Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(6. 2) В действительности же никакая из теорий не дает достаточно точного учета влияния упрочнеиия при разгрузке. Кинематическая модель, хотя и более точная в этой ситуации, приводит к неточностям при описании эффекта Баушингера (21), а пзотропная модель не учитывает подобную анизотропию поведения материала. Тем не менее модель изотропного упрочнення является более простой и поэтому довольно широко используется.
Более того, препятствие, имеющееся в теории с изотропным упрочпенпем, можно преодолеть, воспользовавшись фракционной моделью (35, 361. В этой модели частица материала считается как бы состоящей из различных частей, которые можно рассматривать как подэлементы, соединенные параллельно и представляющие изотропное упрочнение при пластическом деформировании.
Наделяя каждый подэлемент различными свойствами и предполагая, что все подэлементы имеют одну и ту же общую деформацию, можно сколь угодно близко опнсать реальное поведение материала, включая и эффект Баушпигера. 266 Глиэа 6 би е =- е' + ал, (6.3) е' == о/Е, (6.4) Как видно из рис. 6.3, чисто упругое поведение иа начальном этапе натруженна возникает при о — у'( О. (6.5) й= ~обея, „= И 1 пе)ея (6.8) откуда следует (6.9) ИЛ> ! Ид би и (6.10) Если оставить один подэлемент, получим теорию с изотропным упрочнением. Однако при необходимости модель может описать также и кннематическое упрочнение, если соответствующим образом выбрать число подэлементов, ях размер и закон пзотропного упрочнеиня. Это означает, что в кинематической модели уже больше нет необходимости, и поэтому в последующих разделах книги внимание будет уделено теории изотропного упрочнения.
Кроме того, здесь н далее для простоты >юлагаем о =- О. Если считать, что полная деформация е состоит из упругов е' и пластической ел деформаций, то можно написать б е — — и( — б л Рпс. 6.3. Диаграмме яапряжеяпя — дефпр маапп прн пднопекпм растяжении-ежптяя когда дефпрмпдия имеет упругую н пляс>и чеекею еаетлпляющие. Когда напряжение о превышает предел упругости !', это условие меняется и о сравнивается с пределом текучести ою что дает о — о,<0, (6.6) где п„имеет начальное значение, равное 1', и изменяется по определенному закону при развитии пластических деформаций.
Для случая, указанного на рис. 6.3, имеем Ег ое= К '- ея. (6. 7) Длп того чтобы сохранить достаточно общий характер настоящего обсуждения, это выражение можно связать с гипотезой о работе упрочнеиня, предположив, что о, является функцией параметра упрочнеиия й, который представляет собой пластическую работу Гриииииеи элелеижм э эадаеах длл иеиарулих еил 267 где (!' — тангенс угла наклона касательной к кривой, определяющей зависимость напряжения от деформации при одноосном растяжении, Выражение (6.7), соответстиующее линейной функции, описывающей работу деформации, можно представить в виде ое = К + (!'ал, (6.11) где Н' в этом случае будет постоянной, равной Д = Ег((1 — Ег(Е).
(6.12) Учитывая неравенство (6.6), видим, что пластическое поведение возможно при выполнении следующего условия или критерия: Е (о, й) =.- о — о, =-- О. (6.!3) где Е (о, й) — — функция текучести, удовлетворяющая условию Е (и, й) ~ О. (6.14) Как уже упоминалось ранее, пластическое поведение иекото. рых материалов зависит от скорости деформации. Однако, согласно содержанию классической или нереологической теории пластичности, независимость от времени является основным из допущений этой теории, что делает невозможным одновременное описание как пластических, так и реологическнх эффектов.
Подобное единообразное описание составляет содержание теории вязкопластичности. Каждый материал обладает более илн менее в~раженными свойствами вязкости. В ряде задач этими свойствами можно пренебречь, что никак не скажется на результатах; однако имеются задачи, где нх влияние может оказаться существенным, и то~да зависимость процесса деформировання от времени станет важной характеристикой иеупругого поведения. В подобных случаях пеупругне деформации зависят от всей истории изменения напряжений во времени и от пути натруженна, Отсюда следует, что различным путям иагружения в различной длительности процесса нагружеиия будут соответствовать раалнчные реву.уьтаты.
Одной нз наиболее общих моделей неупругого материала является упруговязкопластическая модель Перцяпы (30 †3, В этой модели предполагается, что материал проявляет вязкие свойства только и пласт>щепкой осьчастп, а это означает, что при Е( 0 кисет место >исто упругое состояние. Кроме того, условие текучести (6.13) теперь будет прстставлять собой лишь начальное условие, называемое здегь сгатнческим условием текучести.
Не. смотря на этп общие особенности, вязкопластическое состояние возникает прн Е (и, й] ) О. (6.! 5) что невозможно для так называемых нереологических теорий пластичности. Глава 6 Гранавмве влеменвеве в задавал для неулрував вил 2Б9 е !ластнческая деформация при одноосном нагружении для чувствительных к скорости нагружения пластических материалов определяется скоростью деформации в виде в = 7 (Ф (Е1пв)), (6.
Рб) где точкой обозначена произнодная по времени, у — параметр материала, который может быть функцией времени, температуры и т. п. Кроме того, здесь имеем (Ф (Е(ав]) = 0 при Е < О, (Ф(г!ов))~0 прн Е)0, (б 17) Функция Ф выбирается иа основе экспериментов и может иметь различный вид, например (30): Ф(Х]:--Х", Ф(Х) = Х, Ф(Х) =ехр(Х) -1, и М Ф(Х) = 2л Л„[ехр(Х") . 1), Ф(Х) — ~ В„Х".
(б 18] Из выражений (6.18) ясно видно, что скорость нарастания нсупругих деформация являетсн функцией приращеинй напряжений относительно статического критерия текучести. Эта функция указанных вьа', приращений напряжений определяет ! в-'в - б тельно выбранным законом, описыскорость вязкопластических деформаций в соответствии с предварил ' е вв вающим вязкие свойства материала, который представлен реологической моделью, показанной на рис.
6.4. В этой механической льодели предполагается, что узел с трением способен выдержать напряжение пвплоть до значения о = и„, после чего при о ) о, в узле возникает проскаль. рве, Б.4. Ревлогвчеевев чохель, зывание Когда это происходит, вписав~~шва ЭЮ~""~"~"~"'"' приращение напряжения и — и, вос- принимается демпфером (который может иметь нелинейную характеристику), что порождает вязкопластнческую деформацию. Упругая часть полной деформации создается упрутой пружиной. Следует отметить, что в общем случае делепфер н узел с трением могут обладать свойствзми, которые зависят от вязкопластической деформации (Н' „-ь О).
Таким образом, спустя некоторое время при действии постоянного напряжения и механизм с трением становится снова жесткнч и при выполнении статического критерия текучести вновь восстанавливается асимптотическая статическая ковфпгураппя (й' =- 0). Для того чтобы показать эквивалентность реологической модели и выражения (6.16), рассмотрим условие равновесия (и ов) о =- Е + а, (б.!9) где Š— напряжение, воспринимаемое демпфером, о, — часть напряжения, относящаяся к механизму треняя. Напряжение в вязком демпфере связано со скоростью вязкопластической деформации соотношениел» г = 1ьар = р (в — з'), (6.20) где р — характеристика демпфера.
Подставляя выражение (6,20) в равенство (6.19], получаем а = ве+(1)р)(п — и,). (6.21) Поснольку скорость деформаций в соответствии с формулой (6.3) равна в .= в' ф вв, (6.22) из выражения (6.2!) имеем ев = (1(р) (и — а,). (6.23) Это выражение будет соответствовать формуле (6,16), если положить Р =" пв/7, Ф (Е1пв] = Ееов (6.24, 6.25) Рассмотрим некоторые аналвтические решения уравнения (6.21). Для простоты предположиле, что Н' =- О (и, = 'г'), используется модель одноосного растяжения-сжатия и нагружение соответств> ет постоянной общей скорости деформации.
Тогда уравнение (6.2!) принимает вид е= — 9 т (и — у), (6.26) откуда получаем следующее линейное дифференциальное урав- нение: о (- ту о=-Е(а фу), (6.27) где з = сопз1. Решение уравнения (6.27) имеет вид а = $'( — ',- 1) 1-Сехр( — — 1), (6,28) где ( — время, постоянная С зависит от начальных условий. Если при 1 = О нмееле в ==- у7Е и ев = О, то для напряжений по. лучаем выражение а = — ! 1 - ехр ~ — — 1) 1; 1', т (6.29) Гронсжнае ллгнентн е аодови длв веунругив жел Глоео б 270 которое можно представить как функцию пе нременя, а деформации (рис. 6.6) и= — ' 1 — ехр~ т (1 — „.')~1 , '!'.
(630) С дру~ой стороны, можно предположить, что и начальный монеты возникает деформация в == Я/Е) (е/у + 1), а затем полная деформация )аеличинается с постоянной скоростью. В этом случае приведенное выше выражение значительно упрощается и напряжение становится постоянным: и = )г ((е/у) ! 1!. (б. 31) Этот случай показан на рнс.
6.6 /г ! а :г), 70+а/7) е Рпе. 66 Диаграмма капрвжевпа— дефпрнацлв прв пдвппеппв паетвже. пвп-ежаткв, когда е — сспм (прп т = = О втвпвеппе првкоаднааетеп дефпрнацпп е = (т/Е) 1(етт) Р 10 Рве. 6.6. Диаграмма вапрвжевав— дефпрнаппл прп адкппевов раетпжепкв-ежатпп, когда г = еппа! (прп Л: —. =- О анеен е,:.-. У/Е). Здесь будет поучительным обратить внимание на важное различие между нереологической теорией пластичности н предложенной здесь теорией пластичности для аязкнх магериалоп.
В случае чистой пластичности критерий текучести (6.13) дает необходимое условие нозникноаепия пластического поведения. Как только точка, характеризующая напряженное состояние, будет удовлетворять условию Е = О, можно определить условие нагруженин (Н' ) 0), зависящее от того, что произойдет затем, а именно прп о н. О, имеет место разгрузка (упругое деформироаанне), а при о ) 0 — догружеяпе (упругопластнческое деформиронание). Однако для нязкопластнческих материалов имеет место н случай Е ) О, и поэтому они будут демонстрировать иязкопластическое поведение, полностью независимое от условий о ) 0 пли и ( 0 Интересной особенностью упругоняакопласгической модели является то, что при медленном уэсли генки нагрузки получаются результаты, соотнетстаующие классической теории пластичности /при услокнп, что возможно статическое состояние Е = — 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
