Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Поэтому при Е = 0 здесь возникает разрыв тангенциальных скоростей, обусловленный условием отсутствия 420 Глгыа 12 Примеры решеиип задач ягсаники хидкосгии .и -10 -Оо 0' Рнс. !2.13. Зввнсныость кармелиной компоненты градиента вихря л от угла б доя кругового пнлнндрв. прилипания, приводящий к возникновению вихревого слоя на границе [27, 29).
При ( > 0 вихрь, который при 1 = 0 располагался на границе, затягивается путем диффузии внутрь области, занимаемой жидкостью, и в какой-то момент выносится оттуда путем конвекции и диффузии. Математически этот процесс описывается уравнением (12.66). В соответствии с обсуждением, имевшим место при получении соотношения (4.33), можно Езг видеть, что третий интеграл в уравнении (12.66) 5 описывает влияние на- чального распределения 0 / завихренности. Поскольку вихревое движение в покоящейся жидкости отсутствует, начальное распределение завихренности изменяется вследствие процесса конвекции, описываемого последним слагаемым в уравнении (12.66).
/ — -метод грвнннныв И наконец, граничные ин- тегралы в уравнении зпементов рввностея первого (12.66) описывают влияпоряопв ние образования (или ис— — -метов по венин рввностне чезновения) вихрей на по- второго порядка верхности Г, причем этот процесс связан, как об 8 этом уже говорилось, с условием отсутствия прилипания. Так же как и в случае установившегося течения, при нахождении вв численным путем те части области, в которых вязкость равна нулю, можно не рассматривать. Таким образом, при вычислениях ав необходимо знать только значения и в тех частях потока, где вязкость не равна нулю. Вффективные алгоритмы численного решения этой задачи, построенные на основе процедур, описанных в гл.
4„ представлены в работах [35, 37, 38). Распространение подхода, описанного в этом разделе, на случай учета сжимаемости и турбулентности потока было сделано в работах Ву и др. (соответственно [40) и [41)). Пример 12.6. Результаты решения классической задачи обтекания кругового цилиндра, полученные методом граничных элементов, представлены в работе Ву и Рицка [35), где число Рейнольдса полагалось равным 40. На верхней и нижней половинах рис. 12.12 показаны найденные путем численного решения соответственно линии тока и контуры вихрей. Показанные на рисунке линии тока соответствуют асимптотическому поведению решения для установившегося течения. Лля того чтобы найти силы, действующие на твердое тело в вязком потоке, важно с достаточной точностью определить вихри и их нормальные градиенты на границе твердого тела.
Обычно эти величины вычисляют с использованием формул для односторонних конечных разностей, экстраполируя известные значения на точки, не лежащие на границе. Результаты, полученные таким способом, чувствительны к выбору сетки для пристеночной области и точности формул конечных разностей. В методе граничных элементов эти величины получаются непосредственно из решения янтегральных уравнений, что обеспечивает высокую точность получаемых результатов. На рис, !2.13 приведено сравнение результатов вычисления градиента вихря в нормальном направлении методом граничных элементов и с помощью формул конечных разностей различного порядка.
Полярный угол 6 (рис. 12.13) отсчитывается от передней точки застоя. 429 Метод «риии«ноос э о м«ноим и ~гру,чи' «««поды Глава 13 Использование метода граничных элементов совместно с другими методами 13.1. Введение В ряде инженерных задач возникает вопрос о характере связей или взаимодействия между различными частями конструкции или системами. Например системы, состоящие из конструкции, жидкости и грунта, можно рассматривать в рамках одной и той же задачи, причем каждой части подобных систем будет соответствовать своя область, внутри которой можно использовать независимый численный способ решения. Жидкости, например вода или смазка, и воздух могут взаимодействовать с элементами таких конструкций, как здания, плотины, прибрежные сооружения, детали машин, сосуды высокого давления и т.
и. Наземные сооружения взаимодействуют с грунтом через свои фундаменты, поэтому поведение таких конструкций в значительной мере зависит от характеристик округкалсщих их слоев горной породы и грунта. Во многих случаях с достаточной для практики точностью можно предположить, что воздействия одних систем на другие не проявляются одновременно. Типичыыми примерами такого несвязанного взаимодействия является воздействие ветровых сил на сооружения н гндроднналических снл на массивные засыпные прибрежные платформы.
В этих случаях силы, дейсзвующие на конструкцию, можно вычислять; предполагая, что конструкция является абсолютно жесткой, и прегебрегая взаимодействием ее с окружающей жидкостью. При решении подобных задач целесообразно использовать граничьые элементы, поскольку ими удобно моделировать бесконечные области. С помощью метода граничных элементов быстро решаются задачи дифракции волн, резонансных колебаний в гавани, течения жидкости и т. п. В этих случаях метод граничных элементов использует гораздо меньшее число исходных данных, чем метод конечных элементов и метод конечных разностей. Для таких конструкций, как гибкие мачты нли податливые прибрежные сооружения, системы, моделируюпсие твердое деформируемое тело и жидкость, необходимо рассматривать для одного и того же момента времени, Подобные системы называются связанными, поскольку в любой момент времени поведение одной из систем оказывает влияние на поведение другой и наоборот.
В ряде случаев приходится описывать часть общей системы с помощью граничных элементов, а другую часть — с помощью, шп1рнцер, конечных элементов. Учет взаимодействия може1 оказаться необходимым для получения более точных результатов для каков-либо из частей общей задачи. Например, метод граничных элемснтов дает, как правило, более точные результаты, чем метод конечных элементов, в тех областях, где имеется концентрация напряхсеннй илп потоков. Можно, например, ввести специальные граничные элементы для областей с сингулярностями и использовать их затем в сочетании со стандартными конечными элементами.
Граничные элементы часто используются и в задачах для бесконечных областей, поскольку они удовлетворяют условиям излучения, которые трудно записать с помощью конечных элементов. Одним из очевидных недостатков метода конечных элементов является невозможность применения его для бесконечных областей. Напротив, граничные элементы предполагают использование фундамента.чьных решений, которые естественным образом удовлетворяют условию излучения. К настоящему времени выполнено много работ 11 — 161, в которых используются комбинации граничных и конечных элементов.
Однако применение точного фундаментального решения во всех случаях может оказаться делом трудным или неудобным, поэтому при численном решении с равным успехом можно использовать некоторые приближенные представления, приводящие лишь к незначительной потере точности. Специального типа аппроксимация использует условие излучения Зоммерфельда. Аналогичная идея состоит в использовании специальных конечных элементов (иногда называемых «бесконечными элементамил) для приближенного удовлетворения условию излучения. Использование этой и другого типа формулировок обсуждается в работах 117 — 241. Ннжс будут обсуждаться подходы, комбинирующие методы граничных и кокечнгях элементов, и построение приближенных решений.
Преимущество использования приближенных граничных или пространственных решений для представления условий излучения состоит в том, что при этом не требуется рассматривать все узлы одновременно, а только каждый узел и смежные с ним узлы. 13.2. Решения, получаемые при совместном использовании методов конечных и граничных элементов Для многих практи.ескнх задач как для бесконечных областей, так и для областей с высокими концентрациями напряжений представляет большой интерес сочетать оба численных подхода, особенно при использовании решений граничных интегральных уравнений. С другой стороны, конечные элементы легче применять при рассмотрении тех частей рассматриваемой области, где материал проявляет свойсзва анизотропии или нелинейного поведения.
433 Метод гроиичиьи элгмгигиов и другое мттдч 432 Глава !3 где 6 и (( — соответственно векторы узловых перемещений (или потенциалов) и напряжений (или потоков),  — вектор, обусловленный учетом объемных снл (или распределенных источников), матрицы Н и 6 получаются с использованием фундаментального решения и функций формы для представления значений на границе неизвестных функций и и о. Затем применяется процесс, основанный на методе пото- / чечных коллокаций для кажг' ге дого граничного узла. Рассмотрим задачу с двумя областями Й' и Й' (рис.
13.1). ~/' а Эти области имеют общую границу Г,; для исследования области Й' используются конечные элементы, для области Й'— Рнс. !3.!. Об з ь, для дискретного гРаничные элементы. ПРи соедипРедставления одной нз чзсгей которой пении этих двух частей необ(()') нспользовзлнсь конечные эленен- ходимо, чтобы на границе Г« ты, для другой ((3«) — тряпичные эле- выполнялись условия совместности и равновесия следующего вида: 1. Условие совместности. Перемещения (или потенциалы) (г') и (/г» на границе раздела Г, соответственно между областями 1 н 2 должны 'быть равны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
