Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 65
Текст из файла (страница 65)
11.5. Это приводит к граничному интегральному уравнению, которое соответствует разрешающему уравнению (11.33) при обращении в нуль объемных сил (261 и имеет вид „е,.г)е„ег — 1 вг,ег, ~г~ вв еи. (((лг( г г где звездочками обозначены функции, соответствующие хорошо известному фундаментальному решению Кельвина для статической задачи. В уравнение (11.37) входят не только амплитуды перемещений, но также н неизвестные перемещения (7! внутри области, присутствующие в инерционном слагаемом. Поэтому чтобы сформулировать задачу только относительно значений неизвестных на границе, необходимо ввести дополнительную аппроксимацию для амплитуд внутренних перемещений.
Для этого можно использовать линейную комбинацию функций !'" (й — номер члена в группе, й = 1, ..., й(' с коэ ициентами ) фф У! = ~ а)'1", (11.38) л=! Тогяд пространственный интеграл по области (11.37) принимает вид Поскольку конечной целью является преобразование соотношения (11.39) в эквивалентные граничные интегралы, можно связать набор функций ! с полями перемещений вр~(! и соответствующими в им полями напряжений о('; соотношениями в л т».,~ =6»~. (11.40) Это позволяет преобразовать выражение (11.39) в граничные интегралы с помощью процедуры, уже использовавшейся при обычном статическом анализе и приводящей к следующему уравнению: ее!И1+ ~ ре!И!Ж' — ~ ие!Р! г1Г = 'ге' ( — цг,',.ф-)м(е в' — 1е~ммдг)ф (((.4(! л-! г г а=Р ЧУ, (11.42) где матрица Р содержит значения функций ~» в узловых точках. Уравнение (11.41), представленное в дискретной форме, н уравнение (11.42) составляют обобщенную алгебраическую задачу на собственные значения, которая, несмотря на использование приближенных представлений в инерционных членах, дает доста- в л где !(г = т((„л — напряжения на границе, соответствующие полям перемещений вр!» Уравнение (11.41) можно обычным способом представить в дискретной форме; граничные интегралы, соответствующие инерционному члену, содержат лишь известные выражения и их можно вычислить, как обычно, либо аналитически, либо численно.
Однако численный способ требует значительных усилий, поскольку здесь требуется интегрировать по всей границе для каждого неизвестного коэффициента а(. Поэтому, чтобы уменьшить время численного решения, для представления изменений величин вр» и !(( на границе можно использовать те же самые интерполирующие функции, что и применявшиеся для интерполирования функций 0„и Р~, в результате будут получаться те же самые стандартные матрицы Н и б. Кроме того, если общее число )У функций 1' совпадает с числом узловых точек, то неизвестные коэффициенты а! можно получить как функции амплитуд перемещений на границе (см. выражение П1.38)) в виде 403 Глава 12 Примеры решения задач механики жидкости ПРинеРи Реинкик седое механики жидкости Зто отношение в конечно-разностной форме имеет вид 12.1.
Введение Некоторые случаи использования метода граничных элементов в механике жидкости уже обсуждались в гл. 2 — 4 и 10, однако область применения этого метода не.ограничивается примерами, рассмотренными в указанных главах. Подтверждением этого служат самые разные задачи механики жидкости, среди которых имеются задачи с довольно сложными особенностями типа нелинейного поведения материалов, подвижных границ и т. п., успешно решенные с помощью метода граничных элементов.
В данной главе собраны некоторые из наиболее интересных случаев применения граничных элеменгов в упомянутой выше области; здесь же приведены результаты численных исследований, демонстрирующих эффективность предложенных методов. 12.2. Неустановившееся течение подземных нод Метод граничных элементов при решении задач о неустановившемся течении подземных вод использовался Лигетом 11), Лью и Лигетом [21 и Ленноном и др.
[3, 41. Зти задачи описывались уравнением Лапласа для потенциала скоростей и н кинематическим (нелинейным) граничным условием на свободной поверхности вида [51: — — — 4д — — Де, дч дч (12.1) д! дх где д, и 4, — скорости в направлении осей х и у, т[ — смещение свободной поверхности относительно произвольно выбранной плоскости.
Из рис. 12.1 видно„что имеет место соотношение де[/дх~ = — !д [1, (12,2) где р — угол между касательной к свободной поверхности с осью х,. Отсюда следует, что дт[/д! = — д/соз [[, (12,3) где 4 = ди/дп — нормальная компонента скорости. Используя на свободной поверхности условие и = ть из формулы (12.3) получим дп/д! = †/соз [[. (1 2.4) и+ = м — ", [64е+ [ (1 -В)41, (126) сон й где 6 — весовой коэффициент, который определяет значение производной между моментами времени ! и ! + Л!. В этом соотношении угол р вычисляется для момента времени !, несмотря на то что само отношение записано для момента времени ! + Ы. Хотя ука- Рнс. !яд.
Форма свободе ноя поверхности жанно стн. ванное обстоятельство можно обойти с помощью итерации, достаточно высокую точность можно получить, используя малые шаги по времени [1). В качестве примера того, как граничное условие для свободной поверхности в фюрме (12.5) можно ввести в систему уравнений (2.81), рассмотрим задачу, представленную на рис. 3.13, где предполагается, что уровень воды понижался вниз по потоку. Тогда систему уравнений (2.8Ц применительно к этой задаче можно записать в виде ! Чевс енсе 1 — б б б б Н ) = 1 — Олвс — Осл — Оов — Нв бег) (12.6) вон Глава 12 404 405 1 !санс !+а! ОМ Рнс. 12.2.
Форма н дискретное представление границы грунтовой плотины. илнс с (1 — 01 ас исо— в! 47со Рно. 12.3. Профнлн саободиых поверхностей для последовательных моментов времени в задаче о внезапном сбросе воды. (12.7) 16 1Б -чЪ- и иэн ини -н== 10 х 6 Ю го Э сй Подставляя в эту систему выражение (12.5) для исо, получим !+ас — блнс —. (6со -1 Нсо р! ) Они бн ыл1 ~ суэн = ( Илло ссоо !сон сснлч)лр1 Поскольку стоящие в правой части уравнения (12.7) значения функций на границе известны, систему уравнений можно решить и найти нормальные составляющие скоростей на свободной поверхности в момент времени 1 + М. Затем из соотношения (12.5) получаем значения потенциала на свободной поверхности, чем и заканчивается цикл вычислений.
После этого можно переходить к следующему шагу по времени. Пример 12.1. В этом. примере, взятом нз работы 111, исследуется фильтрация со свободной поверхности через грунтовую плотину прямоугольного поперечного сечения (рис. 12.2). Предполагается, что в момент времени 1 = 0 внезапно начинается сброс с уровня, равного 10 м, до равного 3 м уровня воды ниже по потоку. Таким образом, на стороне плотины, расположенной ниже по течению, образуется смоченная поверхность, и граничные условия задачи принимают вид (см.
пример 3.5): а) и = 10 м на стороне плотины, расположенной выше по течению, б) 11 = 0 на поверхности диа, в) и = 3 м на стороне плотины, расположенной ниже по течению, г) и = ха на смоченной поверхности, д) на свободной поверхности задается кинематическое граничное условие (12,4). На рис. 12.3 представлены результаты расчетов для последовательности моментов времени, полученные при испо(сьзовании дискретного представления (24 линейных элемента), показанного на рис. 12.2.
Линия, соответствующая 1-г оо, была получена в результате численного решения задачи об установившемся течении с помощью процедуры, описанной в примере 3.5, и в результате исследования иеустановившегося течения при 1= 30. Точность этих результатов можно проверить путем сравнения с точным решением, приведенным в работе 15]: на рис.
12.3 кружком отмечена точка Примеры ранении задич иехиииии елиднвееаи пересечения свободной поверхности воды и смоченной поверхности плотины, соответствующая точному решению; как видно, численные результаты хорошо соответствуют точному решеии ю. Пример 12.2. Задачи о подземном течении вод, в которых рассматривается приток жидкости, исследовались с помощью ме- о 2 4 4 а 10 длина,м тода граничных элементов в работе (21. Зти задачи аналогичны рассмотренным выше, за исключением граничного условия на свободной поверхности, которое имеет вид — = — — + йу, ди дС соа й (а) где е)ач — интенсивность притока. Конечно-разностный аналог этого соотношения имеет вид ис+ю и! ас 104!+5! 1 (1 0)1151 1 д((Опус+а! 1 (1 О) йус) соз р (б) Гелии /У Примеры решения задач мгкиники жидкости 407 Задача притока в модели Хеле — Шоу (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
