Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Теория пластичности с учетом поперечных сдвигов существенно проще теории тонких пластин. Это связано с тем, что при учетс деформаций поперечного сдвига перемещения и углы поворотов оказываются не зависящими друг от друга, тогда как для тонких пластин это не так Впервые метод граничных элементов был применен в задачах изгиба пластин 11жесуаном и Мапти [31, которые для случая действия простых нагрузок свели исходную задачу к оигармонической граничной задаче и искали ее решение как функцию двух потенциалов. Маити и Чакрабарти 111 в 1974 г. опубликовали решение для свободно опертых многоугольных пластин.
Тогда же Нива, Кобаяси и Фукуи (51 дали решение для пластин произвольной формы. В конце 70-х гг. Лльтиеро и Оикарски (Б! опублииавалв еще одку важнучо статью об изгибе пластин, подчеркнув возможность использования отличных от функций Грнпа решений для неограниченной области. Бевин (7--91 исследовал этот вопрос и в работе (91 пришел к важному выводу, что для решения задачи можно яспользовать концепцию подобия.
Оегедин и Врикелл [101 представили интегральный метод решения задач для пластин с внутревиими углами. Важный вклад в решенае задачи изгаба пластин с помощью интегральных уравнений был сделан Штериом (111, который недавно опубликовал обзор, посвященный общей теории и ее приложениям (121. Ряд прикладных работ опубликован в трудах последней Международной конференции по методам граничных элементов — это работы, посвященные смешзиным принципам з приложении к граничным элементам ПЗ), исследованию трехслойных пластин (141, приемам исследования больших перемещений П51п задачам концентрации напряжения 1161. Разрешающие уравнения изгиба пластин в форме интегральных уравнений подробпо обсуждаются в работе (171. Изаеб алаоааа Глава 9 збо 9.2.
Разрешающие уравнения При рассмотрении изгиба пластин принимается, чта плоскость х,х, совпадает со срединной плоскостью пластины (рис, 9.1), Толщина пластины принпмается равной й. Приложенные силы хз относятся к едиилще площади срединной пап верхнасти и единице длины границы Г. На. грузки могут быть за— — — — даны как удельные силы или удельные моменты. Положительные направления удельных маменх, тов и поперечных сил Рис. 9.1.
Геометрия задачи об об изгибе х х, показаны на рис. 9.2. Удельные моменты и поперечные силы равны а~2 аез а~в ти —— ) оллхвдхв, Чл = )Г а1здхв, т„= ~ аз~хедив, -а1з — лл — ал мз е~в Ч, = ~ азздхв, еллз = т„:.— ~ алзхздхз (9.1) — ыз — Мз Если ле (л = 1, 2) — направляющие косинусы нормали относительна осей соответственна х, н х„та для удельных моментов на границе можно написать т, = и,т, + л,тгм т, = ллтлз -!- л,теи (9.2) Уравнения равновесия записываются относительно удельных моментов и удельных поперечных сил (рис. 9.2) в следующем виде: дмзл дтлз Члз Чз,з Рд О Чл Р х 1 д О л (9.9) — Ч,—,— ф — =О.
делез дим дхз дх, Естественный способ записи удельных моментов на границе са. стоит в представлении их через равнодействующие т„= и,т, + л,т, = ты (л„)' + + т,з (2лллз) + т„(л,]'1 (9. 4) з зл те = — изтл+ л~тз = — (тп — глаз) л~лв+ т~з(лл — лз). Отметим, что Ч, и Ч, в уравнениях (9.3) являются удельными папе- речными силами (рис.
9.2). Выражении (9.2) и (9,4) определяют заданные значения удельных моментов на границе (т„— изгибающий, а т, — крутящий моменты). В рассматриваемой теории пластин вертикальное перемещение, обозначаемое ш, можно выразить через повороты. Это делается в предположении, что обобщенные перемещения изменяются по толщине по линейному закону. Тогда их можно подставить в принятые в теории упругости выражения для деформаций и получить, что предположение а пренебрежнмай малости деформаций попереч. ного сдвига приводит к выражениям йл = — чйи)дх„дз = — днддхв.
(9.5) Выражения (9.5) накладывают ограничения на компоненты вектора поворота ()л и ()„которые теперь уже не являются независимыми переменными. Поэтому уравнения равновесия (нх, вообще говоря, трп — сел. формулу (9.3)) свадятси к первому уравиеиию, а два остальных тождественно удовлетворяются, если положить На границе (с нормалью п) имеется следующая нормальная составляющая удельной силы: (9.7) Ч = и,Ч, + лзЧ,. г"лаба л Оееев лгеемие 9.3.
Интегральные уравнения Лалее можно записать соотношения метода взвешенных невязак для первого из уравнений равновесия (9.3) п граничных условий, которые разделяются на существевные "о =-в, (9.8) та пол) чии следующее представление принципа вазможныл перемещений для задачи аб изгибе пластины: (т,гХ"5 -! 2тггХ(г —; — лгиУ3ь) ~Я ..".:! Ьв" дй = 55 =- ) (т„(3е'+ т,)3,' + 5)в') дГ. г. (9.13) р„— р„. (3, =- р, на участке Г, грангщы, н естественаые Ч=й т„тли т, .= т, НЗ уЧаСтКЕ Ге Граикцм. ЗДЕСЬ )1, Н )3„— тангенцпальная н нормальная компоненты вектора поворота на границе ((3, = — дв!дз, )3„.- — дцг.'дл). Применяя метод взвешен- ных невязак к первачу нз уравнений (9.3) и к граничным ус- ловиям (9.8), получилг ) (5)5, .--5)г,г-,. Ь)голд!) = — ) ((те т )В" т (те т,) ене -,- (5)— и г, — 5))пл)дГ-л ) ((Р— Рб)гпе т ()3 .— Ре)т," .
(цг — в)5) )5!Г. (9.9) г, Интегрируя это соотношение двзждь5 па частям, найдем ) (тпхг-'- 2тггХ — тмХЙ)дй - . ~ Ьв* д() = (т„р;,— т,(3;+ов*)дГ+ )'(т„й*„— т,б; — р .)дг —; * г, -- ) ))3.— К) .* --(8,--8,)К вЂ”, :( — Ф)55')дг, (9.!0) где компоненты тензаРа кРивизны Хи Равны Хи "=- — в, и. Улг = — в, г* Хге = — --".
и (9.1!) Отметим, чта выражение (9.10) является обобщенным представле- нием принципа возможной работы. Если поперечные перемеше. ния взять тзкггчгг, что граничные условия относительно переме- щений (и поворотов) будут тождественно удовлетворяться, как это алеет места в однородном случае для возможных перемещенгш, а именно рй = )3,* = в* = 0 нз участке Г5 границы, (9.12! Это соотношение часто используется прн построении моделей конечных элементов. Вновь обратимся к соотношению (9.10) и, дважды проинтегри- ровав по частялг, с учетом соотношений между напряжениями и деформациями для однородной изотропной пластины получим ггги = В (Хи .
1- «Хи), т ° =-В(Х. + 'Х) (9.14) тгл == В (1 — «) Хгл. Здесь  — Ейгг!12(1 — «') ) — жесткость пластины прн изгибе. Новой форме пространственного интеграла (9.9) соответствует соотношение ) (5) !. 5 —, 5)г. г) зз 5Ю . ', - ~ Ьв* дл) =- = — /(т„0„'+ т,Д; -1-йхв') дà — ~ (гй„Д„" -1- те(3,' + йв*) дГ+ г, г, + ~ (тере -р- те))е+ 5)*в) др + ~ (те()е+ те()а+57*в) д1', (9.16) г, г, которое является исходным при решении задач об изгибе пластин методом граничных элементов. Если для упрощения положить Г .—..
Г, — Ги та соотношение -(9.16) примет вид = — ) (т„(3„" — т,(37 — , '5)в')дГ -! ) (т„'~б+т,*р,+5)"в) дГ. (9.16) г г Таким образом, задача сведена к отысканию фундаментальнога решения для пластины. Для пластин постоянной жесткости имеем 2 З. г ! ан +Ь*= — Вугш*-5 и(Ч, Х) =-0,(9.17) где у' -- бигармонический оператор вида 94( )= — „. +2„,, + —,, (9.18) зе() у() зе() илн в полярной системе координат (осесимметричный случай) ев ~г 5 (г )~ ( (9,19) Фундаментальное решение уравнения (9.17) является реше- нием для случая действия единичной сосредоточенной нагрузки и аппсывзет соответствующее ей перелеещеняе в* = (глгйлВ) )п г. (9.20) ЗР ббее К. е ге Имиб пмгтии глава Э (9.25) — м)йГ 1- г — 'ш= сй; — ') (~ )) г )у д* г оп 1 = 9 + с(т,!я(з.
(9.22) (9.22) (9.28) Гя — -- цшя)о- — (тя)о+). (9.24) !о* Дифференцируя это выражение, можно получить векторы паваротов, удельные моменты н удельные поперечные силы, соответствующие этому фундаментальному решению. Некоторые криволвнейные интегралы в соотношении (9.9) можно преобразовать путем интегрирования по частям, с тем чтобы получить выражения относительно поперечного перемещения ш и нормальной компоненты вектора поворота ))„.
рассмотрим слагаемые, содержащие прогиб ш и компоненту 5,: ~((ш -- шя)() ь(9 — П)ш') бр =- - ((ш, — тв)ш )г, + г, чь 1 Кч.) шя ) — (д+ а' )1 и о(Г. (9.21) г, Слагаемое д - сйп,!о(з называется эффективной удельной поперечной силой. Отметим, что первое слагаемое в интеграле по и) ь1 „д участку Г, границы обусловлено разностью значении на концах этого участка границы. Эффективную поперечную силу обозначают следующим образом: Г1ри этом число рассматриваемых переменных сводится к четырем: й т„, й„и ш.
С учетом фундаментального решенвя и новых Рис. 9.3. угловая членов с граничными интегралами соогношенне (9.16) для провзвольной точки) йы к которой прикладывается нагрузка, можно запасать в виде Ьи" ЖУ вЂ” ) (т„()„' —,'- гш ) о(Г = сшг+ ~ (шй()„+ Г*ш) о(Г, (9 23) — — '.*' г г где, как н ранее, для случая гладкой границы с.= !)2, а во внутренней точке с — 1.
Это соотношение является исходами дия моделей, описывающих решение задачи об изгибе пластин методом граничных элементов. Следует отметить, что если величина т, имеет разрыв илн граница содержит угловую точку (рис. 9.3), то становится очевидной важность первого слагаемого в правой части соотношения (9.21). В угтовой точке О (рис. 9.3) в приведенном выше соютношении необходимо учесть силу с помощью вы- ражения Этн силы и их обратные величины легко учесть введением слагаемых вида Гащв н 1;ш соответственно в левую и правую части соотношении (9.23): сшы+ ) (и'()-)-Гш)о(Г -'- ~ г,'ш = ) (тй'-,-!ш') 3Г— г г .1- ) Ьш* Ю -с Км гоша, где под знаком суммирования содержится столько слагаемых, сколько имеется угловых ~очек.
Отметим, что здесь для простоты вместо 5„и тв введены соответствеяно )) и т. Теперь, как можно видеть, имеются два значения неизвестных функций в каждом узле: прогиб ш нлн эффективная удельная поперечная сила а также угол поворота 5 или удельный момент ль Г1оэтому для решения задачи пеобходзмо получать второе уравнение. Это уравнение можно получить, если написать производную соотношения (9.25) по нормали: +! — )Пà — ')Ь д с(Г)+Ъ 1, д . (925) Кроме того, для некоторых задач с угловыми точкамя моменты па границе мокнут иметь разрывы в тогда потребуется дополнительное уравнение, которое эквивалентно дополнительному уравнению, упоминавшемуся в гл. 5 применательво к стагическим задачам теорви упругости. Другой путь состоит в использовании двойного узла или несогласуюшихся элементов для угловых точек.
Интересующихся этой проблемой отсылаем к работе 112), где содержится деталькое обсуждение вопроса. Г!рнведсиаую выше формулировку можно легко распространить ва случай пластин иа упругом основания типз Винклера, представляющем собой набор пружин. Влияние этих пружин можно учесть с помощью уравнения равновесия дь, — ая. я + Ь = — В уяш '; Ь = йш, гае Ь коэффициент постели (упругой силь| пружин, отнесенной к единице поверхности). Тогда учет влияния упругого основания приводит к появлению в левой части соотношения (9.25) еще одного интегрального слагаемого 355 357 Наиболее изящный путь решения задачи состоит в отыскании фундаментального решения, которое сведет исходную задачу только к решению граничной задачи, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
