Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 54
Текст из файла (страница 54)
8.2. Определяющие уравнения в скоростях Далее ограничимся решением задач пачзучести плп упруговязкопластичности в виде, описанном Перциной (1). Следует отметить, что теч же способом можно рассмотреть случаи с неустановившимнся или установившимися температуриычн дефор.
мациями путем решения задач комбинированным методом граничных элементов, следуя описанной в гл. 4 процедуре, при рассмотрешщ той части задачи, которая учитывает температурные явления. В соответствии с изложенным в равд. 6.2 статическое условие текучести при изотропном упрочнении имеет след>ющий общий вид: Р(оц, и) О, [8.1) где, как а прежде, л — параметр упрочнения, определяюппой положение поверхности текучести прн статическом нагруженнн в девятимерноч ' пространстве напряженнй Это условие лучше поддаетсл анализу, будучи представленныч в форме 1'(ац) = ф (й), (8. 2) где г" = 1 — Нц а если вводятся гипотезы, связанные с работой упрочнения, то параметр й определяетсл выраженпек (7.3). Отметим, что условия (8.!) илп (8.2) не отличаются от аналогичных условий текучести для так называемой нереологической Влзкаюсччлчиогюь (8.5) теории пластичности.
Поэтому здесь также можно использовать различные выражения для Р, введенные в равд. 7.4, Сказанное делает воаможной следующую интерпретацию: обозначим, из к и прежде, через а, скалярную функцию ( [ац). Используя это обозначение, для скорости энвивалентной пластической деформации (см.
выражение (7.41)) можно написать а,е," = аце,"7 =- й. (8.3) Следуя обобщенному принципу нормальности, предложенному Перцпной 11 — 3), скорости влчкопластпческих деформаций можно представить в виде " -'( ( — ")) — '"„ (8.4) где у, Ф п обозначение ( ) имеют тот же смысл, что и в равд. 6.2. Выражение (8 4) можно далее перепвсать в форме еец —. 7(Ф ( — ))— Умножая обе части этого равенства на ац, найдем ацьец — т(Ф( — ))ац ..
[8.6) СчитаЯ 1(ац) одноРодной фУнкцней пеРвого поРЯдка (это требование удовлетворяется вследствие условия текучести) и воспользовавшись теоремой Эйлера, напишем 171 ацегц =- т(Ф( — )) г" (ац). (8.7) С учетом соотношений (8,3) выражение (8.7) можно окончательно представить в виде у(гр ( — ')), (8.8) тогда при г" > 0 получаем 1[ац[ -- ф(Ж) (1 -)- Ф '(е,'7'уй. [8.9) Сравнивая формулы (8.9) и (8.2), видим явную зависимость по.
верхности течения от скоростн эквивалентной пластической деформации и. Далее рассмотрим соотношение е„--. а /Е ~т- е„ (8,10) где Е -- модуль Юнга, е„— скорость полная деформзции. Отметим, что в однонериых задачах з„а, н е'„' — соответственно скорости действительной полной деформации, напрлжеция и пластической деформации, если ф — предел текучести при одноосном изнряженноч состоянии. г.
в Вязкэазагпичногть Уравнение поверхности течения имеет внд !'(аы\ = э(з) [1-» Ф т( " ' )~, (8,11) показывающий явную зависимость ! (пы) от скоростей возникающих деформаций и скоростей напряжений В задачах для испытывающих ползучесть материалов эквивалентный вариант выражения (8.8) принимает форму (раза 6.2) з', = Ка,(", (8.12) где К вЂ” параметр, характеризующий свойства материала, и, =- =- ! (аы) — эхвзвалеитиое напряжение Мизеса. Интересно отметить, что зависящую от времени функцию (" можиоисключнть из выражения (8.12) с помощью преобразования вида (9]: (8.1 3) а где 7 — преобрааоваииое время. При этом для выражения (8. !2) шаесм г(з',!г(7 = Ка,. (8.14) Это означает, что задачу можно решать относительно переменной 7, которая связана с истинным вреиеием ( обратным преобразованием ( = ]7(п —,'- 1)]пюччд 18.15) Другие фуикцзи упрочиеиия во времени также можно преобразовать указанным выше способом, если принять, что выражение (8.12) соответствует экспериментам, проводимым при постоянных значениях напряжения.
Тогда скорости деформации при ползучести можно записать в виде з'и = Кп,д]/дп», ]8,!6) где точкой обозначается производная по 7 при и -'- О. Это уравнение соответствует уравнению Праидтля--Рейеса н может быть представлено в форме (8.5). В обоих случаях соответствующие схоростн начальных напряжений можно найти из простых соотношений и]! = 7(Ф) 30 Йы = сыы д]/дпы. (8.17, 8.18) Здесь при использовании метода граничных элементов следует применять уравнения с иачальиычн напряжениями, поскольку они обладают тем достоинством, что позволяют учитывать с пеиьшнми изменениями сжимаемость нли иесжичаемость иеупругих деформаций в задачах с плоским деформированным илп напряженным состояниями.
Соответствующие соотношения для двумерных случаев представлены в приложении В. а]ля того чтобы применять выражения (6.134) и (6.135) при решении задач для материалов, свойства которых зависят от времени, можно воспользоваться преобразованиями, представленными в равд. 6.8. В результате получим следующие матричные уравнения: =. Ян".] М, и = Ь'и'+]((, (8.!9, 8.20) где векторы М и ](! определяются выражениями (6.141) и (6.144), матрица Я описывается выражением (7.63).
Новая матрица )г определяется соотношениями )г =- Ц вЂ” А'Я, (3 =-Я'+Е'. (8.21, 8.22) Из написанного выше видно (см. выражение (8.17)), что равенство (8.20) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно аиачеиий напряжений в заданных граничных узлах и внутренних точках, которые могут быть решены стандартными методами (при условии, что выполняется условие Липппгца [4 — 6!), в результате чего будет получено единственное решение аадачи с зависимостью от времени. Простая и эффентивная процедура решения этого матричного уравнения является предметом обсуждения в следующем рззделе.
8.3. Метод решения задач вязкопластичности )Тля решения примеров, представленных в этой главе, одношаговая процедура Эйлера применялась следующим образом ]8]: предположим, что коэффициент иагруаки Л (!) рассматривается как известная функция времени. Уравнения (8. !9) и (8.20) можно проинтегрировать по времени, что дает $' = ]ха'-!-) (() М, и =.
]Го + Х(!)Кг, (8.23, 8.24) где векторы М и йГ соответствуют упругич решениям для текущего уровня иагрузнн. При испольаоваиии шаговой по времени процедуры уравнение (8.24) решается внутри каждого шага по времени Ы =- (ачч — (а, при этом значения начальных напряжений з отдельных узлах и внутренних точках вычисляются по формуле Эйлера н;г = пг! + б!7(Ф ) й~~~ (8.25) Прп реализации этого процесса коэффициент Х (!) можно на некоторое время принять постоянной величиной, что приводит к тому, что после достаточно большого числа шагов по времени величины Ьгз", или н,~' — а," становятся во всех точках исчезающе ма,чьшн. В подобных случаях должно сработать условие стациоиарносгп и шаговая по времени процедура может остановиться. 337 Глава В Влзкаллчопиччегвь Интересно отметить, что в пропедуре интегрирования по времени не требуется вычисления неизвестных на границе.
Поэтому уравнение (8.23) следует использовать только при выводе на печать значений неизвестных на границе, соответствующих определенным моменту времени и уровню нагрузки. Успешность применения этой простой схемы с интегрированием по времени зависит от выбора длины шага по времени. Одно время считалось (9), что идеальным является применение малых шагов по времени на ранних этапах вычисления (т. с. после приложения нагрузки или ее приращения) и затем увеличение этих шагов прн достижении стационарного или установившегося состояния. Следуя примеру многих авторов !9 — 12 ), использовавших рззлнчные способы дискретного представления пространства (главным образом с помощью конечных элементов), шаг по вреценз следовало бы контролировать соотношениел1 между текущим значением и скоростью изменения некоторых переменных, с тем чтобы организовать описанное выше автоматическое увеличение шага по мере достижения асимптотцческого состояния.
Сказанное можно рассматривать как выполнение в каждом узле илн точке следующего условия: ач — Зч е з если выполняется неравенство Д(»+ ~ Ъбя (8.27) где и, и пе — зависящие от характера задачи параметры, которые выбираются путем компромисса между требованиями ограничения времени, затрачиваемого на решение задачи, и достижения определенной точности, Обычно используются значения 0,01 ~ ~ з), ~ О,! 5 и 1,2 ~ т)о ж 2.
Недостатком соотношений (8.26) и (8.27) является то, что онн не гарантируют полную сходпмость явной схемы интегрирования по времени, особенно вблизи установившегося состояния, когда аадаются большие шаги по времени. Удобные ограничения для максимального шага по времени были представлены в статье Кормиу !13! применительно к идеальным вязкоплзстпческим материалам, которые соответствуют задаче о рслаксацяи вида 1 Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
