Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 55
Текст из файла (страница 55)
з,г — — -зо ! Вы — дза6,7! + ап — — О, (8.28) Здесь кроме указанных выше ограничений использовались приближенные, но весьма общего характера предельные значения для шага по времени. Перепишем выражение (8.10) в форме о, я(й а), (8.29) где при ь, -- 0 имеем я(Е о,) .
— Еу(Ф). (8.30) Соотношение (8.29) для эквивалентных напряжений можно использовать !41 для оценки границ устойчивостя применяемой здесь процедуры Эйлера. Из соотношений (8.25) и (8.29) получаем п,~ = а„+ 618(Е а~). (8.3!) Предположим, что прн шаговом по времени процессе возииклп ошибки усечения и округления, Тогда общая ошибка в момент времени (ь будет равна ь ь ь р =и,— а„ (8.32) где и, — значение величины п„получаемое пря точном интегрировании по времени уравнения (8.29) и соответствующее точному решению уравнения (8.24). Предполагая, что погрешность р достаточно мала и можно для представлении функции я(5 о,) использовать усеченный ряд Тейлора по п„получаем я (1, и,) = я (1, о,): — р Подставляя выражение (8.32), записанное для ьюментов и 1ь»» времени, в соотношение (8.31), с учетом представления (8.33) найдем и, '+ Р ~' = о, -, 'Р .! 61 !д (Е и',) — Р~Уе (дФ7дп )1 (8 34) При установившемся состоянии имеем беы — дь, я(1, аь) = О, (8.35) отсюда следует рьа» ~ = рь !1 — 617Е (дФ)дое)а! (8.36) Для того чтобы гарантировать, что погрешности будут ограниченнычи (т.
е. процесс будет устойчивым), требуется выполнение условия ! р'»» ! ~ ! р" ), откуда следует Л! К 6!агч, —— 27! 7(дФ,'дп,) Е). (8.37) Принимая во внимание, что для работы упрочненпя вязкопластическпх материалов имеет место соотношенпе Ввмоллас~пичлоспь 339 Глава 3 338 1/2 Рис. 8.1.
Задача упругоплв- О 1О стяческого прогиба для бел- ки с высокой стеккои: гео- метрия н способ дискретного представлсняя лля решения 0,12 ыетадом граничных влеыен- тов (плоское яворяженное состояние). Длягга балки ч 1 = 0,448 ч. о,вь Рис. 8.2. Завксямость нагруз. ки от прогиба в середине пролета для задачи о балке с вмсакой стенкой. йорг воз. г,ооь а,оов «.,1 где Ф' = с/ФЫ (Е/ф), окончательно получаем й! ~ /!!врет = 2ф /(ТФ (Еф+ пег(ф/г(ве)] (839) Здесь прп ф = и, имеем г(ф/с(ее = Н'. В случае задачи ползу- чести анялопщное выражение имеет вид /Ог„р„, =- 2/(КЕтп, г), (8.40) а если испгхпьзуется выражение (8.! 2), то в чнамензтеле появляется функция !", и тогда этот критический шзг по времени совпадает с найденным Кормеу (13] в Лйронсом (14] при р 0,5.
Для того чтобы исследовать влияние упрочнения на критическое значение шага по времени, рассмотрим случай Ф' =- 1, г/фгс(ее =- Н' = сопз1. В этом случае выражение (8.39) упрощается: гй!„рк„= 2пр/(ТЕ()г -! Н'з,)]. (8,41) Здесь нспользовялось соотношение и, = Е(е, — ее), где е, = .— — сопя(, Из приведенного выше соотношения следует, что прп Н' > 0 благодаря влиянию упрочнения получаем сначала уменьшение критического шага по времени (по сравнению со случаем Н' == 0), а затем по мере развития вязкопластического течения эта величина возрастает кзк о,'. Можно отмстить, что этого не будет в сл>чае Н' (0 (раоупрочняющийся материал); здесь шаг по времени сначала возрастает, з затем уменьшаегся при развития вязкоплзстическнх деформаций, что ведет к уменьшению области устойчивого счета, и этот случай следует изучить более внимательно. В следующем разделе сопоставляготся результяты для нескольких примеров, решенных в соответствии с представленной в этом разделе теорией, с результатами, имеющнмнся в литературе.
8А. Примеры решения задач для материалов, характеристики ноторых зависят от времени Интересной осабеняостью теории упруговязкопластичностп (равд. 6.2) является то, что если нагрузка прикладывается с милыми приращениями, прн которых нз кяждом шаге по нагрузке достигаются условия стациоиариости, то получяется репгеннс лишь задачи теории упругопластичпости. Вопрос о том, насколько чалыми следтет брять эти приращения, до сих нор остается открытым н на самом деле это определяется типом задачи. В прели ставленпои здесь примере 8.1 данная особенность подробно исследуется на актуальной задаче об упругопластнческом поведении материала.
Но в примерах 8.2 и 8.3 суммарная нягрузкя прикладывается на одном ваге и далее исследуется задача ползучести со степенным законом и квазилинейной вязкопластнчпостью. Пример 8.1. Балка с высокой стенкой. В данном примере изучается упругопластическое поведение свободно опертой балки с высокой стенкой при действии равномерно распределенной нагрузки методом граничных элементов, приспособленным для решенин задач вязкопластичиасти.
На рис. 8.1 показано дискретное представление балки, материал которой подчиняется условию текучести Треска и обладает слсдугощнмн характеристиками: Е = 20,69.10ш Н/м', и, = 247,9МПа, ч = — 0,3, Н' == О, Ф (Е/ф) = = Е/ф, у = ! с '. Эта задача исследовалась Анандом и др. (16 ] с помощью сетки, содержавшей 272 треугольных конечных элемента с линейиыни перемещениями; прн этом иа границе было на 33 'ге больше элементов, чем в применявшемся здесь дискретном представлении (8].
Сравнение результатов приведено на рис 8.2, где показаны зависимости нагрузки от прогггба в середние пролета, получеи- З4) Впншпзастачласть Рпс. 8 5. Дискрегяое пред. ставление орячоугольиак п эзсппш про температурных деформзпаяч и рзсположение овззсгп плзсгическнь дефармзипи Испоэьзоевлись следзшшие значения пзрзмег. ров. а —.)и, Е— -40' И,мз, о„=-.0,4 МПз, з' = 0,32.) = ) с'э. Зер»ш .реЛе' зэ 1 С 4 'ч 14 зе 55 .' ° с"; с ные обоими методами; там же воспроизведена зависимость, соответствующая балочной теории 116). Как можно видеть, решение методом граничных элементов дает в пределе значение нагрузки, получаемое по балочной теории, тогда как результаты, полученные методом конечных элементов, дают несколько больший уропепь нагрузки. Пренебреигньго малое различие наблюдается уже нз Ркс.
8.8. Днскрегнос предсгзвлешэе с Рпс. 8 4 Ззвпспмость рвдпвльяого не° ОНОЩЫО ГРВНВЧПЫХ ЗЛЕМЕНГОВ И Впз ° РЕМСЩЕНВЯ ВПЕШНЕГО КаитУРВ ОГ ВРЕ. гренниь ячок в задаче о диске. иээбэ- меня )шзрнховзя линия) взвдзчса аал. дящечся в плоском нвпряженном сс- мчесга эонкага дэккз. стояние, со степенным ззкоиоч ползу. чесгв испо.эьзовзлпсь след)эошэзезнз- стадии упругих деформаций, ченп» аврвмсгров. а - 4Я64 мм, Ь'— при этом метод граннчных Эпементов дает более низкое значение нагрузки, при которой возяиказот первые пластические дефорьзации, и большие перемещения при одном и тон же значении нагрузки. Пример 8.2. Тонкий диск )8). Весьма точные оценки в задачах ползучести для тонкого диска с расположенной в центре абсолзотно жесткой вставкой при постоянном значении равномерно распределенной по краю нагрузки были даны Симам И7).
Это было сделано путем непосредственного интегрирования по времени аналитического решения и представления результата в безразмерной форме с использованием так называемых относительных напряжений. Для того чтобы проверить метод граничных элементов на такой же задаче, были использованы следующие характеристики материала: Š— 11,72-10" Нэмв, и = 0,33, е', = 1,88 я х10 ау, где е, измеряется в с", о, — в й)На.
3 4,4 ° с — ! Геометрия диска, нагрузка, а также дискретное представление для применения ~стада зраничных элементов показаны на рис. 8,3, Отметим, что вследствие симметрии задачи дискретное представление на осях симметрии не использовалось. Зависимости радиального перемещения на внешнем контуре от времени, полученные различными способамн, показаны иа л рис 8.4. Как и следовало ожидать, методу граничных элементов соответствует зависимость в виде прямой, лежащей между двумя предельными прямыми, взятыми пз работы 117).
Интересно отметить, что угол наклона э,оз этих предельных парал- ' -,, р,в, чэзч аг1 лельпых пРЯмых был най- сасзач ° «егад чс«ечньч эге 4 гзв дек при условии почти 5,15 е ) 4 сл гезч««чьх эге«е -зз ) стацэгонарного состояния, когда изменение скорости перемещения составляло ' экш „„,' ) †— егав О 55 пользовалпсь такое же условие стационарности, что привело к прямолинейной форме зависимо. сти перемещений от временя.
Пример 8.3. Температурные деформации в пла- -0,555 стине 18), Б этом примере л гга 8 исследретси п)зи40)'голь. Р . 88. 5)зьэененпе напряжения а„ползи. ная защемленная на од- не защемленного края при г=" 0 и зсампга- ноы крае пластяиа прп гвческое сасгоянае 14 аа), 828 Д«сее 8 Взвив«лести««есть быстром равномерном повышении течпературьг. Температурные деформации принимались такими, что еп == — 0,016!!.
г Задачу можно решать путем задания равных ее! = — е!! танген. г циальных перемещений на жестко закрепленном крае / — — -азу«с и Рейсе(152 1«руссе /, ме«еа «ст««е и вычисления окончатель- 1,25 ссс«се-'( "е"е«.се ! пыт значений перемещений з«е е-се !. простым сложением решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
