Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 63
Текст из файла (страница 63)
В телах из слоистого материала возникают различного типа плоские волны, называемые поверхностными и распространяющиеся параллельно поверхности, разделяющей неоднородные части тела, причем возмущения затухают по экспоненциальному закону с удалением от поверхности раздела. Для свободной поверхности они называются волнами Рэлея ПЗ]; перемещения, соответствующие им, представляют собой эллипсообразные движения против часовой стрелки в плоскости распространения волны. Поверхностные волны, перемещения в которых перпендикулярны плоскости распространения волны, возникают только в слоистых полупространствах.
Они называются волнами Лява [14]. 11.3. Формулировка, использующая зависящие от времени интегралы Фундаментальное решение уравнения (11.2) можно пре[)ставить как реакцию бесконечной среды на единичный импульс, приложенный в момент времени т, т. е. реакцию на сосредоточенную единичную силу, приложенную в точке $ в[-м направлении и действующую на бесконечно малом промежутке времени: (С~~ — ф и,'„„/ + С~~и,*/, рр — и',"; = — (6;//р) Л ф, х) Л (т, /), (11.15) где /) (т, /) — дельта-функция Дирака, зависящая от времени.
Решение этого уравнения можно записать через компоненты перемещений в следующем виде [1] для трехмерного случая: иг/(яр х' /) 4 — (Зг, гг,/ — бг!) [ Н /, С вЂ” Н(г, С 1+ (11.16) где Н вЂ” функция Хевисайда (ступенчатая функция), /' = / — т; и двумерного случая: и (~ „ 1 ) [ /12 [С)' -[ /С Р Н (Р /С )1 2пр [1 [(г )г — (г/с )~]пз — [Н(1', г/С,)((Г)з — (г/С,)')ьв — Н (г, С ) ((/)з — — ) +,, ' ', „, 6гг~. (11.17) Н (П, г/Ср) С, [(Г) — (г/С,) ) г Используя эти выражения с помощью формул (11.10) и (11.11), можно найти соответствующие внутренние напряжения и напряжения на границе. С помощью метода взвешенных по времени и пространству невязок можно написать граничное интегральное уравнение для нестационарных задач (эта процедура аналогична описанной в гл.
1О): % сии) + ~ ~ р г/и/ г[Г г[/ = ~ ~ и[/Р/ ЙГ Й + ~ ~ и//Ь; г[й г[/ + /.г г.г г.й -рр]~ р,ррьра-рр [ар яп ра. а~яр) где для гладких поверхностей Д е Г) имеем см — — 60/2, а для внутренних точек ($ Е 14) подставляем с;; = 60. Это уравнение является исходным для метода граничных элементов, и для него можно использовать дискретное представление по времени и пространству аналогично тому, как это сделано в схеме численного решения скалярного волнового уравнения в гл. 10.
Попытка дать полную формулировку в рамках такого подхода была сделана только в работе Мансура [15]. Другие авторы [4, 5, 7] предпочли решать задачу, используя методы преобразования Лапласа, как это будет описано в следующем разделе. 11.4. Фррмулировка, использующая преобразование Лапласа Преобразование Лапласа для функции / (/) имеет вид >"/ава У Кизсбин ив где > (1) — кусочно-днфференцируемая функция с конечным числом разрывов первого рода; предполагается, что 1(1) := 0 при 1 ( О. Обратное преобразование имеет вид т+>зо 1(1)=7--'[Р()[= —,„', ~ Р() "Ь, (11.20) где з — аргумент преобразования, У> (х, з) = 5 [и> (х, 1)[, В, (х, з) = 7.
[Ь, (х, 1)[, (11.22) начальную скорость пз> и начальное перемещение п) можно объеди. нить с В> для того, чтобы получить неоднородность в уравнении, учитывающую объемные силы: (11.23) („>> =- В> + р (зи) + о>). В результате уравнение (11.21) приобретает вид (С1 С~~) У> ц+ С[У> и — з~У>+(1>р)Я~ =0 (11.24) и решать его следует с использованием граничных условий, взятых также в преобразованной форме: У>(х, з) = 0>(х, з) на участке Г, границы, (11.25) Р,(х, з) = Р>(х, з) на участке Г, границы.
Следуя Дойлу [16[ и Крузе [4. 5[,фундаментальноерешение уравнения динамики напишем в пространстве изображений Лап- ласа и>>(4, х, з) = (апрСвз) '(фбц — уг, >г, >) (11.26) где 7 — положительное число, большее, чем любая из действительных частей особых точек функции Р (з), з — комплексное число, удовлетворяющее условию Ке (з) '= 7. В рассматриваемых в данном разделе случаях в основном будем иметь некоторое число.
простых особых точек функции Р для тех значений з, которые требуются при вычислениях с помощью конечных элементов. Поэтому для обратного преобразования необходимо использовать численные приемы. Для того чтобы в разрешающих уравнениях избавиться от временнбй зависимости и записать их в интегральной форме, воспользуемся преобразованием Лапласа.
Тогда уравнение (1!.2) примет внд (Св — Сз~) У>, ц-1- С~~У>, и -[-(1>р) В> — зьУ> +зи>в+о> = О, (11.21) где для двумерных задача = 2, функции зр и 7 равны К'(с,)+~[К> (с ) с, К'(с, )1' (11.27) К> — модифицированные функции Бесселя второго рода и порядка [17, 18[. Для трехмерного случая а = 4 и е зг>гз С[ Сз е зг>гз С[ Сз Сз е (11.28) ЗСз зЗСз в — зг>С, С1 ЗС[ ЗС е-зг>Сз ,+1)в ( +,+ )е Найдем фундаментальный тензор напряжений Р1ц возникающих на поверхности, подставив выражение (11.26) для У>> в формулу (11.11). Используя метод взвешенных невязок таким образом, как это было показано выше, можно получить динамическое ин- .
тегральное уравнение относительно изображений внутренних перемещений и,=[ииг,зг — [гии,згз-[изи,за. д~зз~ г 1 Внутренние напряжения получаем в виде изображений, подставив выражение (11.29) в следующее соотношение: Е. [ац[ = р 1(С> — 2С~и) — ~ бц+ С[( — '+ — >) ~, (11.30) где производные берутся по координатам точки приложения нагрузки. Если взять точку $ на границе Г, получим исходное соотношение для дискретной формы метода граничных элементов: „,и,-г[гииг;зг=[ииг,зг.г[иииизи, ~11зи г г где для гладкой границы сц — — бц/2.
Уравнение (11.31) является / классическим уравнением метода граничных элементов, которое следует решать для заданных значений параметра преобразования з. При наличии решений для достаточно большого числа значений параметра з можно сделать численное обратное преобразование для соответствующих функций У>, Рз и >. [оз>1 и получить зависящее от времени решение, пользуясь различными методами численного обратного преобразования: Крузе [5[ применил процедуру, описанную в работе Папулиса [10 [, Манолис и Бескос 17 [ предпочли метод, взятый из работы Дурбина [20[, который хотя н требует больших затрат времени, приводит, как оказалось, Глава П к лучшим результатам.
Более подробные сведения относительно способов численного обратного преобразования можно найти в работе )8). 0,9 йХ О Ю -0,2 2 -Одо 5 О О. 1 10-',с Рис. 11,2. Картина изменения коэффициента концентрации напряжения в квадратном отверстии при действии плоской ударной волны для 0 = 9,5': / — статическое решение негоден граничных элементов; 2 — мегод конечных элементов; в — метод граничных злеменгов 120); ч — метод граничных злемевгов 1!9). -1,0 х -2,0 з'к к Х -5,0 к и на -КО о ы -5,0 5 5 9 $5 1*10,0 с Рис. 11.3 Картина изменения коэффициента концентрации напряжения в ива/г ратном отверстии при действии плоской ударной волны для 0 = 50,2'! / — метод граничных элементов 1!9); 2 — метод конечных элементов: 3 — статическое решение методам граничных элементов; в — метод граничных алексисов [20).
Пример 11,1. Прямоугольное отверстие, на которое воздействует плоская ударная волна. Некоторые интересные сопоставления различных решений, полученных методом граничных элементов с использованием описанных выше приемов численного обратного преобразования, и решений, найденных методом конечных Колебании элементов, имеются в работе /11анолиса и Бескоса )7). Результаты решений некоторых примеров из этой работы приведены на рис.
11.2 — 1!.4. Эти результаты относятся к задаче о плоском деформированном состоянии при наличии квадратного отверстия и действии ударной волны расширения, фронт которой параллелен одной из сторон отверстия. Параметры материала соответствовали сталя: на всех рисунках дается зависимость от времени коэффициента концентрации С - .. - 1,0 х к о Х й-г,з "й-5,0 Вы х "0,0 ' 0 19 15 Ю 9 )х В,'с 3 6 Рис. 11.4. Картина изменения коэффициента концентрации напряжения в квад- ратном отверстии прн действии плоской ударной волны для 0 = 80,5'! / — метод граничных элеменгов 1!9 и 2 — сгагнческае решение исходом граничных эле- ментов; 3 — метод конечных злеменгов; Ч вЂ” метод граннчнмх злеменгов 120).
напряжения, возникающего в направлении границы отверстия и вычисленного в различных точках на границе. Положение этих точек определяется углом й, который соответствует цилиндрической системе координат с началом в центре отверстия. Там же даны результаты, полученные с помощью вычислительной программы БАР 1!/' (21), которые, как видно, дают более высокие значения динамического коэффициента концентрации напряжения при й = 50,2', чем в статическом случае, 11.5.
Динамические задачи теории упругости при установившемся состоянии Для ряда практических приложений важно знать динамиче скос поведение тела или конструкции при гармоническом возбуждении. При этом реакция будет зависеть от частоты возбуждающего воздействия, а начальнймн условиями можно пренебречь, предполагая, что переходный процесс завершился и система перешла в установившееся состояние. Подобную ситуацию можно математически описать с помощью преобразования Фурье уравнений движения. Применяя это преобразование, можем написать У!(х, о/) = У (///(х, 1)), В,(х, 0/) == 9 ))/,(х, 1)), (11.32) глава П 392 Колебания тогда уравнение движения принимает вид . (С',— С',)Уь„+С,'У,,м+(!7р)В,+ ЯУ,=О. (Н.зз) Для соответствующих граничных условий имеем У;(х, го) =О, (х, го) иа участке Г, границы, (11.34) Р, (х, го) = Р, (х, го) иа участке Г, границы.
Отметим, что в сформулированной задаче отсутствуют начальные условия. Ускорение— Рис. 11.5. Сетка конечных влементов, использованная в работе Клауха и Чопры 1231. Параметры грунта: модуль сдвига б = 1,97 1О' 'г11мв, коэффициент Пуассона ч = 0,46, удельная масса р = 647 кгlмв. Д 1 Дк =Мана чм ра Рис. 11.6.
Дискретное представление с помощью граничных влементов. ~Как можно видеть, уравнение (11.23) отличается от (11.21) тем, что вместо з подставлена величина !го и отсутствуют начальные значения величин. Поэтому фундаментальные решения (1!.26) — (11.28) справедливы и для этих уравнений, если подставить з = его. Соответствующее граничное интегральное уравнение принимает вид спУ, -[- ~ Р),У, бг = ~ У[1Р, [Г+ ~ У[,В! (П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
