Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 67
Текст из файла (страница 67)
5). Уравнение движения (12.22) имеет вид векторного уравнения Пуассона, уравнение (12.23) описывает условие неразрывности течения. Выражения (12.24) и (12.25) описывают граничные условия соответственно на поверхности тела (уславие отсутствия прилипания) и на бесконечности. Фундаментальное решение этой задачи имеет вид [16, 19) й» = (8пг) ' (б» + г,,г, г), (12.26) р> = г,>/(4пгэ), (12.27) где обозначения те же, чта и в выражении (5.57). Используя теорему Остроградского — Гаусса [20], получаем соотношение, которое можно было бы назвать формулой Грина для задачи Стокса для гладких соленоидальных векторных и, 4> и скалярных р, д функций в ограниченной области с границей Г: ~ ) и, (х) [оь гг (х) — д, > (х)] — о> (х) [иь и (х) — р,, (х)1 ) Н»е (х) = = ] [и,(х) Ты[о,(х)]пг(х) — о;(х) Ты[и,(х)]л;(х)] >[Г (х), (!2 28) г где Тм — тензор касательных напряжений, причем Т>г[и>] = — бпр+ и>,г+ ии>„ (12.29) Ты[о>1= — б»д+оп;+ ох> Подставляя вместо о, и д фундаментальные решения и»> и р», рассматривая функции и, и р как решения уравнений (12.22) и (12.23) и учитывая, что и; (х) = О ([ х ) ') и р (х) =- О () х) ') при х — аа см.
равд. 2.!О н 5.6), получим аналог третьего равенства Грина 20 ] для задачи Стокса: и>($) + г! д»»($, х) и»(х) п>(х) >]Г(х) = г = ~ и;» (й, х) Т»> [и, (х)] л; (х) >]Г (х), (12.30) г 416 414 Г луг (12.31) 1,0 О,В 0,6 где е 3 г,1г,зг,» 1(Ц» = а 4м гз (12.32) 0,6 1 61» = —,(61« —,Зг, ег, «). (12.33) 0,10 О,ОВ 0,06 0,0 0060 0,6 0,« О, к, а 60 20 (12.34) 1О В 6 Од (12.35) р$)+) $т» ($, х)и»(х)пу(х)ЙГ(х) = г ~ р» (6, х) Т»1 (ит(х))лт(х) бГ (х), г Следует иметь в виду, что в интегральных уравнениях (12.30) и (12.31) можно выполнять интегрирование по частям. Интересно отметить, что выражения (12.26) и (!2.32) идентичны фундаментальному решению (5.55) и выражению для напряжений (5.60) в случае несжимаемых материалов.
Взяв точку $ в уравнении (12.30) на границе и учитывая скачок интеграла от функции дв и граничное условие(12.24) отсутствия прилипания, получим следующее граничное интегральное уравнение: сп 5) Уу $) + ~ 4»11 Я, х) У » (х) лт (х) «(Г (х) = г = — ) ит"»(й, х)7»(х)бГ(х), г где неизвестными являются локальные поверхностные напряжения 1» (х) == Т»у !и, (х)1 гр (х). При такой формулировке задачи Стокса непосредственно определяются обусловленные указанными напряжениями касательиыесилы, нахождение которых обычно и является целью исследования. Более того, используя выражение (12.31), можно вычислить давление в произвольной точке.
Для случая однородного бесконечного потока уравнение (12.31) принимает более простой вид. Характерно, что если функция 01 (х) является постоянной и равна Ф'„то, используя у4завнениЕ (12.28), можно показать Пб 1, что справедливо равенство ~ г)«11 $, х) Ф'»лу(х) бГ(х) = — Ф'1, 1 г и уравнение (12.34) принимает вид — 1(рт+с1,($)йг1= — ~ Ц»($, х)~«(х)т(Г(х). (1236) г Примера реимиик задач механики ясидкосши Численное решение уравнений (12.34) или (12.36) выполняется в основном так же, как н в равд, 2.12 и 5.7- 5.9. 11одробносги, относящиеся к этим решениям, можно найти в работе !161, где, Рис !г 1О Результаты чясленных ясследонаний напряжений, нозникакяпих при осесимметричном обтекании. а — сплющенныЯ еллипсоня; З вЂ” вытянутая влляпсонх.
Сплошная ля. ння соответствует вивлитнческоиу решению. 0 0,» 0,6 О,В 4,0 лт б кроме того, обсуждается упрощенный вариант уравнения (12.34), соответствующий случаю осесимметричного течения; при этом фундаментальные решения выражаются явно через полные эллиптические интегралы К и Е. Пример 12.4. Здесь воспроизводятся результаты, полученные Юнгреном и Акривасом !16)для задачи осесимметричного обтекания эллипсоида, поверхность которого определяется уравнением Примеры решении индия м киники мидлиении 4ГГ Глиии !2 4!6 х,' + (х', + хея)/а' =- 1.
Эллипсоид перемещается в направлении оси х,. На рис. 12.10 сопоставляются результаты для поверхностных напряжений, полученные путем дискретного представления поверхности эллипсоида с помощью Ж постоянных граничных элементов одинакового размера и найденные аналитически. Можно видеть, что наибольшие погрешности для функции Г, имеют, место, как и ожидалось, в тех областях, где градиент функции 1, принимает наибольшие значения (из аналитического решения следует, что значение 1л тождественно Равно нУлю, а численное Решение равно нулю с точностью до погрешности вычислений). Точность численного решения в дальнейшем можно увеличить, используя дискретное представление с большим числом граничных элементов в области больших значений градиентов.
12.6. Обобщенная задача о течении вязкой жидкости Трехмерные задачи о течении несжимаемой вязкой жидкости описываются уравнением Навье — Стокса И7 — 19): р(й, + и7ии 7) = р,, + )био 72 (12.37) и условием неразрывности течения (12.23). Параметры р и )4— соответственно плотность и коэффициент вязкости жидкости, точкой обозначается производная по времени. Отметим, что уравнение (12.37) при обращении в нуль его левой части совпадает с уравнением (12.22). ~$ В большей части конечно-разностных и конечно-элементных методов решения подобных задач уравнение Навье — Стокса обычно используется в приведенной выше форме (т.
е. они записываются относительно скорости и давления), а в двумерном случае эти уравнения пишутся для функции тока и вихрей или относительно одной функции тока (21 ). Главная трудность, встречающаяся в этих методах, связана с тем, что численная процедура, определяющая кинематическую часть задачи, должна быть неявной.
Вследствие этого решение требуется находить для всей области, занимаемой потокам, включая сюда области как с вязким, так и,х невяз, ким течением. Более того, для задач внешнего обтекания тел конечных размеров удовлетворение граничных условий, заданных на бесконечности, сводится к рассмотрению вместо бесконечно удаленной границы поверхности, отстоящей на конечном расстоянии. Более удобная с точки зрения применения численных методов форма уравнений Навье — Стокса получается, если, как это сделано в работе Лайтхилла 1221, в качестве независимых переменных используются скорость или вихри. Таким путем можно записать систему уравнений, часть нз которых определяет кинетику, т. е. изменение во времени полн вихрей, а часть -- кинематику, т е связывает поле скоростей в произвольный момент времени с полем вихрей в тот же момент времени.
Преимущества такого подхода были замечены и появилось несколько работ 123--28), использующих различные формулировки в сочетании с методами конечных разностей и конечных элементов. Эти формулировки приводят кинематнческую часть задачи к интегральному уравнению для скоростей, записанных через вихри. Главным достоинством такого подхода является то, что он позволяет применять явную поточечную схему вычисления скоростей. Непосредственным следствием указанного выше подхода является то, что при вычислении распределения скоростей по потоку учитывается лишь распределение вихрей в вязкой области потока.
Поскольку такая вязкая область обычно располагается внутри намного более обширной области идеального течения, при этом достигается значительное уменьшение размеров области, рассматриваемой при численном решении. Более того, в задачах внешнего обтекания в интегральное уравнение неявно входят граничные условия, задаваемые на бесконечности, поэтому здесь не требуется заменять бесконечную область границей, расположенной на конечном расстоянии. Однако кинетическая часть уравнений была представлена в дифференциальной форме, поэтому здесь оставались некоторые трудности, связанные с удовлетворением граничных условий иа поверхности твердого тела (см.
работу Ву 12)). В этом разделе будут описаны основанные на методе граничных элементов подходы, согласно которым как кипематическая, так и кинетическая стороны задачи формулируются в интегральной форме. Для того чтобы воспользоваться этими подходами, необходимо перейти от использовавшихся ранее тензорных обозначений к векторным. Тогда уравнение (12.37) примет вид р ~ —, + (и р) и~ =- — 7р + 14Ри. (12.38) Записав роторы от левой и правой частей уравнения (12.38), получим уравнение переноса вихрей дли —:=- 7 Х (и Х е) + тиаре, где было учтено уравнение неразрывности Ч.лр= 0 и использовано обозначение для вектора завихренности е = Ч Х ля. (12.41) Параметр т в уравнении (12.39) определяет кинематическую вязкость жидкости.
!4 вреббня к. я ир. 418 гл гг ПРимеры решения Райан .иеканихи яеианае Кинематическое соотношение между и и га определяется уравнениями (12АО) н (!2А!). Для заданного распределения завихренностн «» распределение скоростей по потоку обычно находится с помощью векторного уравнения Пуассона, получаемого путем применения оператора ротора к соотношению (12.4!), что с учетом уравнения (!2.40) дает связь Ч'и = — Чхев. (12 42) Сравнивая это соотношение с уравнением (2.103) н следуя процедуре вывода уравнения (2.68), можно написать следующее интегральное уравнение, эквивалентное' уравнению (12.42): 4пи ф) + ( и (х) — (' ) г(Г (х) = г = ~ д, „и'$, х)с(Г(х)+ ) [Ч х га (х)1 па($, х) г(ь1 (х), (!2.43) г Я где и* ($, х) — фундаментальное решение уравнения Лапласа (см.
равд. 2,3), и(х) — единичный нормальный вектор. Корректные граничные условия для физической задачи формулируются путем задания распределения скоростей, Поэтому, прежде чем вычислять значения и в каждой точке потока (при известном распределении вихрей), необходимо в уравнении (12.43) взять точку $ на границе, и, таким образом, получить граничное интегральное уравнение относительно значений ди(ди на границе Г. Этн значения затем подставляются в уравнение (12.43), решая которое, можно найти распределение скоростей в области йе. Ву и Томпсон (241 выразили сомнения в возможности использования уравнения (!2А2) для описания кинематики течения.
Онн обратили внимание на то, что решение уравнений (!2.40) и (12.41) для функции и единственно только в том случае, если на границе Г заданы функции и, и и„(и, — касательная, и„— нормальная компоненты вектора и). Таким образом, когда решения уравнений (12.40) н (12.4!) с заданными и, или и„удовлетворяют также и уравнению (!2.42), это не обязательно гарантирует сходимость процесса численного решения, т, е.
решения уравнений (12.42) при заданных и, и и„могут не удовлетворять уравнениям4(!2.40), н (12.41). Более удобное интегральное представление для кинематики течения было получено Ву и Томпсоном [241 непосредственно из уравнений (12.40) и (12.4!). Оно вытекает из применения теоремы Грина к векторам [281; ) (Е ЧэР— Р ЧЯЕ) г(ь1 = = ~ [Е Х (Ч Х Р)+ Е(Ч Р) — Р Х (Ч Х Е) — Р(Ч Е)] ие(Г,(!2.44) г где Ч Р = Ч(Ч Р) — Ч Х Ч Х Р. (!2,45) Пусть вектор е* (ь, х) — фундаментальное решение векторного уравнения Лапласа р'Р = 0 вида Е* Д, х) = Ч [и* К, х)1 Х а, (12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
