Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Наиболее интересным в работе Альтиеро и Сикарски [61 является то, что они»казали на возможность использования функций Грина, построенных не только для бесконечных областей. [О.!. Введение Вопросы распространения волн представляют интерес для целого ряда инженерных дисциплин. Например, прн конструировании антенн важно уметь рассчитывать угловое распределение излучаеетых электромагнитных волн. При исследовании землетрясений весьма существенным является характер распространения упругих волн. Г[роблемы распространения и затухания волн в воде широко исследуются в механике жидкости, что связано с проектированием портов, волнорезов, прибрежных сооружений н т.
п. В данной главе рассматриваются решения в виде граничных интегралов для нестационарного скалярного волнового уравнения ри(х, Π— — „„,' =О дта (х, У! ао ([ОЗ) с заданными граничными и начальныети условиями. Коэффициент с называется скоростью распространения волны, Прошло много времени с тех пор, как эта задача была представлена в виде интегрального уравнения относительно неизвестной потенциальной функции и П вЂ” 41.
Для трехмерных задач оно было получено еще Кнрхгофом [61. Применительно к методу граничных элементов численная процедура решения этого интегрального ураннения описана в работах Фртгдмана и Шо> [61, Шоу [71, Гроненбума [8, 91 и Мансура и Бреббия [[О, ! [!. Для гармонических волн (т. е. для случая, когда изменение во времени описывается функцией вида ехр ( — тщ!)) эта задача сводится к решению уравнения Гельмгольца Чгеи (х) + мтя (х) = О, (!0.2) где н =- щ[с — волновое число, щ — частота колебаний.
Уравнение (!0.2) является разрешающим уравнением для задач о распространении [!), и наиболее удачно оно применяется в случае рассеяния илн излучения акустических волн на жесткпх препятствиях [[2, !31. Здесь ограничимся обсуждением гармонических задач для волн на воде, предполагая, что беявихревое движение невязкой несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа.
Однако частный случай этой задачи, который обсуждается 555 Задами а роепреетрокеапи сые Г !б в равд. 10.5, сводится к двумерному уравнению Гельмгольца, что указывает на полную аналогию с задачей об акустических волнах. 10.2. Трехыерные задачи распространения воли на воде В этом разделе подробно обсуждается задача о взаимодействии волны с трехмерным телом произвольной формы.
Рассвгатривается линейная задача дифракции, которая возникает, если амплнтула волны достаточно мала, "г что позволяет использовать линейную волновую теорию !14, 15). При этом задача сводится к определению потенциала скоростей и, который в области, х занимаемой жидкостью, лолжен удовлетворять трав внению Лапласа Ьатравеееее гртетоатеке уи = О (103) ди/дх, = 0 при х, = — д, дигдп —. 0 на поверхности тела Г, (! 0.6) (10.7) где я — постоянная гравитация, 41 — подъем свободной поверхности, и — внешняя (по отношению к жидкости) нормаль к поверхности тела.
Соотношения (10.4) я (!0.5) получаются из линеариаованных кинематических и динамических граничных условий для свободных от усилий поверхностей; соотношения (10.6) и (10.7) соответствуют кинематическим граничным условиям соответственно на дне и на поверхности тела. В общем случае потенциал скорости и равен сумме потенциалов набегающей и, и рассеянной ив волн; (10.6) и =:- и, -г- и,. Ряс. Ю.! К авдвте одвфракпвв вола аа аб.
совктгго жестком препатетввя. и граничным условиям вида (рис. 10.1): деи, дп — +д —,=О аг ат,= при х, —.— О, (10.4) т! ~ аг ) — о' (10.51 Для того чтобы обеспечить корректное поведение функции и, в достаточно удаленной области, введем условие излучения Зом- мерфельла Пб): (1 0.9) и (х, !) = !те !и (х) в '"' ), (10,!2) где и' — а обгцем случае комплексная функция, и' =- иг иг и,'. Лэмб П ! с помощью теоремы Грина показал, что потенциал скорости при обтекании тела можно представить в виде непрерывно распределенных по смоченной поверхности тела сосредоточенных волновых источников.
Тогда потенциал в произвольной точке потока можно представить в виде (10,(з) Это выражение является исходным для непрямого метода граничных элементов (см. выражение (2.51), равд. 2.3). Для того чтобы определить неизвестную плотность распределения источников. следует продифференцировать выражение (10.13) по внешней нормали к границе Г в точке х, лежащей на границе Г, что 1гпг г'м (ди,!дг — иеи,! —. О, где г — радиальная координата. представление потенциала скорости в виде (10.6), где выделяются компоненты невозмущенной набегающей волны и рассеиваемой волны, является основным в теории дифракции.
Потенциал набегающей волны удовлетворяет уравнению (!0.3) н условиям (10.4) — (10.6) и в комплексной форме имеет вид и, = — — ' е'<"* — ''г гкИ еь !м(ха+К)1 2м еь мк (РОДО) где П вЂ” высо~а волны, ы =- йп!Т вЂ” угловая частота волны, к == 2п'!., !. — длина волны, Т вЂ” ее период. Поскольку все уравнения задачи линейные, го потенциал и, также удовлетворяет уравнению (10.3) н условиям (10.4) — (10.6), а также условию излучения (10.9). На поверхности тела Г можно написать граничное условие ди,!дп = — дидди, (10.11) связывающее функции и, и и,. Уравнение (10.3), условия (10.4)— (10.6), записанные для функции и„вместе с условиями (10.9) и (10.11) составляют задачу для функции и,.
Поскольку рассматривается гармоническое во времени течение жидкости, зависимость от времени выражается явно и потенциал скорости примет вид заг Задачи а рааараетраиеиии «ахи Гмии !д дает следующее граничное интегральное уравнение (ср. с выражением (2.52); см. также работу [17]): г Решив это уравнение и найдя функцию, описывающую плотность распределения источников, значения функции я,' в произвольной точке на границе или в области, занимаемой жидкостью, можно вычнслить путем непосредственного интегрирования выражения (!О.!3). С другой стороны, при решении задач для потенциала скорости рассеивания и, можно также использовать прямой метод граничных элементов.
В этом случае граничное интегральное уравнение принимает вид с(з)п,'(з) = — ] ~[и,'(х)", ~~„' ) +и !а, х) — „' „1«!Г(х). (10.15) г Зто уравнение аналогично уравнению (2.69); решив его, получаем значения неизвестной функции и,' на границе Г Хотя прн решение задачи можно использовать фундаментальное решение вида и' = — !.')7, это требует дискретного представления не только поверхности 1', но также дна и свободной поверхности воды. Кроме того. требуется ввести боковые границы иа конечном расстоянии, где можно было бы задать условие излучения.
В наиболее широко применяемых численных методах решения задачи, описанных в работах [15, 18 — 22], используется фундаментальное решение (или функция Грина) и«, которая удовлетворяет всем граничным условиям (10.4) †(!0.6), (10.9), за исключением кинематического условна (10.7) на поверхности тела. Короче говоря, применяется функция и* вида и« = 1Я + и*, (10.16) где )7 — расстояние от точки 5 до точки х, й» вЂ” регулярная функция, удовлетворяющая уравнению 9»й» =- О в области, занимаемой жидкостью (раза. 2.1!).
Частное выражение для фуикпии и«, удовлетворяющее поставленной граничной задаче, было предпожено в работе Джона [23] и имеет вид ! 1 2 [(р+ч)ехр( — рд)ск!р(х»(х)+ф]еь!р(х»(1) — дц 8 Г1+ 1 р»Л (рд) — ч еп (рд) о х Зо(рг)о(р — (С,сЬ[н(хз(х)+ 8)]сЬ[н(хз(з)-; б)! Зо (нг), (1О 17) где /о — функция Бесселя нулевого порядка, Й" [[хг(») — х»(х)]х [ [х»(») — х»(х)] [ ~, )7' =- [[х» (5) — хг (х)]з -! [хз !5) — х» (х)1 [- [х» ($) + 28 г х» (х)1-"," з, г.= [[х,(5) — х,(х)]з — [х, Д) — х,(х)]'[цх, м = н1Л нч( = Яз/и, Со — З, (" В формуле (10.17) следует брать главное значение интеграла. Иное выражение для и* (в форме ряда) приведено в работе [23! и —" 1С« сЬ [н [хо(х) ' и][ сЬ [н [хо(з) + и][ Но (нг) ' [ -[- 4 ~', С„,поз[!«м[хз(х),— г(][сов[!». [Хо($) , 'е(]А»(р~г), (1О.!8) м ! где К, — модифицированная функпия Бесселя нулевого порядка, Н„"' — функция Ганкеля нулево~о порядка.
коэффипиенты С (им+ чз) Ы--ч Здесь р — действительные положительные корни уравнения р„[Ьр д + з = О. (10.19) Производную ди»!дп можно представить в виде ди* ди* дй ди* — = — и»+ — и, — — и„ (10.20) да дх, » ' дх»» дх» где величины диегдхч определяются путем непосредственного дифференцирования функпин и', л, — направляющие косннусы нормали и к поверхности Г.
Численные процедуры для нахождения интегралов по каждому граничному элементу обсуждаются в ряде статей [15, 18 — 22]. Как правило, там применялись постоянные четырехугольные граничные элементы. В качестве критерия прн выборе формы (10.17) нли (!0,18) фундаментального решения Гаррисон н Чоу [18) предложили следующее: при нг )0,1 достаточно быстро сходится решение в виде ряда, а при нг < 0,1 более удобна ин- тегральная форма. Прежде чем аакончнть этот раздел, следует указать на затруд- нение, которое иногда возникает при использовании подходов с янтегральными уравнениями. Оно состоит в том, что процедура счета становится неустойчивой прн определенных «нерегулярнык» волновых частотах [23], которые обычно соответствуют длинам волн порядка ила несколько меньших характерного размера тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
