Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 40
Текст из файла (страница 40)
5.39. Углы, нснальзус мыс арн вычнсленнн нозф фнцнеюон си с г (0]г](0] — . '2л ~ ргу](5, х) и;(х) г(х]к(Г(х) = 2п ~ и,"; (5, х] р, (х) Х г г Х г(х)г]1 (х] -2Л) игг.(5, х)]г](х)г(х]Ж](х], у, у=г, г, [5182) где коэффициент 2пг (х) появляется вследствие интегрирования по гр и, следовательно, граница Г и область 12 соответствуют только двумерному случаю. Отметим, что это уравнение справедливо также н для внутренних точек (с С Й).
если су! (0) = Ьы. Другой особенностью уравнения (5.182) является то, что в отличие от ранее расс!!а!репных трех- и двумерных случаев коэффициент сы (5) вместе с соответствующим главным значением интеграла нельзя найти пз-за наличия перемещений тела как целого в направлении оси г. Но вместо этого можно испочьзовать более простые аналитические решения (например, соответствующие (5.181]' Как можно видеть нз выражений (5.175)--(5.180), не только результирующие уравнения не зависят от гр, но и сама фвзнческая задача является несвязанной, поскальку, с одной стороны, имеются компаса ел,нме е ненты перемещений и усилий, зависяе ке у щие лишь от г н а, с другой стороны, .') имеются зависящие только от ф компоненты ц] и р ',. Поэтому будем рассматривать систему координат с осями г и а; зз подробностями следует обратиться к работам Мейера [421и Риццо г — — — и др.
[46), где описано применение выделенной части фундаментального решения, определяющего изменения в поперечном направлении, к задачам чистого кручения. Пр!еменвтельио к граничному интегральному уравнению использование фундаментального решения в виде функции г от г дает иагружению внутренним давлением). Более того, из определения коэффициентов с,! (см. выражение (5.75)) следует, что этот случай соответствует плоскому деформированному состоянию, где имеем [171 с= 1 Вн (1 — ч) Х 4(1 — ч)(0,— 0,)+з!и 20,— -зуп 20з 5!пей! -- 5]п'О, з!п'О, Мп' О, 4(1 — ч)(0,--0,) — Мп 20, +а]п 20е~ ' (5.
183) Здесь О, определяется так, как показано иа рис. 5.аи, и, кроме того, О,=-О,— 50, (5.! 84) где ЛΠ— абсолютное значение внутреннего угла в точке $. Следуя обычной процедуре метода граничных элементов, напряжения во внутренних точках можно вычислить, подставив выРажеиие (5.182) с с,г .='лбгг в фоРмУлУ (5.179), пРичем пРоизводиые и — -нубнчесчнй закан дле леречешеннн пете йй 20 на треугольннне нткн К вЂ” -Гнбрналмй злененг ьленыгее и 10 — Решение с лоношью ннгегральнгт ураетш -е —— [ Р=10г К И-10 [г $ В 1 2 3 ч 5 арене очага,ечноснгсльнмЕ едчнкчм Рнс.
549. Завнснкасгь опшснтчшыкой госрешнастн «кчнсленнн ноеффнцнеага новценграцнв наорншеннй ог времена счета дан различных численник мсшдав решение задачи а цилиндре са сфсрнчеснай ла.костью. находятся в цилиндрической свстеме координат, связанной с точкой 3. Этн производные можно найти с помощью выражений (5. 181). Для того чтобы продемонстрировать эффективность осесимметрической постанонки, здесь рассмотрен случай цилиндра со сферической полостью при одно!юном растяжении. Этот пример исследован Мейером [44] с помощью постоянных гранвчных элементов. На рнс. 5.40 предстаилена зависимость относительной погрешности для коэффициента концентрации напряжений от времени счета н приведены результаты двух исследований той же Ггпоп З йтоошггис»г эадпо» »слоу»» упруго«асс задачи методом конечных элементов. Очевидно, что в этом случае решение методом граничных элементов оказывается очень эффективным.
5.15.1. Распространение на случай неосесдмметрпчных граничных условий Вели для осесимметрнчного тела заданы иеосеснмметричпые граничные условия, то решение задачи будет зависеть не только от радиальной г и осевой г координат, но также н от угловой координаты ср. Подобные случаи тзкже можно исследовать с помощью специальной формы метода граничных элементов, в которой используется разложение неизвестных функций в ряды Фурье (см.
равд. 2.14]. Основным моментом в такого рода задачах явля. ется достаточно точное представление перемещений и напряжений (вместе с тенэором фундаментального решения) в виде разложения в ряд по ортогональной системе функций от йл Это позволяет выполнить иитегрзровзние по ил аналитически, и поэтому, несмотря на некоторое усложнение, трехмерная задача вновь сведется к двумерной. Описание такого метода приведено в работе [441, подробное рассмотрение виалитической формулировки, включав фундаментальные решениз, читатель может найти в работах Мейера и др. [43] и Шиппн н др. [4о].
5.!6. Аннэотропия Основным в применении метода граничных элементов к исследоваипсо аниэотропных задач теории упругости явлвется получение соответствующего фундаментального решения. Исходное граничное интегральное уравнение можно, как и ранее, взять в виде (5.77) прн условии, что упругие харзктеристики для фундаментальной задачи берутся такими же, как н в действительности. Следуя обшему подхочу, предложенному Джоном 1471. Фогель и Риццо [48) использовали для фундаментальных перелсещсний в трехлсериом случае следующее интегральное предстазлепче (см. также работу Синга [491): Ы, х) = з', Ф К],'(р)бз, (5.!85) ! ос=-с где контурный интеграл берется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной вектору г (равному разности между радиус-векторамк точек к в 5), с центром в точке $.
Функция К,; (р) представляет собою матрицу, обратнукл матрице характеристик Кц'. (5.186) К, = Сц„р,рь где оцлс — тснзор анизотропиых упругих характеристик, который в изотропном случае принимает вод (5.3!). Кзк отмечали Фогель и Рпццо, контуриыи интеграл в (5.18о) аналитически можно вычислить только для некоторых частных случаев. Оп зависит, однако, только от направления вектора г и поэтому является несиигулярным.
Следовательно, здесь можно легко применить методы численного пнтегрированвя. В своей последней публикации Уилсон н Крузе (501 исследовали эту процедуру с точки зрения эффективности ее реализации па ЭВМ и предложили следующее представление: бц(го о,)= ~ К;,'(р)~, (5.187) где о, и о, определяют ориентацию вектора г. Сравнивая выра. жения (5.187) и (5.185), получим и]с = 6г;/8ягг, (5.188) что также воэзоляет без труда найти соответствующие производные по координатам х для определения фундаментальных напряжений. Этн пронэводиые можно записать в виде исс, г = а 'г г бог+ э г Йс! «в«,г, сг «» 1, 2, (5 189) г,л 1 Описание приемов эффективного вычисления интегралов, входящих в выражения (5.185) и (5.189), можно найти в работе [50]; они применимы для общего вида аниэотропии в трехмерных те.
лэх. Для случая траисверсэльио иэотропных материалов явное фундаментальное решение можно записать, как указывали Пап и Чоу, для бесконечных [5! ] и полубесконечных [521 сред, Решения для трзисверсально иэотропиого полупространства обсуждали также Кобаяси и Нишимура 1531. Применение метода граничных элементов к плоским задачам для аииэотропньсх сред было дано в работе Риццо и Шиппи [54]. Онн отмечали, что здесь может быть получено фундаментальное решение в явной форме !551, в работе [541 был подробно рассмотрен случай ортотропин, включая некоторые практические примеры. Для ясности ниже приводится это фундаментальное решение.
В предположении о плоском напряженном состоянии в однородном ортотропном материале закон Гука принимает вид ил с=о,лац (-с„ао,, и,,=хнам -, 'зогаоо, и,, [-и,п-«о,ган, [5.190) Гааги б Стоят«еские авдо«и теории упругости Наннаженнеге Наннчж ннегн Ускт осч н гсныа Усо, с- очны ае а о» осн, град с сон, Ан»нческс рсшс и Ананаса. «еское решенне Чнсаеннсе реш н е Чнсаенноч вешек с (5. 191) 0,29 0,69 1,1! 1,45 1,8! 0,0 0,29 0,69 1,11 1,45 1,28 0,0 0,0 — 0,84 — 1,!5 — 1,05 — 0,78 — 0,44 — 0,08 52,5 60,0 67,5 75,0 87,5 90,0 0,0 7,5 15,0 22,5 80,0 57,5 45,0 О,Π— 0,85 — 1,!6 — 1,05 — 0,77 — 0,44 — 0,08 где рй =К.~ А» ! ш»г] р]! =- К, ~М» — „., А, Здесь »И» = !г а,л,па — (1/у а») «,и,. (5.
195) 9 вр сща к н др Фундаментальные перемещения, обусловленные единичной со. средоточевпой нагрузкой, приложенной в начале системы координат, равны и! .= К, (Р а» Аг! п 㻠— !г а»А',! п гв), и1» =ич = — К„А!Аг(0! — Ог), иш =- — К„((1/1: а!) А! 1и г, — (1/!'аг) Аг 1п гг), К вЂ”. 1/12л (໠— аа)зш], а» ,'.а» ="11/аеа)!2тш» зеь) о а, = зызш, А, = зш - а,ь„; (5.!92] г» = ']/глг ]- л~г/а», О, = агс!8 [хг/' '(х! »]г/ ас) ). (5.! 93) Здесь а, и а, — действительные положительные числа (это справедливо для большинства материалов).
Рас. 5.41. Круговое ой«о«родное коль- Рнс. 5.42. Распределение коаьцевыл цо, нагруженное равномерно распреде- наоряженнй на внутреннен новтуре аенныы сдвнгашщнн напряженнеи. кругового кольца. Фундаментальные усилия можно записать следующим образом: — = — хапг, р]г = Ко М! = — Мг=, — рм=К.~ ' — "* 1.,п,, (5.194) Фундаментальное решение для двумерцои задачи (плоского напряженного или деформированного состояния) и ортотропных уп. Таблица 6.8. Распределение кольцевых напряженна абакан отверстия ругих материалов было получено»омлнпом 158], который следовал работе Лехницкя (57]. Пример 5.8. Применяя приведенное выше фундаментальное решение (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
