Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 62
Текст из файла (страница 62)
дИдп. Интегрирование по времени в уравнении (1ОА2) можно выполнить аналитически следующим образом: ср ср ~ д(х, Пи»(8, х, (р, !) 81 = — ( 4(х, 1) Л(Г, Ги)д! = — 4(х, !и), 1 (! ОА5) ср ) и (х, 1) Ч' ($, х, Гр, 1) д(=- — 4 [ — ) и (х, !) Л (1 (л) д(— с. ср — — )е и(х, !) дг =- — — 'с — и(х, Ги) + р) дС ) чяе(» -+ — ' "( ' ) ] ~. (10.461 В последнем соотношении интеграл брался по частям. Подставляя соотношения (10.45) и (!ОА6) в уравнение (!0.42), получаем граничное интегральное уравнение для трехмерного случая 1 1 Г1 с(ч) и($, гр) = — ( — ~д (х, Г„)+ п, [ — и(х, 1,) + 1 + — '['"' " ~ '.~дг(.)+ — '[!Л',—, — '(ГМ,)[, ((ОА7) с=си П где Мо и Л', — средние значения соответственно и, и (дигдг 1, на сферической поверхности с центром в точке $ и с переменным радиусом сг 110).
'р(ожно видеть, что коэффициент с (ч) имеет то же значение, что н в сл>чае уравнения Лапласа 18, 9). Уравнение Задачи а р гаришранаиии вони ЗЗЗ Глана га 382 10.8. Двумерные задачи (10.47) можно рассматривать как одно пэ представлений хорошо известно~о интегрального уравнения Кирхгофа (1 — 5).
Процедуры, необходимые для численного решения этого уравнения, подробно обсуждаются в книгах !8, 9). Характерной особенностью исследования трехмерного случая является то, что здесь не требуется интегрирования по времени в отличие от двумерного случаи, который обсуждается в следующем разделе. ге~ вере мав время Рва. 10.18. Прввнвденныи ногевпнвн а точечного игточнииа, помешечного в вшви в форме пврадаевеанаене. Пример 10.5. Гррненбум опубликовал 18! некоторые предварительныс результаты по созданию вычислительной программы, основанной на описанных здесь методах. В качестве специального примера для трехмерного случая было рассмотрено распространение волн от точечного источника, помещенного в ящик в форме параллелепипеда.
Эта задача была ныбраиа потому, что здесь можно получить аналитическое решение, используя метод отображений. Размеры ящика составляли 3 х 4 х 5 (в безразмерных единицах), а его понерхность была разбита на 376 постоянных прямоугольных граничных элементов1 размером 0,5 х 0,5, В качестве функции источника брался набор коротких импульсов с гауссовским распределением Поскольку в уравнении (10.4?) потенциал и выражается через значения величин, найденных на предыдущем шаге по времени, при числевиом решении применялась шаговая по времени процедура. На рнс. 10.16 представлены результаты решения для граничной точки, соответствующие двум шагам по времени (шаг Ы брался равным 0,5 и 2), и дано сопоставление с точным решением.
При болыпем шаге по времени решение для потенциала было не очень точным для столь быстро изменяющегося процесса, поэтому имеются небольшие расхождения с точным решением. Для М = =- 0,5 приближенное решение довольно хорошо описывает картину второго и третьего отражения волны, но затем процесс численного решения становится неустойчивым. Грененбум !8 ! делает вывод, что для столь грубой сетки полученные результаты являются ободряющими. Фундаввентальиое решение двумерного скзлярного яолиового уравнения для нестацпонарных процессов имеет внд (4, 4? ! и* = в,, Н !р (Ги — !) — г), (10.48) 2в [ае (Г . — 1)а — гн! ПВ где Н вЂ” функция Хевисайда.
Нормальная производная функции и' на границе Г равна (9, 10! аи* вг 4*= — =',, „, Н1 (Гн....ф !— аи ~ 2п(ав(г г)а,д)вга — е вав Ь(р((г.- !) г)~пе 110.49) 2п Гае (Г - Г)е .е)врв Поскольку фундаментальное решение для двумерной задачи выражается через функцию Хевисайда (ступенчатую функцию), а не через дельта-функцию, как это имеет место в трехмерной задаче, влияние функции источника, помещенного в точке х, на потенциал в точке (5; 1„) уже не ограничивается временем запаздывания, и интегрирование следует проводить от начального момента времени !о до текущего момента времени !и. Поэтому при численном решении соответствующего граничного интегрального уравнения следует использовать шаговые по времени схемы решения, описанные в гл.
4. Подынтегральные функции в уравнении (10.42) имеют два типа сингулярностей. Первый тип появляется в пространственных интегралах при г = 0 плн в граничных инвегралах, когда и г, и с (гн — г) одновременно обращаются в нуль. Второй тип сингулярности появляется в точках, располагающихся на фронте волны, представляемой фундаментальным решением, т. е. в граничных интегралах при г = р (1и — г) или в интегралах по области при г =- сг . Несмотря на присутствие этих сингулярностей, численное решение уравнения (10.42) не сопровождается какими. либо особыми трудностями ПО), и некоторые результаты, полученные с почощью подобной формулировки, уже были представлены Мансуром и Бреббия (П !.
Глава [) Колебания 11.1. Введение В то время как в ряде инженерных наук метод граничных элементов быстро завоевывал позиции, исследованию этим методом динамических задач теории упругости было посвящено лишь несколько статей. Впервые формулировка и решение динамической задачи теории упругости для неустановившегося процесса с помощью метода граничных элементов и преобразования Лапласа были представлены в работах Крузе и Риццо [4), а также Крузе [5), в которых была решена задача о распространении волн в полуплоскости. В качестве приложения была рассмотрена задача о распространении одиночной антиплоской волны. В 1978 г. Коле и др.
[6) сформулировали задачу, записав граничные интегральные уравнения для трехмерного пространства и времени и решая их с помощью шаговой по времени численной процедуры. Манолис и Веское [7) использовали решение Крузе при рассмотрении задачи о концентрации установившихся динамических напряжений, используя модифицированную схему обратного преобразования Лапласа.
Одной из главных проблем в подобном подходе является способ численного обратного преобразования Лапласа, хотя ряд соображений по этому поводу приводится в работе [8). Динамическая жесткость фундаментов, лежащих на полупространстве прн установившемся движении, недавно исследовалась в работах Домингеца и др. [9, 10). В самое последнее время было опубликовано несколько серьезных исследований динамических задач теории упругости, в том числе работы Хатчинсона [11), Нива и др. [12], Нардини [26), где методом граничных элементов находились собственные значения и собственные векторы.
11.2. Разрешающие уравнения Представленные здесь уравнения соответствуют теории малых перемещений для однородных изотропных материалов с линейно- упругим поведением. Кроме того, здесь используются те же, что и в гл. 5, предложения о регулярности на бесконечности. Здесь рассматривается область Я с границей Г (рис. 1!.1). Введем следующие обозначения для компонент перемещения точки х с координатами х;: и; (х, 1). (11. Ц Заь Конебання При указанных предположениях уравнение движения в пере- мещениях можно записать в виде П вЂ” 3) (С[ — Сз) ип ц+ Сазе, и+ Ь)!р = йи (11.2) где, как и прежде, запятые обозначают пространственные произ- водные, а точки — производные по времени. Скорости распростра- нения продольных волн (воли сжатия) и поперечных (сдвнговых) волн соответственно равны г С, = у'()е-[-2р,)/р, Сн = 1/р!р, й (11.3) где Х и и — постоянные Ламэ: Л = Етl [(1 + т) (1 — 2р) ), я и = б = Е/ [2 (1 -[- т) ), (11.4) р — плотность материала.
Деформации равны х1 вр =* — (и~ + и ) (11.5) (11.8) поведение материала описывается законом Гука он = 2рзц+ )ез„нбц. (11.6) Основными граничными и начальными условиями, которые должны удовлетворяться при решении динамических вадач теории упругости, являются: начальные условия — при 1 = 1, в области 11 -[- Г: и;(х, 1) = и";(х), й~(х, 1) = о~~(х), (11.7) где и) (х) и оер (х) — заданные функции; граничные условия для перемещений — при ! ) 1б на участке Г| границы Г: и;(х, 1) = й~ (х, 1); граничные условия для напряжений — при ! > 1б на участке Г, границы Г: р~(х, 1) = онпз — — р,(х, 1), (1 1.9) где черточкой обозначены заданные величины; Г = Г, -[- Г,.
гя Компоненты внутренних напряжений и напряжений на границе можно представить как функции перемещений: оц = р, (ипе+ иве)+),ин,ьбц. (11.10) Р; = )е(ди;/дп )-из,п!) -[ )илгпп (11.!1) где и, — направляющие косинусы внешней нормали к границе (рис. 11.1). 13 Вреббнн К. н Нр. Гяаяа ~ дояебаааа [2(Р)' — (г/Ся)Р]0(Г, г/С,) ) г,рг,! гр [(Г)2 ( /С )2]п2 (11.19) 1ЗР В отсутствие объемных сил уравнение (11.2) можно записать [3] в следующем виде: '[г е= (1/С1) е, (11.12) 7 га = (1/Се) гзр (11.13) где е — объемное расширение (е =- з„ь), е — вектор вращения, который связан с тензором вращения (см. выражения (5.25)) соотношениями ыг = гаазр газ = гз31р ыз = гз12 (1! .14) Из уравнений (11.12) и (11.13) следует, что скорость С, соответствует волнам сжатия или Р-волнам, а скорость С, соответствует поперечным или сдвиговым волнам, называемым также Я-волнами.
Процесс распространения этих волн представляет собой довольно сложное явление. Кроме того, когда распространяющиеся волны встречают разрывы в характеристиках среды, то возникают отражения, преломления, дифракции, поэтому результирующее волновое движение является суммой всех компонент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
