Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Найденные по линейной теории горизонтальная и вертикальная силы, действующие на цилиндр, равны между собой для всех значений параметров ха н хй. Был выбран параметр ха =- 2 и, как можно видеть, предельное значение параметра хй, при котором цилиндр касается уровня спокойной воды, равно хй = ха = '2. Как отмечалось в работе Огнлви 1331, для того чтобы можно было применять лппейную теорию, расстояние между верхней частью цилиндра и уровнем спокойной воды должно превосходить амплитуду волны. На рпс. 10.10 приведены результаты для с['а =- 4. Поскольку хс1 )л, влияние дна па набегающую волну пренебрежимо мало.
Оба решения по существу совпадают при хй < б, Когда цилиндр располагается на дне, оно будет оказывать некоторое влияние на 10 т 2 ь е е «0 2 ь г е 10 т е е 10 е «а Рпс. НДП. Привсдегшяя ывксиыельнвя горизонтальная сила. Сплошные кривые соответствуют конечнкы глтбннвм, штрвховая — результвтеы работы Огплвн [331 при Ага оо. Ьв~й' т ' Е 410' 2 ь ЕЕ10' «а Рнс. 10.12. Приведенная мвиспмвльнея вертикальная сала Сплошкыс кривые соответствуют конечным глубинам, штриховая — результатам работы Огилвн 133] при жо оа, 377 Задам«о уавоуовтуалвчлм волл 373 Г.«алл !О результаты. Однако в данном частном случае амплитуды изменения скл становятся столь малыми, что различие двух решений неразличимо на графике.
Для того чтобы проиллюстрировать влияние дна, представлены результаты нз рис. !0.11 и 10.12 для й'а = 1,25 н «[1а = 2,5 и 4. Отметим, что при «[1а — оо горизонтальная н вертикальная силы не равны, хотя имеют сходный характер изменения. 10.5. Вертикально расположенные цилиндры произвольного поперечного сечения Этот случай сводится к задаче о резонансном волнении в гаванн проязвольиой формы. Волнение в гавани возникает прн заходе в гавань волн из открытого моря. Эти волны, попадая внугрь гаванн, могут резко усиливаться.
если их частоты совпадают с частотамн собственных колсбаяий (явление резонанса), характерных для гаванн. Данный случай является гораздо более простым для исследования, чем трехмерная задача общего вида, поскольку интегральное уравнение трехмерной задачи, содержащее поверхностный интеграл. сводится в данном случае к криволинейному интегралу по границе тела илн нескольких тел в горизонтальной плоскости. Разрешающее уравнение Лапласа исходной трехмерной задачи сводится к двумерному уравнению Гельмгольца, Соответствующее фундаментальное решение, которое удовлетворяло бы как уравнению Гельмгольца, так н условию излучения (!0.25), имеет весьма простой внд и может быть найдено бсз труда.
Как уже отмечалось в равд. !0.1, эта задача математически эквивалентна задаче рассеянна н излучения акустических волн. В связи с этим укажем, что псрвыкн граничное интегральное уравцение для решения уравнения Гельмгольца получнлн Банах и Голдсмит [!2). Применительно ь акустическим волнам это было сделано Шоу ИЗ1, Хванг и Тук [341 и Лн [351 рассчотрелн резонанс в заливе, Исааксон 136), Хармс [371, Ау и Бреббия [381 нсподьзовалв подобные уравнения прн исследовании днфракцнн волн на воЛе. Сведение исходной чадачн к уравнению Гельмгольца при исследовании волн на воде связано с методом рачдеаення переменных, при которон потенциал рассеяния и, связан определенным образом с функциями гиперболического косинуса от значения глубины (см. выражение (!0.12)): (х 1) к со [и(~в+~)! и (х> х ) е — ««1!0 28) зм сыск Эта функция удовлетворяет условиям на дне и линеаризоваяным условиям для свободной поверхности.
Подставляя выражение обсуждалось рядом авторов (см., например, работы 1! 2, 34, 38 1), которые привели выражения для аналитического и численного вычисления интегралов по каждому граничному элементу, «1! х Рлс. 10 !3 Глаце«рол о доецрчтизлцзч для зер тлцзльлого ццлцздрз зллццточвсцого попереч наго свчецзя, Параметры задачи, и †: вб Ь1а 013 ока=- 1. Распр остр аненн е опксанной в этом разделе формулировки на случай залива, состоящего из нескольких соединяющихся бассейнов, каждый нз которых имеет свою постоянную глубину, было выполнено Ли и Райхленом [39], Маттнолн [401 н Рахманом [411, использовавшими метод разбиения на подобласти, описанный в равд.
2.8. Задачи для гаваней переменной глубины исследовались путем комбинирования метода граничных элементов с другимн численнымн подходами в работах [42 — 44). Комбинация метода граничных элементов с методом конечных элементов подробно рассматривается в гл. !3. (10.28) в уравнение Лапласа, получим для функции и, уравнение вида ч«ли,' + нзи,' = О. (10.29) Преобразование этого уравнения в граничное интегральное уравнение уже выполнялось в гл. 3 (см. пример 3.4) с помощью метода взвешенных навязок.
Выполнив аналогичные расчеты, получим с(б)и,'(е) = — 11 [и,'(х) — ' —,' и*я, х) — „«с[Г(х), (10 30) г гле фундаментальное решение и" берется в форме и = — Ноя (нг), (Ю.З! ) а потенциал набегающей волны (см. выражение (10.10)) имеет внд и,'= е'" (10.32) Отметим, что если набегающая волна косая н ее направление составляет угол а с осью хы то потенциал набегающей волны можно записать следующим образом [15, 38): и« =- ехр [1н (х«соя и — хз шп а)1. (!0,33) В заключение отметим, что интегральная форма (10.30) уравнения Гельмгольца является известным уравнением Вебера [31.
Численное решение ура. внения (10.30) подробно ьзбе«змызв зв""з 379 Задами о распространении волн Глава 1д взятом из работы Ау и Бребьный цилиндр эллиптического Аналитическое решение этой задачи было получено Годой и Иопптмурой 1451, которые решали уравнение Гельмгольпа методом разделения переменных. Ретпение методом граничных элементов [381 было получено с использованиеч 32 постоянных или 16 квадратичных элементов, прячем вблизи большей оси эллипса использовались меньшие по разчеру элементы (рис. 10.13), с тем чтобы учесть влияние более быстрого изменения угла наклона касательной в этой области.
Были получены значения сил для двух различ. Пример 10.4. В этом причере, бия !381, рассматривается вертикал поперечного сечения (рис. 10.13). „. ОД й. О,б -,Ю то атм Гаса Н , с,внтоа тебт у О 1, б а >О Рпс, 10.14. Сила У„, действующая па аллпптнмесппй клплаь".р прп а = 30'. .-- О.еес а .. ° ных углов набегания волны а, равных 30' и 60'. Результаты решения представлены ,.51-.. ! на рис. !О.!4 и 10.15, причем было достигнуто хорошее соответствие с результатами работы [451. 10.6. Скалярное волновое уравнение для неустаиовившегося утл состояния О 1 б е 'О Г1риступич теперь к изу- чению грилеенения метода Рпю юлб. сота р„, лей«твубопаа ба вв граничных интегральных лпптпчесппй цилиндр прп а =- ОО' уравнений к случаю, опи- сывающему неустановввшееся состояние, скалярного волнового уравнения уаи(х, !) — —,,' =О, х С 11, 1 д'и (х, 0 с граничными условиями вида и (х, !) = и (х, !), х с Гь д (х, 1) = [ди (х, !) дп (х)1 = е) (х, 1), х ! Га, (! 0.35) и начальнымн условиями типа и (х' !) ив (х !0) х Е (), ди (л, !)'д! = 1ди (х, 1)'д!1„х Е П.
(10.36) Как и в случае уравнения диффузии (гл. 4), задача с уравнением (10.34). граничными н начальными условиялти (10.35), (10.36) может быть представлена в виде интегрального уравнения относительно неизвестной функпии и. Хотя для подобного представления можно воспользоваться формулировками (см. гл. 11 н работу [46)), в которых применяется преобразование Лапласа (равд. 4.2), здесь будут рассматриваться формулировки, которые включают в себя зависящие от времена фундаментальные решения.
Начнем с записи следующего соотношения, вытекающего из применения к задаче метода взвешенных невязок: е» ~ ~ ~р'и(х, !) — — ', 'и(;, ') '1 '(6, х, 1,, !)ди[х)д! = и ! [4(х, !) — 6(х, 1))ие(й, х, рю !)е(Г(х) е(5— — ~ ) [и(х, !) —.и(х, !)[да(6, х, 1, !)5(Г(х)е(1, (10.37) где де (О, х, !», !) = ди* ($, х, 1», 1)удп (х). Интегрируя дважды по частям оператор Лапласа по пространственным координатам и дважды дифференцируя по времени, получим ! ~Ч'и*5, л, !», 1) — —, ' .,' "' [и(х, !)5(1)(х)д( г деи 11, х, 1», 1) 1 и (хй х, !» !) 1 е([) ! 1 '! ди*(К." 1». ") ди(х, О „) и е=1. =- — 3 1 д (х, !) и* (О, х, 1„ !) дГ (.к) д! + т.
г т» + ~ )ги(х, !)де(О, х, !», !)с[Г[х) дй (!038) е. г дида«и о риеироеисранении волн Глава гд 881 888 Фундаментальное решение ив удовлетворяет уравнению для*(4, х, С , С) Ъ ьи(х. х, гр !) —; дгс --. Л(е». х)Л(11-. !), 110.39) а также условию и" Я, х, !р, 0=0 при с((р — 11((х — ей ПОАО) Для того чтобы процесс численного интегрирования ие оканчивался в точке, в которой дельта-функция Дирака имеет особенность, к верхнему пределу интегралов можно прибавить произвольную малую величину е. Таким образом получаем, что второй интеграл в левой части уравнения (10.38) тождественно равен нулю прн значениях, соответствующих верхнему пределу в силу условия (!0.40).
Рассмотрев предел при е О, с учетом условия (10.39) получим следующее уравнение (4, 10): ср и(4, Г ) —, [ ~ и(х, Г) 4',(4, х, Гю Г) дГ (х)д( =— г,г — — [ ) д(х, Г) ив(4, х, Гр, 1) дГ(х)д(— с,г — и*(~, х, Гр, г,) ~ д(1(х), (10.41) которое, если взять точку $ на границе, дает следующее граничное интегральное уравнение: Р(4)и(Ч, Г„) —, [ ~и(х, 1)д»(4, х, Г, Г) дГ (х)д! = с, г =. )г )г (г(х, !) и»(4, х, Гр, г]дгГ (л)д( — —, [[ив(х, гв) х г,г и Х' [ М 1 1 дс )с и*(», х Гг 1))д()(х), (10.42) где интегралы берутся в смысле главного значения.
Следует отметить аналогию между этим уравнением и грашгчным интегральныч уравнением (4.34) для задач диффузии. 10.7. Трехмерные задачи. Запаздывающий потенциал Здесь рассматривается фундаментальное взапаздывающее» решение волнового трехмерного уравнения.
Поскольку скорость распространения волны конечна (и равна скорости звука или света), взаимное влияние полей двух точек пространства не будет мгновенным. Время запаздывания зависит от расстояния между точкой, в которой помещен источник, и точкой наблюдения. Зто фундаментальное решение имеет вид (4, 47) и* = Л (й гя)г(4пг), ()ОАЗ) где г — расстояние между точками ч и х, величина Г = 1 — г,'с характеризует запаздывание. Нормальная производная функции и" на границе Г равна (8, 91 4* '" - ' ~ '' и) ' 'гв)1п (1ОА4) ди 4яг [ е е дг 1 где и, =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
