Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если приращения нагрузки брать достаточно малы ли, то этой проблемы практически не возникает, но сслн требуется задавап сравнительно большие приращении яагрузкп, то необходимо использовать специальный прием типа опвсанного в работак 110, 14, 20], для того чтобы значения напряжений лежали па поверхности текучести !1о существу зтпт прием нсполс,зуст проиедуру дрооных шагов, когда приращение чпрчг»х напряжений разбивается на ряз более мелких приращений. Прн этом для каждого дробного шага иьпользуегси соотношение (7 бб). Кроме того, как только будут пройдены все дробные шаги, проводнтсн проверка выполнения условна (7.40) н окончательная добавка напряжений (если таковая ичеетси), все еще удовлетворяющая условию текучести, прпбавляегся к приращению начальных напряжений.
7.5.1. Примеры применения решения Кельвина Здесь приводятся результаты решений методом граничных элементов дли ряда примеров в соответствии с алгоритмами решений, представленных в этоьс разделе; дано сравнение с ныеющимнся аналитическими решениями и решениями, полученными методом конечных элементов. Пример 7.4. Растяжение образца с выточкой (191. Этот пример является одной из самых первых задач теории пластичности, решенной с помощью метода конечнык элементов.
В нескольких статьях были приведены результаты для плоских напряженного и деформированного состояний. что явилось хорошей возможностью сравнять их с расчетами, выполненными методом граничных элементов. В задаче использовались следующие значения параметров. Е =- 7 10" Нсмт, о, =- 2,43 31Па, ъ = 0,2, О' =- 0 (условие текучести Мизеса) Плоское напряжсннпе состоннне исследовалось с помощью дискретного представления, показан. ного на рнс. 7.10. Отметим, что в связи с симметрией задачи на оси симметрии граничные элементы не используются.
Это связано с процессом прямой конденсации, прн котором автоматически учитываются интегралы по изображенным элементов и ячеек, поэтому результирующим матрипам соответствует меньшее число граничных элементов н внутренних точек. На рис. 7.1! приводится зависимость относительного напряжения, создаваемого нагрузкой, пг относительного перемещения для рассматриваемого случая. Видно, что эта завнснмость прак. тически линейная вплоть до самой предельной нагрузки, н лишь стблизсс этой нагрузки появлнссси излом кривой.
Такое поведение наблюдалось в аналошшной задаче Ямадой 1211. Значение (2а,)ое = 1,21) предельного напряжения, найденное методом граничных элементов, совпадает с результатами, полученными Найя. ком и Зинкевичем И4) с использованием различных конечных элементов для этой же задачи. Значение найденного ими относи.
тельного предельного напряжения 2а,,'и, располагалось между 1,19 и 1,23, а в расчетах использовались стрсктой треугольный, изопараметрический линейный, квадратичный и кубический элементы, причем во всех четырех сетках было 97 узлов. В случае плоского деформированного состоянии из-аа значительного распространения пластической зоны при приближении нагрузки к ее предельному значению число внутренних точек и ячеек увеличивалось соответственно с ЗЗ и 51 до 59 и 97.
На рис. 7.12 покааана зависимость относительного напряжения от относительного перемещения; там же показаны результаты, 320 Глэкт 7 георпл лллсжлчности 321 полученные Ченом [5) по методу конечных элементов. Предельное значение относительного напряжения нагрузки, полученное методом граничных элементов (2п,уое = 1,61), меньше значения, найденного методом конечных элементов (2н,)не = = 1,85). Но, как отмечает Чен, нз предельных теорем следует, Рнс. 7.12. Ззвнсимость относительного напряжения от относительного перемещения для образ. иа с выточкой прк плоском деформнроввивом со. стоянии.
Сплотпвзя кре. взя полученз методом конечных элементов, штриховзи — по методу трзи;нных элементов. 1.5 е 1.9 9,5 Рис 7.13. Плвстнческие зоны, полученные при расчете методом трвничяых элемеитов,,тлв рззззм томных уровней нзгрузки !плоское деформированяос состояние). з,оса елп эт'1 что максимальное значение этой величины находится между 1,52 и 1,73, тто подтверждает результаты, полученные методом граничных элементов.
Распространение пластических зон для соответствующих уравнений загрузки показано на рис. 7.13, где видно хорошее соответствие с решением, полученным методом конечных элементов [5, П[. Пример 7.5. Круговой туннель глубокого ааложения [19). Зтот пример был выбран для того, чтобы показать преимущества метода граничных элементов при использовании подходов, основанных на рассмотрении «внешнихэ областей при решении задач Рис.
7.14. Круговой туннель глубокого заложения. Днскретяое представление, использозенвое длн расчета методом трзничлых элементов, и полученное расположение плзстнческой области. Л Н / 1 жения о бесконечности области, первоначально имеющей однородное поле напряжений 6,895 МПа в вертикальном и 2,758 МПа в обоих горизонтальных направлениях (Ко = 0,4). В данном исследовании на открытой поверхности прикладывалась внешняя нагрузка, соответствующая моменту установления этого поля напряжений. Матервал !грунт) предполагается идеально-пластическим со следующими характеристиками: Е = 3,447 10э Н'м', с' —— =- 1,932 МПа, т =- 0,2, тр' = 30'.
1)а рнс. 7.!4 показано дискретное представление с помощью граничных элементов и внутренних ячеек; там же можно видеть окончательное расположение пластической области, развитие которой началось от границы выемки. Напряжения иа горизонтальной площадке, вычисленные на момент окончания процесса установления, сравнивались с найденными Рейесом и Бейкером (рис. 7,15). В данном случае внутренние напряжения в той части области, которая пе была подвергнута дискретному представленню, вычислялись в отдельных внутренних точках, нс связанных ни с однов из внутренних ячеек. 11 яртоекэ к. е хп. для бесконечных областей.
Выемка кругового поперечного сечения исследовалась Рейесом [22[ и позже Бейкером и др. [23) с пспользованиеи линейных перемещений соответственно для треугольных и простого четырехугольного конечных элементов; эти результаты сравниваются с полученными методом граничных элементов. Задача о плоском деформированном состоянии исследовалась с помощью модели Дракера — Прагера, условия текучести Марав Кулона (а' и К' описывались выражениями (7.39)) и предполо- Папе пестоеккэо ычвэькых напряжений 49,995 мчз Таина 7 323 322 ТеоРия икиаиичиисти Важно отметить, что применение двух более совершенных сеток конечных элементов 1253 узла) не должно приводить к уточнению напряжений и (рис. 7,15). Авторы соответствующих работ ие обсуждали это обстоятельство, но данное различие связано, по-видимому, с тем, что в обоих исследованиях аадавались внешние граничные условия.
В методе же граничных элементов не требуется вводить дискретное представление внешней грзнлцы, но здесь для того, чтобы изучить влияние границы на результаты решения, иа четверти круга радиуса, равного девяти радиусам выемки, было использовано дискретное представление внешней границы с помощью шести граничных элементов, что примерно соответствовало сеткам конечных элементов.
Для внешней круговой границы задавалось условие свободного перемещения, что дало результат, лучше согласующийся с данными Бейкера. Во втором варианте перемен(ения на внешней окружности полагались равиымн нулю, что дало лучшее соответствие с результатами Рейеса. Пример 7.6. Шероховатый штамп !19). В этом примере нс следуется поведение бесконечного блока квадратного поперечного сечения, сжато(о л(ежду двумя шероховатыми абсошотно жесткими штампами. Эта задача исследуется для плоского деформированного состояния, материал полагается идеально-пластическим, удовлетворяющим условию текучести Мизеса. С помощью весьма совершенной сетки, содержащей 278 тре угольных конечных элемента с линейными перемегценнями н 173 узловые точки (рис. 7.15, а), решение этой задачи было выполнено Ченом 15, 24).
Исследование методом граничных элементов было выполнено с дискретным представлением, показанным 'Л о О,О'. Опо ООО к 2 2 2 к(г' Рнс. 7.15. Распределение нормальных напряжений вдоль радиусов в горизонтальном поперечном селении. Напряжение оэ харахтернзуется следующими расчетными «рнВЫМВ2 à — д«иивчииь э амеи. гав(пваивр идр, 12звкт— м гад гр чимк эв мв«тив ПЗЬ 2 — метод ивчвих эивмэигив (Рвас 12212.
Д ви ч «и вса ри иха диан ир «тичвами са адами а рвэуиьтэтм. иа рпс. 7.15, б, причем здесь потребовалось менее одной трети данных, вводившихся при использовании конечных элементов. Процесс сжатия двумя штампами развивался путем задания перемещений плоским участком штампов, в результате была пор. раа ае ваала ге Айсаэм «с Рис, 7.16.
К задаче о шероховатом штампе: о — днскретнэапня прн расчете по методу хонечных эдементов( б — диснретизапия прн расчете по методу граничных эяемеитов 1вдохь оси снмметрян граиичяые энементы не используются). Заданы следующие разл(еры: ! = 1,27 мы, Ы! = 6, ЫД = 1. Рнс. 7.17.
Зависимость среднего давления под штампом от звданнога пере(сменив в зада (е о шероховатом штампе. Прм расчетах нспоньэованись снедуюшие значе- нии параметров: Е = 6,896 10'в Н/м, о, =- 89,7 МПа, ь = 0,33, П' .= О. строена зависимость среднего давления под штампом от заданного перемещения (рис. 7.17). Как можно видеть, имеется хорошее соответствие между результатами, полученными обоими методами, 1!" 324 Глава 7 Теория олигтитогыи г1- и1 0 пал Х,вз я и, кроме того, зтп результаты дают превышение всего на 4 "йо значения предельной нагрузки 1'ЗР'(2ао) = 2,5, найденного тео ретически. 7.5.2.
Примеры использования решения для полуплоскостн Здесь результаты некоторых приложений решений для полу- плоскости сравниваются с численными н аналитическими решевиями. известными из литературы. Фвм и р Рис. 7!В. Ляятояяыа фундамент яа уоругооиастяческо» грунте. Дясиро~ясо предстяялеияе оря испольхояаяяя метода граяияяых ялеыеятоя, Пример 7.7. Ленточный фундамент [161.
В этом примере исследуется плоское деформированное состояние гибкого ленточного фувда лепта прн равномерном нагружении. Для конечных размеров пласта грунта использовалось дискретное представление, полностью реализующее достоинства как условий симметрии, так и свободной от нагрузок поверхности; прн этом дискретизация осуществлялась с помощью 14 граничных элементов и 42 внутренних точек (рнс. 738). Грунт рассматривался как идеально-пластический материал, подчиияющийсн условию Мора — Кулона и характеризующийся следующими параметрамн: Е = 2,069 1О" Н)мх, с' = 68,95 кПа, о — — 0,3, ф' = 30'. Другое решение было получено с помо1цыо условия текучссти 7!ракера — Прагера, описываемого выражениями (7.37) и (7.39). На рис.
7,19 показаны перемещения поверхности грунта. Там же представлено решение методом конечных элементов прн условии текучести Мора Кулона, полученное Зппкевнчем и др. 1251 с использованием квадратичных изопараметрическнх элементов со 121 узловой точкой. Предельные нагрузки, найденные методамн граничных и конечных элементов прп условии текучести Мора †Куло, равны соответственно р1с' — — !4,9 и Р)с' =— =- 15,1, что хорошо согласуется с решением Прандтля (см, работу Чена (5), где было получено значение р,'с' =- 14,8). Что Ю 0,5В ал в,н Ниим Рис.
7.19. Зависимости яя. грухки от перемещения для задачи о леятояяоы фуядя. менте. Солоюяяя кривая подучояа методом конечных олеыеятоа (условие Мора — Е-=' Кулояя), иприхоя໠— по Г методу граничных ялеыеятов (условие Дрякери — Прагера), кружки соответствуют (условия Мора — Кг:ижх) Я ~ф Ряс. 7.20. Распроотраяояие пластической оплясгя с ро- Б!)й стон нагрузки (условие текучести мора †>лона). рге'-ив ю и.." ы,г ы,в же касаетси ус.човия текучести Дракера — Пратера, то можно видеть, что, хотя при этом перемещения имели большее по величине значение, максимальная нагрузка незначительно отличалась ог упоминавшихся выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
