Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 66
Текст из файла (страница 66)
12.4) исследовалась экспериментально в рабате Марино [7], в работе [2] были приведены результаты численного исследования с помощью метода граничных элементов, дискретное представление для которого покаудвсн. 1 вано на рис. 12.4. Г!оверх« ность дна, а также левая НН[НН "' и правая поверхности модели являются воданепроницаемыми, т.
е. на этих р поверхностях с/ = О. В начальный момент времени жидкость была неподвижыв,в сн ной и имела плоскую свободную поверхность. В мо"пс. 1т.4. Схема модели Хсле — Шоу и дпс- мент времени 1 = 0 на расположенном на левом кретпое предстанлеппе с папашью граничных краю участке длиной 23,8 см задается равномерная скорость, равная 0,056 см/с. Весовой коэффициент 8 в уравнении (б) считался равным 0,7. Результаты численного исследования конфигурации свободной поверхности в различные моменты времени представлены на рис. 12.5.
Шаг по времени брался равным Л/ = 0,5 (эта величина й го % 1В бо ш 10 о го со во х, си Рпс. 12.5, Форма сеободпой поверхности а различные моменты аремепп. была безразмерной, поскольку и все остальные переменные при решении считались безразмерными; подробности можно найти' в работе [2]). На этом же рисунке приведены результаты, полученные Ньюменом и др. [8] методом конечных элементов. Имеется хорошее соответствие между результатами численного решения, а также результатами экспериментальных исследований, которые указывают на приращение массы (т.
е. уровень жидкости в модели равен сумме уровней исходной жидкости и накопленного объема) примерно на 10 %, тогда как при численном решении масса всегда остается постоянной. Распространение описанного подхода на несимметричные и трехмерные задачи было сделано в работах соответственно [3 ] и [4]. Кроме того, в работе [2] было выполнено интересное исследование притока в полубесконечном объеме, где решения для бесконечных областей использовались как функции формы для «бесконечных граничных элементов», когда граница характерной области удаляется на бесконечность. 12.3. За/(ачи с подвижными границами Лью и др. [9) применили метод граничных элементов для решения задач с подвижной границей, разделяющей две жидкости, текущие в пористой среде, используя так называемую модель с резко граница выраженной границей, в которой Г1 реза«ха предполагается, что перемешивание х,.
лсхг,11 жидкостей незначительно и толщина л2 йг переходного слоя мала по сравнению а1 л1 Гг с характерным размером потока в на-, правлении течения. Отметим, что задачу с установившимся положением границы раз- х, ДЕЛа (т. Е. В ПРЕДПОЛажЕИИИ а тОМ, Рпс 12.В. К задаче о подвижчто граница занимает фиксированное кой гранаде. положение) можно решать, используя метод подобластей, описанный в равд.
2.8. В данной постановке используется та же идея, но с кинематическим условием на границе раздела двух жидкостей, согласно которому в любой момент времени задается перемещение (вообще говоря, неизвестное) границы раздела между жидкостями. Для того чтобы сформулировать реальную задачу математически, разделим область, занимаемую потоком, на две подобласти »11 и ьсг, которые занимают соответственно первая и вторая жидкости. Эти подобласти разделяются резко выраженной границей х, = г] (х„1).
Тогда граничную задачу можно описать с помощью уравнения Лапласа для потенциала и (пьезометрического напора) уги' = 0 в области Г)1 (1 = 1, 2), (12.8) и граничных условий типа Дирихле и Неймана, заданных на внешних поверхностях Г' и Гг (рис. 12.6), и внутренних граничных условий на границе х, = т[ (х, 1): г с/2 с/1 = 1 Ч2 с/1) х (12 9) дб дхс а 'х дх, зи' — и' = (з — 1) х„ (12.10) где а = ]хг/Гсх, з = рг/р', [сс — динамическая вязкость, р/ — плотность жидкости, Для получения решения задачи о неустановив- Глава Гд й о 5 и .й и о, Яй ай оа е $ о а и <О х2" а! о~ охи Р. И м и о а ш о А Ц1 на= о о а'а', Я1 Яе Яя О О Не Не (12.12) еле 2 Ц1 Ц! 0~1 Це Я1 ре (-,— 1)х„ и' н' — а' о о (!)н', Я)а', н' 0 а' Н'1 (! 2.13) не'ех шемся состоянии необходимо задать начальные условия: начальное положение границы раздела и начальное распределение потенциала.
Для удобства при решении численным методом кинематическое граничное условие (12.9) можно записать в виде дп Че е дя д! 1!а Р а 1!п р ' (12.11) гдедт)1дхе = с!д р, д1 = диеlдп1, да = диеlдпе(рис. 12.6). Для того чтобы показать, каким образом условия(! 2.10) и (12.11) на границе раздела можно ввести в систему уравнений (2.81), представим уравнения (2.117) и (2.118) соответственно для подобластей 1 и 2 в форме Вводя граничные условия (12.10) и (12.11) на внутренней границе и учитывая, что потенциалы и потоки на границе раздела являются неизвестнымн, перепишем систему уравнений (12.12) в виде В соответствии с граничными условиями на участках Г' и Г' границы подматрицы ел'1 и 411, ае и 441 можно поменять местами.
Отметим, что окончательная матрица системы уравнений (12.13) является ленточной. Решив эту систему линейных уравнений, найдем значения потенциалов н потоков на границе раздела Г). Затем с помощью выражений (12.10) и (12.11) можно определить значения функций У) и ® на границе раздела Г)е, послее чего, используя конечно-разностный аналог соотношения (12.11) Ч'~ ' = Ч + — е ~00~1 и! + (1 — О) д) "~ '~), (12.14) можно найти новое положение границы раздела.
Повторяя эту процедуру, находим перемещения границы раздела в каждый мо- мент времени, Ирилеерее решения эадан меяшеини яеиднаони 410 Геаеа еее Прамерее реииния эадак мекаиики жидкоспеи 411 ай Яй Ям 3 е1 а мд дйа Ей иее 7 Я 7 е» ие чх Пример!2.3. Типичная задача о вторжении морской воды в ограниченный берегом объем пресной воды была рассмотрена Лью и др. [9[. Предполагалось, что объем имеет постоянную толщину, горизонтальное дно и известную величину стока пресной воды в море. В момент времени 1= 0 изменялся знак стока и далее прослеживается движение клина морской воды. Бир и Деген [!01 провели экспериментальное исследование подобной задачи на модели Хеле — Шоу, схе.
ма которой показана на рис. 12.7. Граница раздела соленой и пресной воды разбивалась на 11 — !2линейных граничных элементов, для дискретного представления внешних границ использовалось 30 — 35 элементов. Дальний конец слоя соленой воды отсе. кался на расстоянии х, = = 200 см, и там задавалось либо условие постоянного потенциала, либо условие отсутствия перетекания, поскольку на таком расстоянии влиянием течения морской воды можно пренебречь. 4 Слой пресной воды распространяется на 400 см в глубь берега, и там задается условие постоянства расхода.
Начальная конфигурация границы раздела при установившемся со- стоянии была получена путем детального исследования неустановившегося состояния (9). В момент времени ! = 0 считается, что мгновенно изменяется знак стока иа береговом конце слоя, после чего записываются соответствующие перемещения границы раздела.
Для того чтобы описать эксперименты Вира и Дегена [1О), использовалось от 40 до 50 шагов по времени. Изменения во времени границ, разделяющих соленую и пресную воду, для наступающего клина соленой воды (эксперимент 1 из работы [10)) и для отступающего клина (эксперимент 3) показаны на рис. 12.8 и 12.9.
Там же показаны результаты экспериментов [11) н решения методом конечных элементов И1), где использовалась аппроксимация Дюпюи — Форхаймера. Отметим, что специальное исследование было посвящено особым точкам В и С (см, рис, 12.7); для повышения точности решения для дискретного представления окрестности точки В использовались сингулярные граничные элементы [12), а решение, полученное методом возмущений [! 2, 13 1, использовалось в окрестности точки.. С для определения ее положения.
12.4. Осесимметричиые тела прн поперечном обтекании Задача поперечного (потенциального) обтекания помещенного в однородный поток осесимметричиого тела, когда поток перпендикулярен оси симметрии тела, изучалась Хессом и Смитом [14). В этом случае и потенциал скорости и и ее производная по нормали д пропорциональны косинусу угла, отсчитываемого от направления движения однородного потока П5). Задача чисто попе" речного обтекания соответствует случаю п =! (когда используется разложение в ряд Фурье для четных функций) в общей задаче для осеснмметричных тел с произвольными граничными условиями.
Комбинируя такое обтекание с осесимметричным обтеканием того же тела (случай и = О, рассматривавшийся в равд. 2.!3), можно рассматривать задачу обтекания под произвольным углом атаки. Значения функций и и д в произвольной точке пространства можно связать с их значениями в точке плоскости !сЯ (предполагая, что однородный поток параллелен оси )с), имеющей такие же осевую и радиальную координаты, что и рассматриваемая точка (здесь используются те же обозначения, что и в выражении (2.170)): и (х) = и (х) соз 8 (х), 4 (х) = д (х) сов 8 (х).
(12 15) Граничное интегральное уравнение, эквивалентное (2.154), для рассматриваемой задачи можно записать в виде с %) и (я) + ) и (х) ~ а* Д, х) соз 8 (х) е[8 (х) ес (х) е(Г (х) Р -а = ) д(х) ) иаД, х)соз8(х)д8(х)Я(х)е[Г(х). (1218) г — а 4>2 Глаеа Ге 4>З >>римеры»еимиия зада» механики жидкаеааи Фундаментальное решение, которое можно представить как кольцевой источник, интенсивность которого изменяется по закону косинуса угла 6, имеет вид л йе(й, х) = ] и*($, х)соз9(х)>Ю(х). (12.17) Аналогично можно записать д" Д, х) = ] д*ф, х)соз6(х)>]8(х). (12.18) -л Записанные выше интегралы можно выразить в явном виде через полные эллиптические интегралы первого К(т) и второго Е (т) родов (В 4 ~е (12.19) + [Еф) — Е(х)] [ — Š— К)п~(х)~, (12,20) где а = ]7' ($) + Я* (х) + [З ($) — Е (х) Р, Ь = 2И ($) Я (х), с = Ы($) — Е(х)Р— й» ($), 1= Ы($) — Е(х)Р+ Я»($), т = 257(а+ б).
(12.21) 12.5. Медленное течение вязкой жидкости (течение Стокса) Классическая задача течения Стокса, где исследуется установившееся медленное вязкое обтекание препятствия безынерционной безграничной несжимаемой жидкостью, изучалась ]Онгреном Подставляя выражения (12.19) н (!2.20) в уравнение (12.!6), получим граничное интегральное уравнение, решением которого являются значения функций и и д в плоскости ]ее'.. Значения функций и и д в произвольной точке границы в окружном направлении можно найти с помощью выражений (12.15). Интегри рова ние па каждому граничному элементу выполняется точно так же, как и в осесимметричном случае (равд.
2.13). Сингулярные интегралы можно вычислять аналогичным образом> а именно записав эллиптические интегралы через фун>[ции Лежандра второго рода и воспользовавшись разложениями этих функций для малых значений их аргументов, и Акривасом 116] с помощью метода граничных элементов. Задача сводится к решению уравнений 1!7, 181 иьм=р, и,„=О с граничными условиями и, = — (7> на поверхности тела, (12.24) иь и - 0 на бесконечности, (12. 25) где и, — вектор скорости, р — давление, Ц вЂ” начальный вектор скорости; все переменные являются безразмерными и используются тензорные обозначения для декартовой системы координат (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
