Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(1ластические областв, соответствующие решению, в нотором использовалось условие текучести Мора--Кулона, показаны на рис. 7. 20 Зги области хорошо соответствуют областям, найденным при использовании и|стопа конечных элементов. Пример 7.8. Туннель неглубокого заложении П61. В предыдущем примере метод граничных элементов, приспособленныя для решения упругопластпческих задач, применялся для расчета 327 Теории илиотичиол»ии Глава 7 круговой выемки радиуса и', лежащей глубоко под землей (т. е. в бесконечной среде). Выли отмечены большие преимущества метода граничных элементов по сравнению с методом конечных элементов. Здесь аналогичная задача рассматривается для тун- .
/,.':.~;,'~~~ Я~~~;:~ Рил 7.21 Зада»а о иетлу' !' " ' '.. З у".''~ болли'туииеле кругового поперечиого сечении. Дисгсле э»утре» » »э»Э»же.»Л кротало ирэдстээлеиие, исиачьэоьтииое ири реиуеиии методол» граиичиыт элементов, и оиоичатольилэ расооложеииэ пластическом области неля, проложенного вблизи поверхности земли и лежащего, таким образом, в полубескоцечной области, причем его ось отстоит от поверхности на расстояние, ~--) равное пяти его раП диусам. Как и ранее, материал, подобный грунту, считался удовлетворяющим условию текучести Дракера — Пратера (а' и К' описываются выражениями (7.39)) и обладающим следующими характеристикатуи. Е = 3,447 10' Нlмт, с' = 1,932 МПа, т =- 0,2, тр' = =- 30'.
Для того чтобы данное исследование приблизить к реальным задачам, было принято, что в полубесконечной среде имеется начальное напряженное состояние с линейно язменяющнмися напряжениями вида г»» и„=- д, + уй — напряжение в вертикальном направлении, а„= 0,4а, — напряжение в горизонтальном направлении, где д, -- равномерное давление, обусловленное, например, слоем воды или очень мягкого материала, 7 — удельный вес грунта, й — рзсстояпие до поверхности земли. Для представления напряженного состояния в задаче о туннеле глубокого заложения (и, = 6,896 МПа) на глубине, соответствующей положению оси выемки, попользовалась следующие данные; о„= 2,069 МПа, 7 = 2,733.10' Н/мэ, г' =..
39,8 м. Исследование плоского деформированного состояния выполнялось с помощью гпаговой процедуры, при которой задавались приращения нагрузки, соответствующие моменту установления внутренних напряжений на границе выемки. Способ дискретного представления приведен иа рис. 7.21, там же нанизано располо- — у»тмэ "лубоыгэ жение пластической об- мллжт»э — — — тщ эм»чтлуболастн.
ыгэ ээлэжт»лэ На рнс 7 22 дано рас о; пределение напряжений вдоль края горизонтального поперечного сечения и там же для сравнения приведены результаты для -дб туннеля глубокого заложения. Отлтетим, что зна- У бу чепия напряжений в части области, лежащей вне и ячеек, вычислялись в простых внутренних точках. Приведенный пример Рис 722 Раииредтлеиие иаирижевий вдоль ясно демонстрирует по- краи гориэоитальиого сечении. лезность применения решения для' полуплоскасти. Такого рода задачи можно более илн менее ' успешно решать только с помощью такого подхода, при котором не требуется вводить дискретное представление ни для поверхности земли, ня для внутренней границы. 7.6.
Сравнение с результатами, полученными методом конечных элементов В этом разделе дается сравнение решений задач для упруго- пластических материалов, полученных методами граничных и конечных элементов. Сравнение проводится по главным показателям, которые определяют эффективность программ, а именно: время счета, точность решения и простота представления исходных данных.
Программа расчета иа ЭВМ с помощью метода граничных элементов была опубликована Теллесом 126] в 1979 г., программа метода конечных элементов была создана Оуэном и Хинтогтом 1271. Во всех случаях была использована ЭВМ 1СЕ 2970 и решались две типовые задачи 1281: 1) перфорированная алютуиииевзя паласа; 2) круговзя полость, в которой задано внутреннее давлегуууе. 328 Гяааи 7 Теория ляасшичяасши 329 Табяина 7.?.
Сопоставление решений, полученных методам грвннчных элементов (МГЭ) н методам венечных элементов (МКЭ) обш * ч ело тачек к узл е, спольвуе. р к и врс сч ы нк эвм 1С1 Зета 1к ус ык едв» Чкс о гркккчвмч клн к нсчкмк лс- меншк М*т д решения рксси тривкеикк задача Перфорггровеннея елке чпнневвя полосе МКЭ Л1ГЭ 87 40 17 23 430 142 1(руговея полость, нагруженная внутренним Лзвленпем МКЭ (звщемлепне нв внешней границе) 135 28 1212 МКЭ (в вешняя грз апов не зв щем лене) 135 1341 28 МГЭ 20 103 Пример 7.9. Перфорированная алгоминневая полоса. В этом примере рассматривается прямоугольная алюминиевая пластина с центрально расположенным отверстием при п-оском напряженном состоянии, создаваемом постоянным напряженнем, действующим на концах пластнны. Сетка конечных лагранжевых элементов с девятью узлами показана на рис.
7.23, а, а дискретное представление в соответствии с методом конечных элементов (с линейной интерполяцией как неизвестных на гранкце, так и пластических деформаций) представлено на рпс. 7.23, б. Использовались следующие параметры материалов: Е -- 7 1Ош Нгыз, о =-- 0,2, 1" =-: 243 МПа, Н' — 0,032Е (условие текучести Мизеса). На рас. 7 24 представлены зависимости нагрузки от перечтещения в точке, лежащей на нагруженном прае, пачученные методами граничных и конечных элементов. Оба метода дают результаты с одинаковой точностью, но с точки зрения времени, затрачиваемого иа счет и на подготовку исходных данных (табл.
7.1), метод граничных элементов имеет определенные прек мущества. Отметим, что, для того чтобы получить одинаковую точность в методе граничных элементов, требуется задавать значительно меньшее число узлов на поверхности тела, чем чисто узлов в ме. Рве. ?.23. Перфорнрпввннвя по.юсв. — сс кк к ксч, ~х чгшток для исрэ ркр в нное л с сачш,ь грш чк кь. не к.
в Рве 7.24 Зеенснмость нагрузки от перемещения для зздвча о перфорпроввнной паласе. Сплошнз» крввви полученв методом грвннчных элементов, штрпховэя — па метолу конечных элементов. ис?' Гаыа 7 лихе ме грехи хьы э гмеити в еиерхм Г:-=- 5ОО. ~ 155 м ~00 мм моа м Рис. 7.25. Пописать кругово- го поперечного сечеяия и — «э х вемимх эх м «т э; б — дхсхрстмс рслстээлсэ э в мет д р, мченх элем нто .
Рнс, 7.26. Зависимость редявльното перемещения от негрувкз для круговой волости. Кружки нолучены методом греннчныт эяементов, сплошные крнные — методом конечных элементов: мем ется с б хно. св О,о тоде конечных элементов. Это объясняется хорошей сходимостыо «смешанного типа» формулировок метода граничных элементов. Пример 7.10. Круговая полость, вая внутренним давлением. аиичиых элементов ие имеет ри решении задач для беско- Теория ьлоеыичмогти сяти радпу аы полости. На рис.
7.25, а показана сетка девятиузловых конечных элементов, а матеркал подчинялся условию текучести Мизеса и имел следующие характеристики: Е = 7 х х !О'о Нумх, ч = 0,2, тг, =- 10' МПа (идеальная пластичность). Задача была решена методом конечных элементов, причем сначала предполагалось, что на внешней границе перемещения равны нулю, а затем принималось, что внешняя граница может свободно перемещаться.
Согласно теоретическим представлениям, истинные радиальные перемещения на границе полости имеют аначения, лежащие между значениями, соответствующими этим двум предположениям. Затем задача была решена методом граничных элементов, в котором можно адекватно рассматривать бесконечное тело. Дискретное представление показано на рнс. 7.25, б, На рис. 7.26 представлены полученные методом грз. яичных элементов результаты вычисления перемещений, значения которых при максимальных значениях нагрузки лежат между реаультатами двух упоминавшихся вариантов решений по методу конечных элементов, Однако иа первых шагах по нагрузке перемещения, определяемые по методу граничных элементов, несколько превышают перемещения, вычисляемые методом конечных элементов. Возможно, это объясняется хорошо известной более высокой «жесткостью» конечных элементов, особенно для упругих областей большой протяженности.
Когда воны с пластическими деформациями располагаются вблизи выемки, подкрепляющее влияние внешней границы мало сказывается на радиальных перемещениях поверхности полости и тогда оказывается существенным влннпне «жесткостиэ конечных элементов. Остальные преимущества использования метода граничных элементов видны из табл. 7.1. Отметим, что в этой задаче существенно упрощен ввод исходных данных, особенно когда учитывается симметрия. Метод граничных элементов более эффективен по сравнению с методом конечных элементов и с точки арения времени счета на ЭВМ. печной области, например задачи о круговой полости, нагруженной ОЛ О.э о,о ов ед внутренним давлением.
Эта задача является задачей о плоском деформированном состоянии, и здесь возникают трудности при дискретном представлении с помощью конечных эчементов части области определенного размера, примыкающей к границе полости. Этот размер брался равным де- Глава 8 Внзнопластичность 8.!. Введение В этой главе описывается применение уравнений метода граничных элементов к задачам вязкоптастнчности Эту же процедуру можно применять и к задачам ползучестп. Здесь используется прием, предложенный Перпинои 11- 3], поскольку он удобен при численной реализации и — как об этом уже говорилось в гл.
6 может применяться длл построения реи~ений упругопластнческнх задач, Решение, зависящее от вреченв, получается с помощью одношаговой процедуры Эйчера. Кроме того, обсуждаютс я некоторые соображення по поводу выбора шага по времени. Представлен и проиллюстрирован на првмерах случай материалов, не сопротивляющихся растлженню.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
