Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. к нахождеиню решения уравнения ПР'"' + йшь = Л (5 (9. 29) Если же это невозможно, следует прокнтегрировать интегральное слагаемое (9,28) численным путем с использованием внутренних ячеек. К сожалению, фундаментальное решение для пластин, лежащих на упругом полупространстве, как отмечалось в монографии Тимошенко и Вайиовского-Кригера (18], имеет довачьно сложный внд и поэтому здесь не приводится. 9.3.1. вкругие фундаментальные решения В ряде случаев представляет интерес использование фундаментальных решений для нагрузок, отличающихся от сосредоточенных снл (см, выражение (9.20)). Решекия задач о поведении пластин при разчичных граничных условиях и видах нагрузок приводятся ва многих классических монографиях, и ими можно пользоваться вместо фундаментального решения типа функции Грина, В этом случае имеется решение шь, которое может быть и несиигулярныч и обусловлено некоторой несасредоточенной нагрузкой.
Например, при решении уравнения (9.30) можно получить следуьощее обобщенное интегральное соотношение: ) й"ы НП э- ~ П"ш+ т'6) с]Г .1- ~ г]ш = я г = — ~ Ьшьс(П+ ~ ((ш*-]-гп])ь)с(Г '„- ~ ! св' (9.31) о г Отметим, что, поскольку здесь нагрузка не является сосредоточенной, в левой части этого соотношения появилось новое интегральное слагаемое, ко~орое характеризует работу фундаментальных внешних сил на действительном поперечном перемещении.
Альт!гера и Опкарски (61 использовали в качестве фундаментального решеьпэе для защемленной круговой пластины. Приведенные ими примеры показывают, каким образом можно обобщить метод граничных элементов; при этом сделан вывод, что не всегда требуется использовать фундаментальные решения, соответствующие неограниченной области, Энтис 1191 обобщил эти плен на случай задачи о поведении круговых цилиндрических оболочек, где к спальзованы известные решения для функций напряжений.
9.4. Примеры применения метода Пример 9.1. Штерн Н2! рассмотрел квадратную пластину ирн действии равномерно распределенной поперечной нагрузки для двух случаев: шар- нириа апертои пластины по всем четырем сторонам и защемленной на трех сторонах и шарнирно опертай на четвертой. В каждой из рассмотренных задач стороны разбивалнсь иа 4, 8 нли 16 элементов, что давало соответственно 80, 144 пли 272 степени свободы.
При граничных условия х типа шарнирного опирания иа каждой стороне равны нулю прогибы и удельные изгибающие моменты, поэтому неизвестными будут: поворот в нор- С3 э э! зд ь " 2 ссссс эл с,"сь э сь э,: д! мальнои (к рассматривае- ' г,ь,, „...,,, мой старане) плоскости удельная эффективная по- ст::ь и пеаечная сила и сосредо- Рсс. 9.4.
Рсзулыьты расчстаь згль ььььснь тачсиная СИла в Каждай й ь асрьшльпой плоскости ь удсььэьсй пспс- угловой точке. В силу речной саьы ггк! дзь шьрпьрас опсргсй симметрпн аадачи иа рис, паьсгьсы прь дсйсгььь равномерно распре. 9 4 представлены резуль- дсьсььсй псссрсчвсй нагрузки Ь. таты, полученные для по. лавины длины стороны пластины. Из сравнения этих результатов с результатами аналитического решения !181 видно их достаточно хорошее соответствие.
Реакции (э(й!ь) в угловых точках составляли 0,0641 в работе Штерна и 0,065 в работе 118]. Аналогичная картина наблюдается и в случае пластины с тремя защемленными и одной шарнирно опертой сторонами (см. рис. 9.5, где сравниваются результаты, полученные методом граничных элементов и методом конечных разностей в заботе ьйудн (20]), Пример 9.2. Этот пример взят из работы Бевина (71, где дано рецэение для квадратной пластины при различных граничных 359 358 Изгиб пластал Глава 9 5 и 2 0,05605 О, 06134 0,059!! 0 1197 0,05564 0,05599 0 1159 0.1159 0,4756 0,4628 Ззщемденвзя па всем староизлз пластина Швриирио опертзя го всеы сторонам пластине Ззщенлеиизя по одной старане пластина и шзрнирио опертзя по остезьныи .% 0,1233 0,1160 О 05 О,ь 0,5 0,2 о 0,1 0 - 0,1 - ОД .О, О 0,5 Ой 0,4709 0,4708 0,5 0,2 Об — О,! гг Ь Сг чз е з - 0,2 5 — 0,5 ! Позамел е узлов полззсеиие узгоз з стсрзче Л l ', че с смчгз мзл середние ззшеилеччвг Олезтый стоноги угол у ог Ряс.
9.5. Результаты рзсчетав удельного изгибающего нонеитз шЪР н удельной зффеитнвиой поперечной силы Г/Ь! для шзрнирзш опсртой па одной стороне н ззщенленаай по трен другиы сторонзи пластины Ори действии рззноиерно распределенной поперечной изгрузки Ь. б Ркс. 9.6, Дискретное представление с панощыа грзничныл злеиенюв (а) и сетии коне гны( юенентоз (6). Таблвна 9.!. Прогиб в неитре плвстииы при ркзличиых грвяичных условиях условиях. Здесь рассмотрим трн варианта этих граничных условий: защемление по всеч сторонам, шарнирное опнранне и, наконец, шарнирное опирание по трем сторонам, а по четнертой— защемленне; нагрузка — сосредоточенная сила, приложенная в центре пластины, коэффициент Пуассона т = 0,3.
На каждой стороне пластины вводилось 6 или 12 постоянных элементов одинаковой длины; поскольку симметрия не использовалась, то общее число граничных элементов составляло 24 или 48 (рнс. 9.6,и). Были получены значения прогиба, углов наклонов, удельного изгибающего момента и удельной поперечной силы в отдельных точках на границе, а также прогибов в нескольких точках, принадлежащих внутренней области пластнны.
Приведено сравнение с результатами, полученными методом конечных элементов, где использовалсн элемент с двенадцатью степенямп свободы 121]. Сетка разбиения пластины на конечные элементы показана на рис. 9.6, б. Защемленная пластина. Точное решение для прогиба в центре пластины, полученное в работе 1181, а также результаты решения методами граничных н конечных элементов приводятся в табл. 9.1. Отметим точность решения, полученного методом граничных элементов, Значения изгибающего момента и удельной поперечной силы, вычисленные на краю пластины, показаны на рис. 9.7, где приведены также аналогичные результаты из работы Сандерса 1221, полученные методом конечных элементов с использованием как уравнений равновесия, так и жесткостн элементов.
Шарнирно огмртал пластина, Прогибы в центре шарнирно опертой пластины приводятся также в табл. 9.!. Видно хорошее совпадение результатов аналитических решений (грабре 1281) и решений, полученных методом граничных элементов. Изгиб сыастии 381 11лоетино с тремя свободными и одной жестко зогцежленной сторонами (консольная пластино). Для такой пластины теорети- 1г ческого решения не имеется, поэтому 125 -„1ОО ".5 50 25 ленной по краю пластины, для которой известна функция Грина.
Поэтому фундаментальное решение для нее уже не описывается решением (9.20) для бесконечной пластины, но для такога типа пластин ано имеется в книге (18). Здесь не делалась попытки свести интеграл от поперечной нагрузки к контурному — ан находился шшленна путем сеточного представления области, занимаемой пластиной. Числа постоянных граничных элементов равнялось 60; на рис. 9,10 представлены относящиеся к аси у результаты и, Ъ ',й л ' 0 О 1 ь О, — О,5 О ! ОД 0,5 О, 0.5 хгс Рис. 9.7. Знщемленння пп всем сгпранвц плнсгннп, нагруженная сн»ай Р, прнлажсннпй в центре: гг — ьмеяеяхе удегьппгп ппгябхмще и пм и и ° " пьг бпм:гег»пмехгп в перееп и и д .". полов« : гпрпь сравннваются талька ре- зультаты, получевные методами граничных и конечных элементов.
Прогибы в центре пластины приводятся в табл. 9.1; на рис. 9.8, а и б дано сравнение результатов для прогибов и производных па нормали к границе; на рис. 9.8, в показана изменение прогибов вдоль аси симметрии. Пример 9.3. Альтиеро и Снкарски (61 решили задачу для защемленной треугольной пластины с равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9.9). При этом считалось, что рассматриваемая пластина расположена внутри фиктивной круговой защем- Б О 15 уу! "гт 0 12 уд б 04 -02 О луг - 0.4 - 0,2 О 0.2 0,4 у11 Ь у/1 Рнс.
9.8. Пластине с тремя свпбаднымн я одной жестяа зящемленнай сгаранвын, нагруженная силой Р, првлажевнай в центре: ~рп ебм х сепбпдхмх гырпппх АВ е ВС; б — гхх ех м угле хьвхпппв Емгдп вь » б д мх прпнтАВНВтг — прогиба х пепе ммегрмя. Реш еппе и методу гр ° е ° х ьхп- пхгпе Репул г г ° мпепгрпо и 1!В! 0,019Б 0 0191 0,0179 0,0180 Ю Б еь Б р, и Б 10 Б Б 4 12 Н) 8 й)4 4 Таблица Р.з. Удельные нзгнбныщне моменты в центре пластины Глава р расчетов. Найденные значения прогибов и удельных изгибающих моментов были затем пересчитаны путем экстраполяции на всю область, занимаемую треугольником, с тем чтобьг иметь Глава 1О Задачи о распространении воли Ряс. 99 Геометрия тре- угольаой плестпны, пое мещенной ппутрп круговой плестяны.
Ряс. 9.!О. Прогтгбы и ялгябеющпе моменты и треугольной пластяае. Е О,О е О,О -ОД -О' О ОУ тд Оз Ол Од возможность сравнять их с даннымн, приведенными в книге 1!8 ), где использовался метод конечных разностей. В табл. 9.2 приведены значения изгибающах моментов и центре пластины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
