Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Это явление было описано Мэрфи [24! и присуще уравнению (!0.14); прн таких частотах решение интегрального уравнения Зазаеи о раглраапранении волн Гласа 10 369 Рис. 10.2. Конструкция чзсгмого вида: а тел в Р ь а а ыа Зии;б — г З з оге е» р сел еииа иелезха ао зеолз г и аеаече го «е е ия, з зер и р еа ломеоеие еел др р 10 ' О,! г з Б з ула гг я' О!глез!! саащ Рис 10.4. Козффицмеит зертзхзльпой силы. Сплошные кривые гшлхчеиы методом граничных элеменгое Рцс. !0.3.
Зависимость хоэффициемтз гормзомгзльноа сель! Р . от геометри~еехих параметров задачи. Сплошные хрезые получеаы методом граемчиых злемеитоа. з 3 л 10 й з е ~~ г ." 10' Е з 6 10 ' О,! становится не единственным, поэтому задачу нельзя решать с помоцгью данного интегрального уравнения. Однако это затруднение ие столь серьезное, поскольку относительно короткие длины волн, соответствующие нерегулярным частотам, как правило, не являются характернымн для конструкций (15!.
Подход, изложенный в этом разделе, обычно требует с )- —.' б»*з* г г реализации на ЭВ51, поскольку фундаментальное ре- 1- — а — -1 шение является комплексной функцией. В следующих разделах будут обсуждаться другие более экономичные методы, которые можно применять лишь для конструкций частного вида (рис. 10.2). Пример 101. На рис. и 10.3 — !0.5 показаны взятые г з 10 гзриззнгзгз зз нз работы Гаррисона и Чоу е [18) результаты сравнения численного н экспериментального исследований по. груженного в воду бака. На рис. !0.3 и !0.4 цредзергихзз иза елзз ставлены результаты, относящиеся соответственно к горизонтальной и вертнкаль- з з ! г ной силам для разлячных гизы безразмерных значений глу- Рхс 10.0.
Коэффициенты горизонтальной бины иуа (отиетим, что вы- з эертикзльиоз еал при л= з,р. солош. сота бака бралась примерно иые кривые получеаы методол! граничных равной о). Отметим что зле! еитоэ с ростом глубины н уменьшением длины волны волновые силы уменьшаются, На рис. 10.5 даны зависимости для коэффипиентов горизонтальной и вертикальной сил для случаа, когда бак располагается таким образом, что направление его наибольшего размера (примерно равного ба) оказывается перпендикулярным гребню волаы. Сравнивая этн результаты с приведенными иа рнс. 10.3, видим, что максимальное значение коэффициента горизонтальной силы уменьшилось примерно на 50 %.
При больших значениях паоаметра 2па)Е коэффициенты горизонтальной и вертикальной спл резко уменьшаются. 371 Глаза 10 задачи а ра ар(ммранении юли дтб 10.3. Тела с вертикальной осью симметрии Случай тел с вертикально расположенной осью симметрии (рис. 10.2, о) исследовался Блэколс [25] и Фентоном [261. Блэк получил осесимметричное фундаментальное решение с помощью метода, развитого Морсом и Фешбахом [4]. Позже Фентон показал, что это осесимметричное фундаментальное решснве можно получить, используя по существу идею, представленную в равд.
2.13, т. е, записав фундаментальное решение для трехмерного случал, полученное Джоном [23), в цилиндрической снстеме координат и проинтегрировав его анап(ктическн по угловой координате. Главное разлнчяе теперь будет состоять в том, что хотя тело осесимыетричное, для него задаются произвольные (неосесимметричные) граничные условия. Таким образом, ряды вида (10.18), представляющие фундаментальное решение Джона (с которым удобнее работать, поскольку в нем переменные разделены), сначала выражаются в форме рлдов Фурье по координате О [26] (см.
рнс. !0.1): — , '67,„~ (2 — 81,) соз [! [8(х) — 6 $)][, (10,21) (=а — а где 1' н]с 1 „, / мг 1 ОЛ вЂ”.. — (Се сй(м [хз (х) + ((]! с)2 [н [хз ($), с(]! йз 1 ! Н( (нг] ' снР;' 120" Огм = 4СмСОЗ]!20,[ХЗ(Х)-';((]]СОЗ]р [Хз(й) , '((]]КГ [ 1 уС !(м]С х 11( ], при т)1, 12 г Р = [х( (8)з+ х, фз](гз, г = [х, (х)'+ хз (хр]'Р, Здесь 820 — символы Кронекера, 71 — модифицированная функ- ция Бесселя первого рода )чго порядка, остальные обозначения те же, что и в выражении (1О.!8), за исключением новых, введен- ных здесь переменных ]7 н г. Верхние аргументы используются при г ) ]т.
нижние — нри г ' )7. Используем теперь граничное интегральное уравнение (10.!4), куда подставим разложение в ряд Фурье фундаментального реше- ния (10.21), в результате получим ряды Фурье, коэффициентат(и которых являются интегральные выражения, заданныс на дуге ЛЛ' (сы.
рис. 10.2, о). Плотность источника о является функцией положения точки на теле, и поэтому можно ее представить, как это было сделано в равд. 2.13, в виде о (Г, О), где Г определяет положение точки на дуге ЛЛ'. Поскольку характер обтекания является симметрич- ным относительно осн х,, плотность и можно разложить в ряд Фурье ло О для четной функции: о (Г, 6) =- ~~ п((Г)сов!6. (! 0.22) (=0 Слагаемое в уравнении (10.14), характеризующее потенциал н,', также 2(ажно разложить в ряд Фурье длл четной функции диг ч.ч д — ~ й( соз 1О, (10.23) (=е где выражеяня длв и, берутся нз работы Фентона [261. Подставляя выражения (10.21) — (!0.23) в уравнение (10.14) и учитывая соотношение ((Г -= Р((О ((Г (см.
выражение (2.185)), поверхностный интеграл в уравнение (10.14) можно проинтегрировать по переменной О (ч) и в результате получим ряд Фурье но аргументу 6 (х), где каждый коэффициент будет содержать интеграл лишь по граничному контуру 1'. Теперь можно приравнять ко- к!1 Нзгсеваеиге ЗзсгзаСтае.с.нк Зс 2 — ~ намик.асти ывм к Я ГРВННЧИ0(З .лечечт — ]- — +- (о' Я ] Д за Рис. !О.б. Геачегрия задачи и дискретисе Рис. 10.7.
Кам)ф((ииеит гаризаипредстзвлеиие поверкиасп( падзодвого па- твлыюй сизы при Ша = 3. С;пловы лус(мои(сскага бана. иея кривая потучом в рабате (231. То (ки найдены мсшдам граничных злемеитав. эффнциенты Фурье для каждого значения Г в в результате получить бесконечное число одномерных не зависящих от О (х) интегральных уравнений вида — ,(Г(--! ,(Г(! ]' ' ~ И 00= †„ (= 0,(,2.... ((0.22( г Каждое такое уравнение можно решать обычным методом граничных элементов.
Выражения для коэффициентов матриц, входящих 372 Глиеи lа 373 Задано и уиеиувв!1уимемии вым в решение (см раза. 2.6), приводятся в работе Фентона 1261; онн очень громоздкне и представляют собой сумму рядов, но все этп ряды сходятся очень быстро, а их члены являются конечными по величине. И наконец, в работе Фентона !261 получены выражения для свл и моментов, записанные через потенциал скоростей. Их компоненты таковы, что вертикальная сила определяется слагаемым, соот- ветствующим ! — О, горизонталь) ная сила и опрокидывающий момент (в плоскости х,хв) определяются толька слагаемым с 1=1, а трн остальные ортогональные компоненты сил и моментов равны нулю. Таким образом, для определения волновых нагрузок на тело требуется решить два одномерных интегральных уравнения, соответствующих 1 =- 0 и 1 = ! (но при этом остается неизвестным распределение давления иа поверхности тела). Пример 10.2. Этот пример взят нз работы Ау [27).
который иа решил несколько задач дяфракцни Рве. 10.3. Ковффвввевт верти- ВОЛН С ПОМОН!ЬЮ фУНДаиснтапьнОГО вельвав евлв врв д1и = з, решения Фентона прв реализа- ции метода граничных элементов (см. равд, 2.4). В примере рассматривается полусферический бак радиусом 1О и, закрепленный на дне моря.
Глубина моря полагается равной !О м, амплитуда волны равна 2 и. 1(ля дискретного представления поверхности полусферы использовалось девять постоянных граничных элементов с угловым гаагом 10' (рис. 10.6). Результаты вычислений коэффициентов горизонтальной и вертн<альной сил представлены соответственно на рнс. !0.7 и !0.8; там же для сравнения даны результаты аналитического решения, полученного Гаррисоном и др. [28). 10.4. Горизонтально расположенные цилиндры произвольного поперечного сечения Другим интересным с практической точки зрения случаем является движение волны в плоскости хигв вокруг горизонтально расположенного цилиндра, ось которого параллельна оси хе (рнс. 10.2, б).
Усилил исследователей были направлены на рассмотрение двух гланных аспектов задачи: на опредеченпе коэффициентов отражения и прохождения воен, характеризующих поведение тела как волнореза 129, 30), и изучение движения закрепленных на якоре н свободно плавающих тел [31, 321, Разрешающие уравнения задачи по существу остаются теми же самымп (см. выражения (10.3) — (!0.7)), за исключением условна излучения (10.9).
которое берется в несколько измененном виде [16): — — и при г и са. ди го (10,25) ег е Фундаментальное решение для двумерного случая, удовлетворяющее всем граничным условиям, кроме условий на контуре Г, приведено в работе Джони [231: в*=!и( д, )— (и — т) е » у ( — р д) еа (у [хе (е) -,'- д1) сн О! [хе (1) + д)1 сев Пе 1 я(пйяд — ееа!ий е + ' у ' ) ] е(1, (10.26) где обозначения те жс. что и в (10.17).
Кроме того, здесь принимается, что х;, (е) — хе (х) = О, а интеграл вычисляется в смысле главного значения Представление для ие в виде ряда можно представить в форме я* =. вегп сй ',н[х (х) -; е(1[ей [я[хвД) —; е([[ып нг— — 2п г — соз [р„, [хв (х) + г(! [ соз [р, (х, (в) + е(! [ ех р ( — р,„г), уи (10.27) где обозначения те же, что и в выражении (10.!8) Как отмечалось в работе Нефтцгера и Чакрабарти [29), при больших значениях г ряды для функции и* можно вычислять численно. что оказывветсн гораздо более эффективным, чем использование выражения (10.26).
В работах [30 — 321 применяется метод, в котором используются фундаиентальное решение и* =!п (!.1)7) и граничное интегральное уравнение (1О.!5), где вместо Г подставляется граница 8 выделенной области, показанной на рис. 10.9. К преимуществам этого метода относится то, что он позволяет учесть переменность глубины вблизи тела и что используется очень простое фунламеитальное решение в форме логарифмической функции. Основным неудобством является то, что требуется представлять в двскретиой форме сравпвтельно длинную границу Тем не менее в упомянутых выше работах утверждается, что были достигнуты очень хорошие результаты. задачи о распроопроиеиии воли Г.юеа га "еь «втпввте««е зеслрос ое «е«ке Всх«ы Урезе«ь «сй вехи Г х .т ь .
02 2,« 0 2 3 Е З 0 «й 2,0 1,0 1,2 0,8 с М' 2 Пример !0.3. Нсфтцгер и Чакрабарти [29! исследовалн полностью погруженный в воду цилиндр н сравнила свои численные результаты с данными работы Огплви [ЗЗ[, где рещение было получено в полуаналитичсской форме для случая бесконечной глубины. На рис. 10.!Π— 1О.!2 приведены найденные в работе [29) зависимости сил от параметров ха н хй, где а — радиус пилиндра, позер« сеть «ср"ег ея к й с«рет«се гсеис-еше- «в«зевсе««ю хи чзс йече««е ко«-уре с ,к зол«ы Рис. 10.0. Дискретное предстевлензе границы выделешюй области. Рис.
10.10. Зввисямость прпведевных сил, действующих ив гюлпостью погруженный в воду цилиндр, от глубины й. Сплошная крнвея соответсгвуег згшченню ага= 4, точки — рсзультетом работы Огилви 133! при ата оо. гт — глубина до осн цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
