Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(7.4 П Отметим, что для критерия Мизеса величина йао в формуле (7.41) определяется выражением (7.6). Для того чтобы получить соотношения между напряжениями и деформациями, описывающие поведение материала при пластических деформациях, перепишем сначала выражение (Б.45) в дифференциальной форме йоы = Сыо, (йе»1 — йеоо/). (7А2) В соответствии с положениями ассоциированной теории пластичности закон течения, известный как принцип нормальности П, Б, 7!, можно записать в виде йаео/ = й)»(дг/даг/), (7.43) где йХ вЂ” коэффициент пропорциональности, характеризующий пластические свойства материала.
Следует обратить внимание на то, что отсюда можно получить также уравнения Прандтля— Рейсов при условии текучести Мизеса, однако в дальнейшем коэффициент йь не будет определяться выражением (7.10). Подставляя выражение (7.43) в соотношение (7.42), найдем йо// .= С,/о/ (йаог — ао, йй), (7.44) где а„= дг'/дааг = д//даы (7.45) При пластических деформациях напряжения будут удовлетворять условию (7.40), продифференцировав которое, получим йГ = а,/йа,/ — (йф/йй) йй = О, (7.46) или с учетом выражения (7.3) амйа// — (йф/йй) амйае/ = О.
(7.47) Применяя при/щип нормальности к уравнению (7.47), найдем аы йаы — (йф/й//) ае/ае/Ю = О. (7.48) зю 3!4 Гзааа 7 теелпя члпсгмчмч ча Если в зту формулу подставить выра кение (7.44) для дпц то. решив результирующее соотношение относительно г(Х, найдем ВЛ = П/у')ацс,м,д м, (7.49) где У = ацСцмам ь 0/ф/ай)пцац.
(7.50) Прежде чем идти далыпе, можно рассмотреть последнее слагаемое в равенстве (7.50). Легко показать, что /(и,/) — однородная функция первого порядка, тогда, применяя теорему Эйлера 1!81, можно записать пц(д//да~/) =- /(ац) =- и,. (7.51) Подставляя это выраженце и равенство (7А1) в формулу (7.50), получим (7,52) у' = ацСцыам ! Вф/г(е"„ где г(ф/пау .= //', если ф — предел текучести при нагружении. Выражение (7.49) можно использовать, подставив мулу (7.44), если применяется соотношение между пнями напряжений и деформаций зе гЬц =- СД~ г(аль где одноосном аХ в фор- прираще- (7.53) С~/ы = Сцм (1/у ) Сц а~ ~ а аСтгьь (7.54) Для того чтобы эти соотношения применять, используя формулировку с начальными напряжениями, удобнее провести дополнительное преобразование. Введем следующее обозначение (см.
выражение (6.59)): дп(/ =- Сцы дам, (7.55) гле Ао,'! — компоненты приращений упругих напряжений (т. е. значения приращений напряжений, соответствующих чисто упругим деформациям). Выражение (7.53) можно переписать в форме сЬц =- дац — (1/у') Сц а аз~ доза (7.56) Это уравнение означает, что истинные значения напряжений можно вычислить с почощью соответствующих упругих напряжений, взяв зти значения в форме приращений. Кроме того, можно вычислить приращения начальных напряжений (см. выражение (6А7)), воспользовавшись следующим соотношением: г(п7; = гЬг/ — Нпц = (1/у') Сц„„а,аы г(пац (7.57) где г(о(/ соответствует йт,'/ при г(з;/ =- г(ег/. где / — еднннчпан матрица, что дает (7 59) г(о' . 0' ~!Р— //'Л/ ', 4/'дац О" .— — Я' -; Е.
|ле (7.60) Наконец, следует упомянуть, что проблему неопределенности, присутстнующую в принципе нормальности (см. выражение (7.43)) в связи с так называемыми угловыми точками на поверхности текучести (характерные поверхности для условий Треска н Мора— Кулона), можно обойти с помощью простой процедуры, описанной з работе [14!. Она состоит в «охруглении» угловых участков, когда ) а) )(и/6 — лЛВО), благодаря чечу обходится особенность, соответствующая ) а1 = п/6. 7.5.
Задачи с начальными напряжениями. Описание подходов к решению Для облегчения численного способа решения задач с начзльными напряжениями уравнения (6.134) и (7 59) можно преобразовать так, как об этом говорилось в равд. 6.8, что дает гП'=-/удач ВНМ, Но'= Ег(пг+Н/У, (?.61, 7.62) (7,63, 7.64) где 77 = А-'42, Ю = 4/' — А Я. Огметим, что.
как и прежде, векторы аМ н д/у представляют собой упругие решения задачи внутри шага по нагрузке (действительное решение прп отсутствии пластичности). Уравнения (7.61) и (7.62) будут справедливы и в точ случае, если вчесто приращения подставить полную нагрузку. Единственная причнна, по которой сохраняется дифференциальная форма, состоит в определяющих соотношениях (7,53).
Это позволяет вычислять нагрузку, соответствующую моменту возникновения пластических деформаций, простым делением общего упругого решения на коэффнциент нагрузка Х,. Шаговый процесс начинается с этого значения нагрузки, а последующие значения коэффициента нагрузки определяются выражением (7.29). Все соотношения этого раздела справелливы для трехмерного случая. Подробности, относящиеся к двумерным задачам, читатель найдет а приложении В. Из рассмотрения выражения (6.46) видно, что соотношения !6. !35) можно испотьзоаать для гшхозкдеиия г(а;/, если матрицу Е' зацепить па Е=Е'-! /, (788! 316 Гл««« 7 Т«ор««я«аияи«яаоя« 31? (7.65) (7,66) Для упругопластического состояния уравнения (7.61) и (7.62) л«ажно взять в виде 1' =- )7(а '- Ла») Е)чМ, а' —.
Я(ая '; Ла») ' Х;Л« либо в форме, соответствующей только приращенияч, А)«: 77 Лая+-5М, Ла' =- За» 1 8Лг, (7.67, 7.68) где векторы М н Л соответствуют случаю приложения полной нагрузки, Л໠— текущее приращение начальных напряжений. Для типичного приращения нагрузки (т. е.
для заданного значения коэффициента )«) можно с помощью ятерацпй по упомянутым двум процессач определить приращение начальных яа. пряжений в любом граничном узле илн внутренней точке, в которых ожидается нозникновшше пластических деформаций. Первый из этих процессов по суп!яству ивляется чисто шаговым.
После приложения приращения нагрузки 5Л«вычисляется приращение начальных напряжений, соответствующее чисто чпругнч деформациям, которое затем считается заданныч для рассматриваемого тела, обеспечивая тем самы»~ перераспределение упругих напряжений. Эта операция позволяет получить новое поле начальных напряжений, которое должно перераспределяться упруго, и т. д. Итерационный процесс прекрагцается, когда добавками к предыдущим значениям начальных напряжений можно будет пренебречь ввиду нх малости. Описанный выше процесс по существу аналогичен приведенному в работе (1! ) применительно к методу конечных элечентов и может быть представлен в виде следующих шагов: а) Вычисление приращений упругих напряжени!«в соответствии с выражением (7.68), если закопчена предыдущая итерация, илн, иначе, Ла« = ЯЛа».
б) Нахождение приращений истинных напряжений Лаы (си. выражение (7.56)). в) Проверка сходнмости процессз, т. е. сравнение вычисленных приращений деформаций Ле» с текущими зыяченнями деформапнй, найденными для очередного шага по нагрузке, с тем чтобы определить, .«ажно лн пренег»реч«приращениями. г) Вычисление приращений начальных напряжений с помощью выражения Ла» =- Ла,! — Лаа.
д) Уточнение значений начальных й истинных напряжений: а«« — » а,'; + Ла»з, ам — »- а„(- Лам. е) Переход к следуняцечу узлу или точке и повторение вычислений, начиная с пункта «б» до тех пор, пока не будут ряссчотрены все узлы и точки. ж) Возвращение к пункту «а» для выполнения следующей итерации. Итерации выполняются до тех пор, пока не будет достигнута сходимость (с заданной точностью) пропесса вычислений в каждом узле н каждой точке. Интересно отметить, что, для того чтобы избежать накопления погрешностей, значения Ла», полученные в конце итерационного процесса, подставляются вместе с !)Л« в уравнение (7.68) для выполнения первой итерации для следующего шага по нагрузке. Второй процесс, который, как было показано, меньше зависит от нечичины приращения нагрузки, по не всегда является более экономичным 1!91, основан на суммировании приращений упругих напряжений аналогично тому, как это делалось в процедуре, построенной для задач с начальиычи деформациями.
Приращения нэчальных напряжений не суммируются с полпымн значениячи, пока не будет достигнута сходнмость процесса, этапы которого таковы. а) Вычисление упругих напряжений (сч, выражение (7.66)). б) Вычисление приращений упругих напряжений с помощью выражения Ла,'т = — а,', — ам — а»ь в) !.1ахождение приращейия истинных напряжений Лаы (см. выражение (7.56)). г) Вычисление попого приращения начальных напряжений Лаа = Ла;; — Ла,ь е) Переход к следующему узлу илн точке и возобновление расчетов с пункта «б» до тех пор, пока не будут рассмотрены все узлы и точки.
Когда достигается сходнмость процесса во всех узлах и точках, все приращения истинных напряжений и начальных напряжений суммируются и результат используется как начальное значение для следующего «нага по нагрузке. Отметин, что н этих процедурах не требуется вычислять значения неизвестных на границе. Следовательно, уравнение (7.65) требуется только при вьщоде на нешть значений неизвестных на границе, как только ятерапионный процесс сойдется. Если, кроме того, в исследуемом теле задано поле начальных напряжений, то эти напряжения просто суммируются с вектороч полных напряжений в начале процесса. В этом случае нагрузку, соответствующую появлению первых пластических деформаций, уже нельзя находить из выражения (7.28), но, для того чтобы начать шаговый процесс, здесь можно взять произвольное приближенное значение коэффициента Х, (с условием, что при этом реали.
зуется чисто упругое напряженное состояние). !)режде чем использовать приведенные выше алгоритмы для решения задач теории пластичности, следует отметить, что по- 319 Теорие леллжелсссжс 318 Гилее у — — — — — сенс— Рис. т ! О Рястяжее не обрез. сся с еыточиой. Дискретное ереастяяяенне1 с помощью сраннчиых злеыентое и янутреннн» ячеек (плоское на. пряженное состояние). 1,2 чо о,о й ОБ Рис. 2.11. Зеянсиыость отно. сительного напряжения ат относительного переысщения яяя образна с выточкой при плоском непряженноы со. стоянии, получениея ыетояом граничных элементов. :оо~ о,сос О ООБ скольку процедуры решения являются шаговычи, то всегда задаются конечные значения приращений нагрузки, а этоможет привести к некоторому смещению уровня напряокеннй выше поверхнсктн текучести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
