Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е. Нг = Ю~ ~на границе Гп (13.10) 2. Условие равновесия. Сумма напряжений (или потоков) ® и Я»г на границе раздела Г, между областями 1 и 2 должна равняться нулю: (;),'+ ('.)г = 0 на границе Гн (13.11) Теперь можно преобразовать область Й' в эквивалентный конечный элемент и затем объединить получающиеся глобальные матрицы с матрицами уравнения (13,6) метода конечных элементов. Преобразуем уравнение (13.9), введя матрицу, обратную матрице 6, что дает 6 '(Н(7 — В) = Ц, (13.12) н умножим левую и правую части этого уравнения на матрицу распределения г»г' (определяемую соотношением (13.4)): М6-*Н(7 — Н6-В=НО, 4 (!3.И) В новых обозначениях К'=Ж6 'Н, Р' =-Ф6 'В, Р' = ХЯ (13.14) уравнение (13.13) метода конечных элементов принимает след) ющий К и=В'+Р'. (13.15) Главным недостатком подобной формулировки является то, что матрица К' в общем случае будет несимметричной, несмотря на то что матрицы, получаемые в методе конечных элементов, в силу симметричности операторов также являются симметричными.
Несимметричность возникает вследствие использования аппроксимаций при дискретном представлении и в методе коллокаций, а также для описания весовых функций, т. е. фундаментального решения. Единственными соображениями, по которым матрице К' следовало бы быть симметричной, являются соображения удобства и эффективности с вычислительной точки зрения. Симметричность матрицы К' является следствием применения либо несложных приемов «минимизации погрешностей», либо энергетических подходов, но в основном к симметричному виду ее приводят путем отбрасывания несимметричной части, для чего получают среднее арифметическое самой матрицы К' и транспонированной матрицы К' '. Применение теоремы взаимности для доказательства симметричности результирую;цей матрицы является некорректным.
Георгиу !271 показал, что узловые силы в соотношениях для жесткостей эквивалентны некоторому распределению напряжений на границе и получаются путем соответствуюкцего весового о"реднения этого распределения напряжений по границе. Поэтому', когда в произвольной точке прикладывается узловая сила, равная, скажем, 1, то это не имеет физического смысла точечного источника, а означает некоторое локальное распределение напряжений по границе, зависящее от геометрии и выбранных функций формы. Отсюда следует, что, прикладывая в различных точках нагрузку, равную 1, получаем одни и те ж с точки зрения физического смысла общие нагрузки, но способы распределения этих нагрузок будут различными. Именно из-за этого различия в физической интерпретации точного характера распределения нагрузки нельзя дать единственного толкования теоремами взаимно" ти и тем самым объяснить отсутствие симметрии матрицы К'.
Это явление, однако, обычно носит неярко выраженный характер и на определенном этапе его можно не учитывать. При таком допущении матрицу К' можно приводить к симметричному виду. Один из способов приведения матрицы к симметричному виду состоит в оценке <погрешности» недиагональных членов матрицы К'. Погрешность произвольного элемента К„можно записать как разность между этим пока еще не известным коэффициентом и коэффициентами К;, и К~;.
еп = — [(йп — йгг) + (/гп — й;;Ц. (13.16) 435 Меа1«д ераниннаи ллгиеннн»2 и другие лненадн Глава !д 434 Квадрат функции погрешности а» можно минимизировать по йы, что приводит к уравнению (суммирование по повторяющимся индексам не производится) (13.17) д (ц!) /дйе! = 2йи — йг! — й;; = О, иа которого получаем новые коэффициенты ! йи = — ~йе!+ йи1. (13.18) Эквивалентная матрица метода конечных элементов для области 2 (рис. 13.1) таким образом имеет вид к*= ф(к'+ к'"'1, (13.19) и вместо уравнения (!3.15) можно взять следующее: КЧГ= Р'+ И2, (13.20) КЧ7 = Р'+ П', (13.21) что обеспечит выполнение условий совместности н равновесия.
Как отмечалось в работе Георгиу !271, особое внимание следует уделить угловым узлам, для которых может потребоваться введение дополнительных условий (разд. 13.5), Один из методов оохода подобных трудностей состоит в том, чтобы не помещать узлы в угловые точки, т, е. использовать непрерывные элементы либо всюду, либо только в углах.
Такая процедура была успешно применена во многих программах (см. равд, 13.5 и работу [131, либо программы, приведенные в работе )36)). Если узлы помещают в угловых точках и появляется разрывность геометрического характера, т. е, напряжения принимают различные значения на сторонах рассматриваемого узла„ то можно воспользоваться процедурой, предложенной Шадонером !281 (см. разд. !3.5). Однако, как было обнаружено Георгиу !27), предварительное включение Шадонером дополнительных уравнений нарушает «почти симметричный» характер матрицы К', поэтому Георгиу предложил ввести подобные «угловые условия» в виде системы матриц вращений в общую. матричную формулировку, что во многом аналогично введению системы линейно независимых ограничений в глобальную матрицу метода конечных элементов.
Этот прием был использован в ряде практических приложений и оказался весьма эффективным. где Р' = Р' и Р2 = О' (см. уравнение (13.15)). Уравнение (13.20) можно обычным образом объединить с исходными матричными соотношениями метода конечных элементов для области 1 П = — ~ !)и е(à — )г ди 2(à — ~ Ьи дй, г г, Я П = — ) р,и, 2(à — ! реи12(à — )! Ь1и22((1. ! е г г, и (13.24) (13.25) 13.2.1, Энергетнческии подход В последнее время стало модным пытаться обосновать приведение к симметричному виду матриц,получаемых при использовании граничных элементов, с использованием энергетических ме3одов (6). Этот прием хотя и получил распространение вследствие своей просто1ы, не является строгим. Достаточно сказать, что в основу кладутся энергетические рассмотрения, с тем чтобы доказать, что матрицы являются симметричными, даже если это не так. Ошибка здесь состоит в том, что используются энергетические принципы, основанные на рассмотрении симметрии, но распространение этих соображений на интегральные операторы не является обоснованным, Соотношения метода граничных элементов следует интерпретировать так, как это делается в смешанных формулировках метода конечных элементов, многие из которых приводят к несимметричным матрицамм.
В основе энергетического подхода лежит положение, что для задачи о потенциале для области, заключенной внутри граничных элементов, энергию можно записать в следующем виде: П = — ~ 2)1 — г(Я вЂ” ) Чи Ж' — ~ (3и 3И, (13.22) и где первое слагаемое в правой части описывает внутреннюю энергию системы, второе характеризует изменение энергии нз-за наличия внешних источников, В теории упругости это соотношение используется при рассмотрении хорошо известного принципа минимума потенциальной энергии п= — ! ц геа — ! е,,в' — 1 ьн, а.
!13.233 п г. Первый интеграл в выражениях (!3.22) и (13.23) можно представить в виде граничного интеграла, используя то обстоятельство, что функции, описывающие и (и соответственно д или о), точно удовлетворяют уравнениям равновесия, поскольку в эти функцйи входят фундаментальные решения, получаемые при исследовании интегральных уравнений. Предполагается, что в приведенных выше выраженияхи,ри31 получаются из решения задачи, описываемой интегральными уравнениями. Итак, выражения (13.22) и (13.23) можно представить соответственно в виде 437 Л«ео«од грооочкых «лемеаюоо и орргое л о«одь« Глиоо (3 436 Далее напишем уравнения равновесия, соответствующие обращению в куль вариации П для выражения (!3.24): 6П = — ~ (дби + 6«(и) «(à — ~ «(Ьи«П' — ~ ЬЬи «Я = 0 (13.26) г г, Я и для выражения (!3.25) ЬП = — ~ (р,би, -',— Ьр«и;) «(à — ~ р«би««(à — ~ Ь«Ьи««Я = О.
(13.27) Зти уравнения можно записать в матричной форме, используя одинаковые обозначения для обоих случаев 6П = — ~ (Ьи'«7 + 6«7'и) «(à — ~ Ьи'«7 «(Г— г г, — ~ Ьи'ЫП = О. (13.28) Здесь а — функции перемещений или потенциалов, «7 — напряжения илн потоки. При подстаковке обычных ннтерполирующих функций для и и «7 вида и = Фи", «7 = Фи",(13,29) уравнение (13.28) можно записать в следующей форме: 6П = — (Ьи'ЮЯ + 69'()('и) — 6и7г — 6итР = О, (13.30) 2 где и и Я вЂ” значения неизвестных в узлах. Матрица Фобразуется нз интегралов, содержащих функции формы, аналогично тому, как зто имеет место в обь чном методе конечных элементов.
Вместо неизвестных 9 можно взять величины (13.12), которые являются решением интегрального уравнения О=о- (Ои) =си. (1з.з1) Подставляя выражение (13.31) в уравнение (13.30), получим симметричные результирующие матрицы Ьи'! — '(й(си -1- с'л('и) — г — Р~ = о, (!з.з2) ( 2 откуда можно записать соотношение, аналогичное уравнению (13.15): ки=г 1-Р. (13,33) Отметим, что теперь матрица является симметричной и имеет вид к = —,' (й(с -(- с'й('). ,(13,34) Э то выражение аналогично полученному ранее выражению (13.!0). Хотя окончательные результаты совпадают, приведенный выше вывод ошибочен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
