдущем разделе.
Для задач механики разрушения или задач для бесконечных областей могут быть построены специальные конечные элементы. Эти элементы могут быть основаны на использовании соответствующих сингулярных функций (например, вида гп') в механике разрушения или применении «бесконечных» элементов для учета излучения. Применение конечных элементов в задачах Мелюд граничных зл«ментаа и другие мелхады 453 для бесконечных областей особенно важно для связанных задач и привлекает к себе большое внимание. Хотя в некоторых случаях ях можно использовать вместо граничных элементов, важно учитывать их существенное различие, поскольку они основаны на классическом конечно-элементном подходе, в котором рассматривается и пространственный конечно-элементный подход.
Предположим, например, что имеется задача о потенциале, сформулированная с применением конечных элементов, и при этом вместо использования стандартных базисных функций и и би отыскиваются убывающие функции, с тем чтобы смоделировать поведение Рнс. 13.!3. Бесконечные элементы: а — две областн н разделяющая вх граница; б — внутренннй алемснт (треугольный). потенциала и потока при бесконечном увеличении области.
Сказанное лучше объяснить, рассмотрев внутреннюю границу, показанную на рис. 13.13. Штриховые линии, исходящие из углов элемента, изображают плоскости, нормальные к внутренней границе; при этом стороны элемента для упрощения полагаются прямолинейньвми. Ось 5 исходит из центра тяжести элемента н может использоваться как координатная ось. Функцию, описывающую потенциал, можно написать в следующем виде: м (ь Ч1 Чт) 11 (Ч1 Чт) 1 (ь)х (13.81) где й (Ч„Ч») — стандаРтнаЯ двУмеРнаЯ интеРполиРУющаЯ фУнкция с однородными координатами Ч, и 11, для треугольного элемента, 1 (В) — убывающая функция, которая уменьшает величину и при увеличении В. Она равна единице при $ = 0 и стремится к нулю при $ — х- оо.
Простой вид функции 7 (0) был предложен Англессом (17, 24 ) 1 Я) =~"(1!+11!7-) '. [1 3.82) Эта функция обычным способом подставляется в уравнения метода конечных элементов, и единственное отличие дальнейшей процедуры состоит в том, что интегрирование по И теперь проводится по бесконечному пространству и поэтому приходится выполнять его ч*сленным способом. 455 454 Глава И Ов 10' Щ' Ю' 1 л (а) лп (Г) Š— Гус-1ИГ В работе Беттесса [18] вместо функции (13.82) использовалась убывающая экспонента. В качестве зависящих от 4 функций форм использовались произведения полиномов Лагранжа и убы- 00000 н Высота острова оррн поооргносгь 1~0000 " езды 0000 н Рнс.
13.14. Днфракпни воли на параболической отмели и пилнидре. вающих экспонент. В этом случае необходимо использовать систему внутренних узлов, поскольку используются полиномы, простейший из которых является линейной функцией. Форма решения будет зависеть от коэффициентов в убывающих экспоненциальных функциях, т. е. от параметра Х в выражении 1(0) = г ($) е-о~к. (13.83) Преимущество бесконечных элементов состоит в том, что их можно использовать в ряде задач, в которых фундаментальное Метод ераличлыс влемвнпыа и дррмсв мелыды решение, необходимое при использовании метода граничных элементов, бывает трудно найти, Рассмотренный подход не дает точного описания поведения системы при стремлении области к бесконечности, но влияние удаленных частей на рассматриваемую область здесь можно легко учесть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
