Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Более того, матрицы К и В, так же как н векторы М н гчр, строятся только один раз в начале всего процесса, чта позаоляет достичь большой экономии времени счета. Дчя тога чтобы показать прпмепцмость опнснннои в преты пущих разделах процедуры, было решено несколько примеров с использованием линейных элементов и ичеек. Полученные результаты сравнивались с решениями методам конечных элементов и данньгмп экспериментов.
Кроме того, везде, где это возможно, для подтверждения полученпых результатов приво- его=в,з дятся аналитические ре- ~ — — — — -х +г Н щения. 'С С) О !Евннрч- Г 1 Г ПРимеР 7.1. Задача,, 1 нгхуль . -1-"«ьй / растрескивания полнсти- 1~0 5"С!1 ~,Ф рола (121. Для того чтобы исследовать влияние пус- 1О е Я! ! тат на прочность полистирапа, Эта ЗадаЧа ВПЕрВЫе рнг тн. днлнерннч л|овель внлнндрнчееной был н сгг енй 1 зва нолоехн н ннехРегнол преветнвленне в пегове грлннчних пленен»он. дом н Оуэном ПЗ] с йомощью метода конечных элементов. На рис. 7.1 показана расчетная схема задачи, где виден также способ дискретного представления с помощью граничных элементов и внутренних ячеек. В данном примере использовалась модель с плоским дефор.
мированным состоянием, расчеты проводилнсь как методом конечных элементов, так н методом граничных элементов, причем в первом случае исполь- ЗанаЛИСЬ КВадратИЧНЫЕ Рпс. тэп ОЕГНН КВЕЛРЛГНЧПЫХ ЛЛНОГГПРОЛЛЕГРГО ИаопарамЕтричсекггЕ ЭЛЕ. чеехнх лонечних элелггнгоп е о»нече рнегрге. менты (рис. 7.2). ннвпнпч полне«прела Параметры, характеризующие идеально-пластическое поведе- ние материала, таковы: Е = 42 10' Нгмв, а, = )г = 105 МПа, Терри ч и согни и сгппс Г.гаса 7 309 308 2З ).. юо Е 75 50 25 з ) Р=.тз а заьлсаслсс- с,г 0 ЮО а л „р-раз алсеа- ~ зтюпа с а л 1,0 75 и 50 0,5 О,Б 25 О,л 0,2 0,01 0,02 0,00 0 ОЧ 0,05 Е растера юлююласе на ер ъа Рнс.
7.6. Зада са о пваскам деформированном состоянии при воздействии сптампомс — сети ч дратичзмк 3 р ме ри ееипх каа К» и вчем зи,ете.ч о = 0,33. Рассматривались два условия пагружсния — двухосное и одноосное растяжения, причем оба осуществлялась путем задания перемещений на краях. На рис. 7.3, а и б приводятся результаты, полученные по обоим методам для двух случаев нагружения. Как можно видеть, результаты оказываются очень близкими. Рис.
7 3. Зависимости средних заприжеиий ат средних дв)юрмапий в задаче Рассрескивання позистиразз. — д т е р ст нсн. б -. к , е р стш ение 1 ше енина кРап). сп аюш КЛ р и сама ллем по Пример 7.2. !1лоская деформация при воздействии штампом 112] В этом примере рассматринается плоский абсолютно жесткин штамп, ниедряющийся в твердый деформируемый образец н создагощнй в нем плоское деформированное состояние (рнс. 7.4). Решение методом конечных элементов для различных значений параметров, определяющих свойство материала, было получено Найаком и Зинкевичем (14).
Результаты, полученные методом граничных элементов с заданием шатовых приращений перемещеияя абсолютно жесткого штампа, представлены на рпс. 7.4, где показан и способ дискретного представления в этой задаче (на оси симыетрни граничные элементы отсутствуют). Здесь рассматривались два различных материала; идеально- пластический (Н' = О) и разупрочняющийся (Н' =- — 0,1Е) Зависимости среднего давления от перемещения показаны на рнс. 7.5 Рис 7 4 Геалсетрия зада чп а плоском дефорлсироваииач состоянии зри воздействии штампом и дискретное представление с поыошыо граничных зченеитов н виутрениик ячееи Здесь р — среднеедзваенне, соотношение размероз В!0=.2,7, йж = 1.7.
0 0,001 0,005 0005 0,007 и си а Рис. 7 5. Зависимости среднего давления от перемешеиия в задаче о ппоскаы деформироваинасл состоянии прн возденствин штампом Сплошные кривые поауче. пм методам конечных злемеятов, штрнховые — — по методу граничных злементов. 14сподьзовав ась сведующие значения параметров; Р—. 89,7 МПа, Е .— =- 6,895 1оз 1!1мз, т 0,33.
Пгаза 7 Теория цзасшашнызш 819 зп аг ~ 2 .Х Рнс 7 7. Зэлэчз о толстосген нол1 цилиндре. дискретное орекстлвленне с помощью грннччнЫк элементов н внутренних гмеек Резмеры рваны: а -. 100 ыы, й — Оа. 0,6 601 Рис. 7.8. Перемещение внешней поверхности толсюстеннего цнлннлре в зевнснмосгн от знвченнн лэвлення р. Сплошпвя крп. ввя соответствует нннлнтнческочу решенн1о, кружкн — рзс. чету по методу граничных элементов. ОЛ 1,0 г,е зд 7.4. Общего вида соотношения между напряжениями и деформациями для упругоиластических материалов Рнс.
7.9. Рзсорелеленне оьружных непрпжгннй в толстостенном цнлннлре. Сплошная кривая получена нннлнтнческя, кружки — метоком граничных элементов. Рзлнзльнзя коорлннвтз плзсгвческой зоны г -- 1,Оа тяге . О 755. 0,6 'э 0,1 При формулировке теории, описывающей модели поведения материала при упругопластических деформациях, приходится встречаться со следующими требованиями, в соответствии с которыми следует задать: а) соотношение между упругичи напряжениями и деформациями до момента возникновения пластических деформаций; б) условие текучести, указывающее значение напряжения, при котором начинается пластическое течение; 0 1,0 12 11 16 16 20 гул и демонстрируют близость результатов, полученных четодами граничных и конечных элементов, несмотря на довольно грубый способ дискретного представления в методе граничных элементов.
Пластические зоны, полученные методом конечных элементов для случая разупрочняющегося материала с помощью сетки, показанной на рис. 7.6,а, донольно хороню согласуются с полученными методом грзничных элементов (рис. 7.6, б). Пример 7.3. Толстостенный цилиндр Пб). В этом примере исследуется расширение толстостенного цилиндра, нагруженного внутренним давлением, при плоском деформированном состоянии.
Предполагается идеально-пластическое поведение материала со следующими параметрами: Е = 12 106 Н!мт, о, = 2,4 МПа, о = 0,3. Результаты, полученные методом граничных элементов без использования дискретного представления границы, совпадающей с осью симметрии (рис. 7.7), сравниваются с аналитическим решением, полученным Прагером и Ходжем [3). Радиальные пере. мещення внешней границы и распределение окружных напряжений (граница пластической зоны находится при г' = 1,бо) хорошо соответствуют аналитическому решению (рис. 7.3 н 7.3).
Приложения, обсуждаемые в этом разделе, ясно указывают па большие возможности метода граничных элементов прн решении задач теории пластичности. Во всех рассмотренных примерах приращение нагрузки составляло от 6 до 26 зге нагрузки, которой соответствовало появление пластической деформации; прп этом было подтверждено, по процедура сведения к последовательности упругих решений является весьма устойчивой к величине шага по нагрузке.
Поэтому указанная процедура наиболее подходит к задачам, в которых материал подчиняется условию текучести Мизеса. В следующем разделе для решения задач с начальным напряжением будут представлены более общего вида соотношения между напряжениями и деформациями, к которым добавлялись различные условыя текучести. Теория пяоапинное пи 312 Зш Гяово 7 з) соотношение между напряжениями и деформациями, описывающее поведение материала прн пластических деформациях. Требование «а» было подробно рассмотрено в гл. 5. Поэтому здесь будут обсуждаться только требования «б» н «в». Условие текучести прв изотроппои упрочненнн можно ааписать в следующей обшей форме: Г (оер й) = О, (7.32) где й — параметр, характеризующий работу упрочнения (см. выражение (7.3)) н мгновенное положение поверхности текучести в и-мерном пространстве напряжений.
Из физического смысла задачи вытекает, что условие текучести не зависит от ориентации используемой системы координат н является функцией трех ппвариантов напряжений. Принято два из этих ннварнзнтов представлять как функции девиаций напряжений (см. гл. 5): 1 /г = аоо, й» =- — 25//5//, /я =-з- 5//5/»5»е В данном случае вместо инвариаита /о используется другой инвариант напряжений а, известный как угол Лоде 1151.
Этот инвариант был введен в равд. 5.1 и удовлетворяет условию 3~з / ' .н — —.а а =- — агсз(п ' — ' — а — '. (7.33) 6 3 ( 2 /»/о ~ 6 Используя зти инварианты напряжений, можно применять различные условия текучести, в том числе П5! условие Треска 21',/»соза — а, = 0; (7.34) условие Мизеса .1 ЗХ, — а, = 0; (7.35) условие Мора †Куло — жп ез' -1 /« 3 — / 1 -; — 1 г ~сова — = згп а шп 3/') — с'созер =- 0 (7.36) » здесь е(' — угол внутреннего трения, с' — коэффициент сцепления материала); условие Дракера — Прагера а'/, й.
у го — К' =- О, (7.37) где 2 ма Ч/' К, 6о' сов Ф' (7 38) (ГЗ (3 — вгп э') )Гз (3 — мп чг'1 Гипотеза Мора †Куло следует из условия Дрзкера — Прагера при плоском деформированном состоянии, если а' и К' записать в виде П7) — К' — " (7 30) 12, » 1//г ' ' Ч + 12, » )//г Для рассматриваемых здесь задач условие (7.32) можно взять в виде Г (аы, /1) = / (о,/) — ф (й) = О, (7.40) где, как можно видеть, /(оы) — скалярная функция напряжений аы, которая играет роль эквивалентного напряжения а,. В заключение можно определить эквивалентную пластическую деформацию е,', приращение которой порождает приращение энергии пластической деформации а,йе,', —. а//йер// = йй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
