Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Поэтому если скорости неупругих деформаций известны, можно снова воспользоваться фундаментальными решениями (см. гл. 5). Соотношения (6.4!) — (6.53) относились к трехмерным телам. Эти уравнения можно применять также и для плоских задач, положив г', 7', й, 1 =. 1, 2 и е — е'„+ е",г+ е„'г для плоского деформированного состояния, заменяя ч на ч =- ч7(1 —; — ч) и полагая е = е,'л+ а,х для плоского напряженного состояния.
В этой книге описаны различные процедуры решения приведенных выше уравнений методом граничных элементов. Как показано ниже, из приведенных здесь уравнений вытекают раалнчные формуляровки, поэтому далее широко используются понятия о начальной деформации и начальном напряженпи для обозначения соответствующих нм интегральных выражений. В этом замечании, возможно, нет необходимости, но оно здесь приводится во избежание путаницы с некоторыми ранее приводившимися формулировками метода конечных элементов, где слагаемые с начальными деформациями нлн напряжениями были введены для обозначения способа, которым вычислялись приращения пластической деформации с помощью определяющих соотношений 139).
Эти формулировки с так называемой начальной деформацией не позволяют рассматривать случай идеальной пластичности. Это ограничение, разумеется, пе распространяется на используемые здесь соотношения. 6.4. Формулировка, использующая граничные интегралы В гл. 5 было показано, каким образом следует яспользовать метод взвешенных невязок для получения интегральных уравнений.
Преимугцество исгюльзования подхода, основанного на методе взвегззениых невязок, состоит в том, что он очень хорошо соответствует методу шсленного решения реальной задачи. Этот подход включает некоюрые интуитивные физические соображения в процессе численного решения дифференциальных уравнений, и, что более важно, позволяет (поскольку он носят общий характер) Гячнгтнен зленегети е задачах длл неунаугих тел получить единообразную процедуру, которая дает возможность связать метод граничных элементов с другими численными методами (такими, как методы конечных элементов и конечных разностей). Основные моменты этой процедуры приводятся ниже; огтальные детали читатель может найти в гл.
1 и 2, где представлено подробное обсуждение. Будем искать приближенное решение уравнения равновесия (см. уравнение (6.43)) где Г, + Г„=. Г. Для выбранного решения йг погрешность ьюжно минимнанровать, записав в соответствии с методом взвешенных невязок соотношение ~ (ог,, 7 — б,) и лЮ вЂ”.. )г (р, — Р,) и) е(à — , '~ (йл — й,) рл е1Г, я г. г, (6. 56) где ил и р, "соответствуют перемещениям и поверхностным напряжениям в поле весовых функций.
Отметим, что величины р,' равны р; = пглпп (6.57) где пз — направляющие косинусы внешней нормали к границе тела. Если одни в те же характеристики материала (Е, 6 и ч) применимы как для аппроксимирующего, так и весового полей, то первое слагаемое в соотнопгении (6.56) можно проинтегрировать по частям, что дает — ~ й7ее)ее(12-, '~ Ьлглле(Я=- — ~ Речи)е(Г -~ Рлпле1Г я Я г. г, + ~ (й, — ил) р',е1Г. г, Из соотношения (6.46) получаем 278 Глава б 279 — ~ й!«е;» Ж] — ~ р,и; в(Г г, г, г ~ и;'ы (9, х) еч» (х]Ж] (х). (6.65) 6.5. Внутренние напряжения где оу = Сы»>9», (см. выражение (5.31)), Подставляя выражение (6.59) в уравнение (6.53), найдем ~ о;»е;> е]!! - ] Ьви„>((] =.
— ~ р,и,'; ) (й» вЂ” и») р;ПГ. (6.60) Здесь так>хе можно проинтегрировать первое слагаемое по частям: ) о!», ]й»Ж] ! ] йг»з>»с]!] , '~ Ь' и»г](] =— и и и — ~ р»и»в!à — ) р»и»г]Г' ,~ й»р»>!Г ',— ~ >]»р;,г]Г, (661) Это соотношение в общей форме можно представить так: ] Ь»и, л](] = ~ и»р» йà — ~ р»и» Ж ,'— ~ и»Ь» >]Я + ) е;»о',» >б), (6.62) где использовалась подстановка о,*,; = — Ь].
Поступая так же, как и в гл. 5, можно предположить, что поле весовых функций является решением фундаментальной задачи (5.54), в которой функции Ь» определяютсв выражением (5.49). Таким образом, для каждой единичной сосредоточенной нагрузки е, получаем следующее уравнение: йв(9) = ~ ий(9, х]рг(х)Ж(х) — ~ р,';(С, х) й;(х)г]Г(х] + ) и>7(4, х) Ье(х)г](](х) —, ~ е!»7($, х] ор(х)в](]!х), (6,63) Уравнение (6.63) является аналогом уравнения (5.53) для материалов с неупругнм поведением. Следователю>о, как уже говорилось ранее, если исследуется фундаментальное решение для полупростоанства, то при вычислении второго граничного интеграла вместо поверхности Г надо взять Г'.
Интересной особенностью метода в форме начальных напряжений является то, что в отличие от уравнения с начальными деформациями здесь переход к двумерной задаче сводится к уменьшению до двух числа значений, принимаемых индексамн. Однако в обоих случаях переход Гра«а«нна ллвл>«ныл в вада«ал длл наунругал а>вл Г можно выполнять так же, как в в случае идеально упруго>о тела. В результате получаем следующее соотношение: г»(9] и, Я) 4. ~ р,", (3, х) йг(х)л]Г(х) = ~ и;! (в, х) рг(х)е]Г(х) + .!. ~ и;](5, х)Ь](х)>](](«) 4 ~ е,»,(5, х)о~!»(х)Л](х), (664) где для форыулировки с начальными деформациями последний интеграл можно взять в виде Следует отметить, что формы >равнений как с начальными напряжениями, так и с начальиымп деформациями полностью эквивалентны.
Зто будет показано в равд. 6.6, где представлено подробное обсуждение двух формулировок метода граничных элементов. Основное значение прп шаговом методе решения задач для нелинейных материалов имеет вычисление напряжений во внутренних точках. Как было похазано Теллесом и Бреббия ПЗ], для того чтобы добиться как точности, так и эффективности вычислительного процесса, предпочтительнее при вычислении перемещений во внутренних точках использовать соответствующее интегральное уравнение, а затем дифференцировать перемещения численно, как это делается в методах конечных разностей и конечных элементов.
Авторами данной книги в предыдущих публикациях были представлены корректные интегральные уравнения для напряжений во внутренних точках. 11оскольку при их выводе требовалось вычислять сингулярный интеграл от функций, описывающих иеупругие свойства материала, что зачастую приводвло к неправильныы соотношениям 12, 5, 11, !6], в данном раздече приводится соответствующая процедура ]!5] получения этих уравнений. Авторы надеются, что это прольет свет на общую концепцию, первоначально сформулированную С.
Г. Михлиным (17] н использованную в работах ]6, 7]. Для простоты будет рассмотрено только фундаментальное решение Кельвнна и уравнение с начальными напряжениями. Кроме то>о, ранее использовавшиеся обозначения здесь будут 28! Граничные влеиенмы в задачак длл неуаркгик лмл Глава б несколько упрощены н выражение (6.63) можно записать в виде й! = )' и)(Р(((à — ) д;;й(йà —,' ~ и,*;д((((2.)- г г о + ~ е(л(д!»(((г. (6.66) 11ринимая закон Гука для упругой части тензора скорости полной деформации, получаем (см. выражение (6.46)) следующее выражение для скоростей напряжения: оы = 0 ( — ' (- — ' ) + — — Ьп — о;г. ,( дд! дит ч 2пч ди» (6.67) (, дкт ' дк! ) ' ! — 2т дк» Напряжения в точках, расположенных внутри тела, можно вычислить, подставив в эту формулу выражение (6.66), причем производные по пространственным координатам в выражении (6.67) берутся по координатам, связанным с точкой приложения нагрузка.
Так же как н в случае упругого материала, такое диф. с! Ке, Рис. 6.9 д рмиекню дкумернык задач: а — лнрклк с с тм рдн»т с нл мл и к точк о =- М б — см и к и точка 2 доло коордк и нр моттолчно» с стеки к рд л . "и ференцирование можно выполнить непосредственно для тензороа фундаментального решения, входящих в три первых интеграла выражения (6.66). Однако последний интеграл требует специального рассыотрения; с формальной точки зрения этот интеграл можно записать в следующем виде: У(=Ип! ~ е(»(д(»(Ж, е е о где область»л, получается удалою(ем пз области (1 сферической области радиуса е с центром в точке 9 приложения нагрузки. Тогда соответствующие производные функции !', можно записать в виде — =-1нп — - ) е,'»(одд22 ~. (6.69) дк„=„„~дк„3 (ч ' Для упрощения и сохранения в то же время достаточной общности выкладки будут сделаны для двумерного случая.
Тогда е представляет собой радиус круга, который можно задать в полярной системе координат г, О с началом в точке О =: $ (рис. 6.9, а). В этой системе координат тензор е!»! можно представить в виде Че!»! (Чт)/г (г, О). (6.70) Тогда для случая, показанного на рис. 6.9, а имеем г (г, О) = г и чт (г, О) --- О; ио если сингулярной точке дается малое иеремещеняе в направлении координаты к прямоугольной системы координат, то при этом не только координаты г и (р будут отличаться от г и О. но изменится и граница Г, (см. рис. 6.9, б), что указывае~ на зависимость ее от координат точки приложения нагрузки.
Выражение (6.69) можно представить в форме тк ! д(б! (6.7!) что позволяет применить формулу Лейбница ') для выражения в скобках, а именно: я д д Ч'д~ . - — Г д ! Ч'!»! ° а - — 'РЛ»! .а - др — — пг»ге(р = ) — — дг»г г(г — — 'о!»е —. дсы е ! дк„, ! е ) е(е Е) дкм е » (6,72) Учитывая равенства О = — В и г (е, О) = е, после подстановки выражения (6.72) в (6.71) получим ки Л(ч! »и — 1(п! ) — ( — ') ьг»г((г((чч — д!» Д) ~ ч(е(»(соз(г,ки)((Ф, ° о дкм ) е е .) дк,к, г У о (6.76) где д!» (2) — значение скорости начального напряжения в осо- бой точке. ') Формула Леабкия» нмыт кид [ дя де! д(ы да ' да — 1 — р(к, а) Лк= — дк — р(Ф(, а) — '+ Р(В» а) р, (а! р, (а! эзз Наконец, следует доказать существование первого интеграла в выражении (6.73), который можно записать в виде ) 1пп ) — ( ы')йгогйгйр = л =)а.(а„,.)иь ь(м-'г.)гг— о а г г В)о,, 3 ал — 3 ьа|~ )о„аггг), (Б.тл) а а о где Чггнг (ф) =- ггд (Чгтнг/г)/дх .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
