Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Об этом уже упоминалось ранее при описании реологической мо.гели (см. также рпс. 6.6). В данном случае функция 67 и параметр у станопятся несущественными, причем последний будет скалярным коэффициентом прн времени, превращая аремя и фиктивную переменную нелпчину. Эту особенность можно легко обьяснить, переписав выражение (6.16) и виде (Е тж 0) ел = )в)т (Е/и,), (6.32) что можно представить и следующих экниаалентиых формах: Е = ~Ф ' (тл/у) (6.33) Е = пеФ ' Це — (б/Е))/у) (6.34) Для медленного шагоного процесса нагружения скорость становится пренебрежимо малой на пути нагружепия, поэтому повсюду приблизительно аьпюлпяется условие Š— -= О.
На практике можно придумать программу дискретного нагружения, согласно которой нагрузке непрерывно даются малые приращеяия. После каждого приращения нагрузка остается постоянной и таким образом системз получает возможность прийтн к стационарному состоянию (т. е. а реологнческой модели вновь выключается фрикционный элемент]. Подобным способом можно проследовать по всему пути нагружения, причем статическое условие текучести будет удовлетворяться и отдельных тоннах пути кагружения.
В рассматриваемом здесь случае одноосного нагружения приращения нагрузки можно задавать пропзнольно, сохраняя неизменной лишь их сумму (н конечной точке). В случае задач для сплошных сред это не так, поскольку там возникает перераспределение напряжений и тогда можно це получить один и тот же процесс изменения напряжений. Поэтому и общем случае следует всегда придерживаться малых приращений. Из предстанленной на рис.
6 4 механической модели видно, что ныключиа демпфер, т. е. полагая и = 0 (или считая у — г- пп), получаем упругопластическую модель с мгновенной реакцией. Отс1ода непосредственно следует ограничение и к п„необходимое для выполнения условия ранноаесип. Другое полезное саойстао можно получить, предположив, что аместодемпфера отключается механизм с трением (т. е. считая о„= - 0) В этом случае механическая модель сохраняет сион реологнческие свойства и соответствует хороню известной моделн Максвелла, где демпфер с линейной характеристикой соединяется с рядом пружин Поэтому приняв, что демпфер обладает нелинейной характеристикпй, с помощью такой всеохватывающей модели легко описать так назыиаемую вторичную или устанониншуюся ползучесть металлов (21, 23— 26). Этот вопрос будет обсуждаться ниже.
Из экспериментоа известно, что некоторые металлы, обычно при поаытпенпой температуре, могут с течением времени лепре. 273 Грана»в»а влемента в задавал дт нернруеал тел Г,газа д рывно деформироваться при постоянной вагрузке. Зто явление называется ползучестью, а зависящая от времени деформация, порождаемая этим процессом, называется деформацией ползучести. Типичная зависимость деформации ползучестн е' от времени при постоянном одноосном нагружении показана на рнс 6,7, Первый участок (»В кривой, где быстро уменьшается скорость ползучести, относится к первичной или неустановившейся ползу- чести.
На этом участке при снятия нагрузки состояние обычно восстанавливаетсн. На втором участке ВС скорость ползучести е постоянна н поэтому он описывает процесс установившейся нли вторичной ползучести. На этом этапе ползу честь данг остаточную деформациго. Последний этап С0, называемый (( третичной ползучестью, характеризуется быстрым увелнченнем скорости ползучести и л ' . — — — — — — — — м. вскоре приводит к разрушению.
На третичную ползучесть в значительной степени влияет уменьшение площади поперечного сечения образца при больших деформациях. Это обстоятельство, а также, как правило, незначительная длительность первичного этапа обычно приводят к тому, что в основном интересуются вторичной ползучестью, хотя отнюдь не всегда можно пренебрегать и первичной. В испытаниях при постоянном напряжении обычно описывают деформацию ползучести с помощью соотношения кс=н(а, (, Т), (6.35) где Т вЂ” температура.
Хорош»ей обзор различных вариантов соотношений типа (6.35) дан в книге [241. При кратких по времени испытаниях превалирует первичная ползучесть. Широко используемое для описания первичной ползучести выражение имеет вид к' = Ван(»+г. (6.36) Для вторичной ползучести предпочтительнее следующее представление: ,с ='Ка ( (6.37) где В, К, ш, и и й — зависнщие от времени характеристики материала. Обобщение приведенных выше соотношений на случай напряжений, изменяющихся во времени, обычно сопровождается введением спорных допущений. Здесь наиболыпий интерес представляет Рне.
адб Тканчазк кривая аалзучеегн арз действии ааеганннай нагрузка. скорость деформации в произвольный момент времени. Таким образом, из выражения (6.36) получаем е = (й ,'. [) Вегы», (6.38) а из представления (6.3?) приходим к хорошо ггзвестному закону Нортона в' —.- Кат. (6.39) Выражение (6.39) можно применять для материалов, поторые обладают свойством вторичной ползучести, оно широко используется для ряда практических задач. Отметим, что это выражение вместе со скоростью упругой деформации а(В можно использовать для построения упоминавшейся выше нелинейной модели Максвелла. Для задач, ггсследуюн»их начальный промежуток времени, вместо выражения (6.38) можно воспользоваться его аналогом.
Это можно сделать, выразив с помощью выражения (6.36) время г как функцию е' и а н подставив результат в выражение (6.38). Окончательно получаем ес — ((з 1 [) Вги»+на (ыжп (е )»(г»нг (6.46) Если напряжение постоянно. то написанное выражение совпадает с (6.38), но для напряжения, зависящего от времени, результаты будут различными.
Данные экспериментов показывают лучшее соответствие с выражением (6.40). Это особенно верно в случае опытов с малой продолжительностью нагруження [241. Недостаток обоих этих подходов состоит в том, что они не описывают восстановление деформаций, обусловленных ползучестью, после снятия нагрузки. Здесь предпочтительнее использовать модели типа описанных в работах 135, 361. В данном кратком описании рассматривался только случай а ~ О.
Следует учитывать, что прн а ( О будут возникать отрицательные деформации ползучести нли пластичности (1 а[ ) ~ а,). Выражения остаются справедливыми, если во внимание принимать только абсолютные значения напряжений. Необходимость выполнения условия а ~ О станет более ясной в гл. 7 и 8, где будет дано обобщение на неодноосные напряженные состояния, а полученные при этом соотношения легко позволнют перейти к эквивалентной или более удобной форме.
Для ряда практических приложений такие материалы, как бетон и грунт, можно в идеале считать способными выдерживать только сжимающие напряжения и деформации и не сопротивляю. щимися растяжению, что в литературе характеризуется как поведение, не допускающее растяжения [371, В этом случае можно сказать, что материал может вести себя одним нз следующих двух способов. В первом иа них материал пе может воспринимать никакого растяжения (рис. 6.8, а), нагружение н разгрузка при ра- Глава Б Граввенне елеаеавси в тдавак л.гл веуаругак свел стяжении описываются горизонтальной линией. а наклонная пря- мая представляет .чине!)сно-у пругне свойства материала прн сжа- тии. Материал прп этоз| считается упругим.
Прн втором способе материал ведет себя как пластический при отсутствии растяжения. г В результате получаются различные пухи разгрузки, ,'р е,с-»вру вг Кан ЭХО ВИДНО НЗ рПС. 6.8, б. все!дев г 6.3. Разрешающие сж к Првсыже. се! т» »грев*, с! Кгг»Ее»Со Р»ссс !авеле е к еср!»сев»в с!рве!еже» г влп» се»!режи сящей от времени скалярной велич упругопластических деформаций, об пеупругих материалов может быть . 1 вц= — (и,, -, иь .в где а,'; н ец-- соответственно упругая и иеунругая части тензора общей скорости деформация.
Здесь под неупругимн деформациями понимается любою вида поле деформаций, которые можно расматривать как «начальные деформации», а именно; Рнс. 8.8. Ввдн дне!реми (а — ар в сав леденев путей несружеаве; б — врв ве совпеденвн путей вегружеввв). В этом разделе приводятся основные дифференциальные уравнения для неупругой сплошной сре!а!. Лля того чтобы сохранить единство обозначений, уравнения записаны в скоростях. Эго является естественным для таких задач с зависящим от времеви поведением, как задачи вязкопластвчиостн н ползучестн. Следует отметить, что н в классической теории пластичности также можно использовать прярасцепня, поскольку ее соотношения не меняются во времени.
Тем не менее наступление пластического состояния можно связать с параметром, аналогичным времени, который в действительности является не аави. иной. Согласно теории малых щая скорость деформации для чан!пана в форме !)=е;; . е'ц, (6.4)) где ев, — скорость пластической пли вязкопластнческой деформзции; зц - скорость дефорчаппп, обусловленной ползучестью; .г ° ! ец — скорость температурной деформации; ас! — скорость начальной деформации, обусловленной различнымя другими причинами.
Уравненне равновесия (5.3) здесь можно записать в скоростях: сг;1„-'; б! — — О. (6.43) Уравнение (6.43) справедливо для внутреннях точек тела. Условие равновесия, записанное на граничной поверхности, приводит к соотношению (5.5), записанному в скоростях: Р, -. пцн! = О, (6.441 где и! — направляющие косинусы внешней нормали к границе тела. Если неупругие деформации рассматриваются как начальнь!е, то применение закона Гука к упругой части теиаора скорости полной деформации дает следующее выражение для компонент скорости цапря>кения: пц =- 20(вц — е,'!) -)- (еге -- е)бц, (6.45) где е = аее — скорость неупругой объемной деформации.
Это выражение можно записать через начальные напряжения . 2бв йц = 20ец -1- ' ее»бы — псп где бс! — компоненты вначалысых напряжений», имеющие вид пц=20ег+1-2 еб! .а 26! (6.47) Подставляя выражение (6.45) в [6.43), с учетом выражений (6.44) и (6.41) получим (23) йг,ц ',- — 1~нипц=2(ец,г+ — е,!) — — !. (648) Р! )- 20 (хес!н1 — — 2 ен! ) = 1 — 2 иг,гн! г 0(йс,! 1-йг,)н!. 2бв (6.49) Уравнение (6.48) является расширенной формой уравнения Навье (5.32), а соотношение (6.49) описывает граничные условия в напряжевиях (см.
формулу (5.53)). Лругая форма записанных выше уравнений и граничных условий имеет вид в . Б. йьп с- — й, ц=- — — ', 1-2в ' 6 (6.50) р; = — и,,п, в-0(и,, '. 61,) п, (6.51) Глана д 276 (6.54) о,з; БỠ— 9 с граничными условпямя и; -= пг на участке Г, границы р, = р, на участке Г, границы, (6.55] (6.58) ° е оег = огг — ое1, (6.59) гдс бз и бл Явлаютса соответственно псевдообъемнымн силами и псевдонапряжениями: бг — 61 — 2ег(аег,, ,'- —,е 7) = бг — оеп е, (6.52) бе =- ре; 2чгг еегпг - —, епе) =- ре ) оупг. (6.53) Можно видеть, что уравнение (6.50) определяет собой систему трех квазилинейных дифференциальных уравнений и частных производных относительно скоростей перемещеняй (слагаемые, обусловленные неупругпм поведением материала, находятся в правой части).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
