Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(Н.зб) о Как и прежде, можно решить уравнение (! 1.35) для достаточного числа значений го и путем численного обращения функции УУ (х, го) получить зависящие от времени перемещения иу (х, 1). Непосредственным рассмотрением значений У; (х, оу) для различных значений ю получим собственные формы колебаний упругого тела. На самом деле именно это 46 делает указанную процедуру наиболее при- ез влекательной. Например, если каждую неизвестную функцию записать в комплексной форме )' (х 1) = Р (х) е' ' (1! .Зб), то можно получить со-"- ы отношение (11.33) в ка- . честве разрешающего с Ю уравнения, решая ко- -„.
торое для каждого за-— данного значения частоты оу, непосредственно найдем реакцию тела в виде амплитуд У; и Р; [7, 8, 101. Ниже приводится несколько 1 примеров использования подобного подхода; 1 в первом примере рассматривается задача на собственные значения га11я, ги для земляной дамбы, Рис, 1!.7 Смещение точки В в горнаоитальном во втором примере по- направлении в аависнмостн от частоты пь казано, как с помощью указанного подхода можно вычислить жесткость оснований.
Пример 11.2. Земляная дамба [221. Здесь исследуется поведение земляной дамбы при землетрясении в предположении, что нижняя часть дамбы прикреплена к асбсолютно жесткому основанию. Это граничное условие, несмотря на всю его нереальность, используется здесь для того, чтобы иметь возможность сравнивать результаты работы [221 с решением методом конечных элементов [231.
На рис. 11.5 показаны размеры дамбы, а также сетка конечных элементов, использованная в работе Клауха и Чопры [23 1, Колебания Тлгв 11 394 Таблица 1!.1. Сравнение результатов вычисаеиий основной частоты ю, рад/с Теория канна ра- ботающего ка сдааг Метод конечных алемектоа Метод граеачкых алемеатоа 7,7З 7,71 8,0! Благодаря выбранным граничным условиям движением основания дамбы можно пренебречь. Поэтому здесь можно применять теорию условного сдвига клина, в которой дамба представляется как вертикальная работающая на сдвиг балка переменной высоты, что является хорошим приближением для исходной задачи.
Граница дамбы разбивается на 30 постоянных граничных элементов и 5 внутренних точек (рис. 1!.6). Вместо того чтобы прикладывать к основанию дамбы возмущение в виде задания ускорения основания в горизонтальном направлении, задаются изменяющиеся по линейному закону напряжения по обеим сторонам дамбы, представляющие силы инерции, действующие на дамбу. На рис.
!1.7 пока- зано перемещение точки 1т' 'чх, В (узел 20 на рис. 11.6) хг Ь в горизонтальном на'с, правлении при изменении частоты от от 0 до 1,43 Гц. Основная частота, как видно из риРис. 11.8. Основиан форма колебаний грунтовой дамбы. Штрнхпуиктирные липни соответст- Уиха - Равна вуют теории работающего на сдвиг клина, 1,24 Гц. Различие мекружкв получены методом граничных злемеи. жду прЕдставленыым здесь решением и решениями, полученными методом конечных элементов и по методу работающего на сдвиг клина, составляют соответственно 0,9 и 2,89 % (табл. 11.1). Последняя цифра расхождения результатов является ожидаемой, поскольку дамба будет более жесткой, если ввести запрещение на перемещение основания.
На рис. 11.8 представлена нормированная форма колебаний, там же для сравнения показана форма, вытекающая из теории работающего на сдвиг клина. Как можно видеть, между этими результатами имеется хорошее соответствие. Пример 11.3. Динамическая жесткость оснований [22). В ряде инженерных приложений требуется определять динамическую жесткость основания.
В большинстве случаев свойства грунта неоднородны по глубине (модуль сдвига, как правило, растет с глубиной) либо осадочные породы конечной толщины будут лежать на гораздо более жестких породах скального типа. Тем не менее в качестве удобной математической модели обычно выбирают однородное изотропное линейно-упругое полупространство, и в недавней работе Домингуэца и Аларкона [9) метод. граничных элементов был использован в сочетании с данной моделью; эти результаты демонстрируют хорошее соответствие полученным ранее.
Удобство применения граничных элементов при моделировании основания состоит в том, что при этом автоматически учитывается демпфирование за счет излучения, а гистерезисное демпфирование можно учесть введением комплексного модуля сдвига [24[. Частью процесса исследования задач взаимодействия грунта и конструкции является установление динамической жесткости оснований, т. е. определение сил (или моментов), требующихся для создания равного единице динамического перемещения (или поворота) невесомого абсолютно жесткого основания, лежащего на полупространстве; по остальным направлениям перемещения не допускаются. Поскольку фундаментальное решение соответствует бесконечной области, дискретное представление необходимо только для границы или точнее для поверхности раздела основания и грунта и для поверхности, свободной от напряжений.
Согласно теории, дискретное представление необходимо распространить на бесконечность. Однако для основания, лежащего на поверхности, приемлемое решение можно получить, не вводя элементов на свободной от напряжений границе. Можно показать, что все слагаемые, определяющие влияние элементов, заданных на свободной от напряжений границе, равны нулю, за исключением тех, которые учитывают влияние вертикального перемещения на горизонтальное и наоборот. Тем не менее это влияние мало и в задачах о взаимодействии грунта с конструкцией им обычно пренебрегают, если рассматриваются условия типа гладкого основания.
В данном примере результаты численного решения сопоставлялись с результатами решения Якуба [25[, которое имело вид К = Ко (й + га, с[) (1 + 21сл), л где К, — статическая жесткость; й и г( — коэффициенты, зависящие от частоты; а, = МВ/С, — безразмерная частота; С,— ускорение волны сдвига в грунте; /7 — коэффициент внутреннего демпфирования в грунте.
Размеры основания (лежащая на поверхности полоса) и свойства грунта таковы: полуширина основания В = 1, модуль сдвига 6 = 1 + 0,1 (если не зздается другое выражение), коэффициент Пуассона ч = 1/3, плотность р = 1. Глаза (! Колебания ор эонтэльны пере»ешення перемеыення О т 1 О 1 ! л з(б 1,6 1,0 Для того чтобы пояснить влияние дискретного представления, на рнс.
11.9 показана зависимость жесткости скальной породы от способа дискретного представления свободной от напряжений 3 4 5 Б т аб Рнс. 11.9. Завясимосгь жесткости К, скальной породы от ширины 8 дискретного представления свободной от напряжений границы (ао = 0,01). Рис. ! !.1О. Дискретное представление полупростраиства. Рнс.
11.11, Зависимость жесткости К» в горизонтальном направлении от ширины 5 дискретного представления свободной от напряжений границы (ао= 0,9). границы для очень низкого значения безразмерной частоты а, = = 0,01. Граница между грунтом н основанием разбивалась на восемь элементов (рнс. 11,10), н, как н ожидалось, влияние расшнрення дискретно представляемого участка границы, свободного от напряжений, было пренебрежимо малым.
Сказанное справедливо н для более высоких частот. На рнс. 11.1! показаны ре- зультаты аналогичных исследований жесткости в горизонтальном направлении для частоты ао = 0,9. На рнс. 11.12 показана действительная часть перемещений свободной от напряжения поверхности, когда к основанию с ча- Рис. 11,12. действнтельнаи частит.перемыценнй свободной от.напряжений по- верхности (аэ = 1) стотой ао = 1 прикладывается еднннчное гармоннческое перемещение (горнзонтальное, опрокидывающее нлн вертикальное).
Все полученные результаты находятся в полном соответствия с результа- таМИ, ПОЛУЧЕННЫМИ ДО- 1 — - раб~~~ Вхтба !Зрр мннгнэцем н Аларко- о - метод гран"чньи элементов (действительнвя часть] ° ° - метод граничных На рнс. 11.!3 дана элементов в-! зависимость жесткости (мнимая часть б-т качання от частоты прн и тд 0 = 1. Хотя в этом слу- р"! чае внутреннее демпфирование не учнтывалось, здесь появлялись а о мнгяиые частя, что было Рис. !1.!3. Зависимость жесткости Кп качаннв от частоты а связано с геометрнческнм демпфнрованнем нлн демпфнрованнем нзлученнем, т.
е. энергия передавалась по направлению к находящимся на бесконечном удалении границам. Действительные части уменьшались с ростом ао, что прнводнлок снижению жесткости; если же мннмыечастн возрастали, это указывало на усиление демпфнровання. 388 Глава 11 Авлебаммв ~ и,!(7; еИ = ~' а; 1! и(1~ ((!). Я А=! ц (11.39) 11.6. Свободные колебания Фундаментальное решение, используемое в формулировке, описанной в предыдущем разделе, зависит от частоты. Поэтому если главный интерес представляют только собственные частоты и формы колебаний, то при проведении исследований необходимо последовательно задавать различные значения частот возмущающих снл для систем без демпфирования, до тех пор пока не появится резонанс.
Поскольку полная система уравнений должна перестраиваться и решаться для каждого значения частоты, то подобная процедура обычно требует больших затрат времени. Главное неудобство состоит в том, что хотя фундаментальное решение само по себе зависит от частоты, тем не менее исследование нельзя свести к алгебраической задаче на собственные значения. Другая интересная процедура получения собственных частот и форм колебаний конструкций была представлена Нардини и Бреббия 126). Она обладает тем достоинством, что сводит задачу свободных колебаний к алгебраической задаче на собственные значения и поэтому является более простой. Основная идея состоит в непосредственном использовании фундаментальных решений Кельвина для статических задач, описанных в гл. 5, вместо зависящих от времени решений, использованных в последнем равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
