Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Полное исследование влияния объемных сил содержится в равд. 5 14. При дискретном представлении уравнения (5.8?) граница Г задзется с помощью набора элементов. Декартовы координаты точек, лежащих внутри элемента Гь выражаются через интерполнрующие функции хг" и координаты хы узлов элемента с помощью матричного соотношения (5 88) з!гхх и где через х обозначены координаты х„х, и х, трехмерных задач.
Лиалопзчным образом аппроксимируются зза каждом элеченте ззсрелзещеиия и напряжения на границе с помощью интерполпруюзцих функций фхгг з ф рп (5.89) ~и 1 /дз1 и и,, !з.= д,~, (5,90) Кроме того, можно ввести следующие две магрицыз ( и', и,*, из*, ! Р,", д;з К,1 и', и„'з и,'з да р)з д, где и,"г и р), "- соответственно перемещения и напряжения в рас- сматрезваелзой точке в 1-и направлении при девствяя едизззгчзой силы в 1-и направлении, ГДЕ Мл Н )рп — СООтнс~етВЕННО ПЕрЕМЕщЕНИя И НаиряжЕНИя В уЗЛаХ. Отметим, что индекс т в выражении (5.88) обозначает номера граничных точек, требующихся для описания геометрии каждого граничного элемента, а индекс и в выражениях (5.89) обозначает номера грани шых узлов, которым соответствуют узлоные значения перемещений н напряжений.
Эти веллера могу~ быть в обихем случае различными при условии, что, как показано в разя. 3.7, выполняется неравенство щ .м л для того, чтобы удовлетворялись условия перемещения тела кяк целого. Теперь будет удооиее работать с уравнениями в векторной, э не теизорной форме записи. Для этого можно ввести обобщенный вектор перемещений м и вектор напряжений йп Напишем сначала уравнение (587), не задавая каких-.зибо граничных условий: сои, ,'— ) д,',п; б!": = ~ ил',д, дГ.
(5.92) г г Это уравнение можно представзпь в матричной форме си+ ~ р*м о(Г =- ! м*р Л'. (5.93) г г Оно справедливо для сосредоточенной нагрузки, приложенной в точке з, грашщы. Отметая, что р и и* — известные функции, с можно определить аналити лески или нз условий движения тела как пелого (см раза. 5.8), Нензвестиылги являются значения м и р иа границе.
5.8. Граничные элементы Предположим теперь, что граница разбита иа элементы. Они могут быть посзояпными, линейными, квадратичпызш илн более высокого порядка треугольнымн или четырехугольными. На рис. 5.П, а показано тело, граница которого разбита иа постоянные элементы. В подобных элементах считается, что неизвестные заданы в центре элемента и имеют постоянное по всему элементу значение.
В случае, показанном на рис, 5.! 1, б, неизвестные из аеняются по лянейпому закону, а на рвс. 5.11, в — по квадратичному закону. Кроме того, квадратичными функциями описывается и геометрия элемента. Отметим, что в постоянных элементах условие гп ~ и (т. е. условие, что функции, используемые для аппроксимации неизвестных величин, имеют такой же или больший порядок, чеы функции, описывающие геометрию) не выполняется. Это будет приводить к появлению перемещений тела как целого и легко обнаруживается в таких случаях, как прогиб жестко закрепленной на одиохз конце (и свободной на другом) балки, а также и в других задачах с переыещениями тела как целозо. тлен опеле тн олене зиме а б Р нс. Ь !!. Трехмерные тепн, грпнпиз когорых резбнтл ю трсугоаызые ззеыепты (а — постоянные; б — пкнебные; а — кнпхрнтнчные).
Гиоао а 222 Статиуееиие оогооег !и!ории уиууаоееи! 23 (5.99) = (к 11эе!г йп ° й!е) гР ! 5.9. Система уравнений й ! и, йм йм...й! й,г йгг .. йм н„ Г, ! Е !,, !Р О ! т!, гг.!!1 1- — ! ~~ ) б)! ш, (моФ'(ею !),)), ! ! -4~ =Х иг (5.98)' йпйм...й!1...йи йе! йг йег. ° «е ь.11 йгг .
й'1! ° й'1. ег! йегг угг . Кг! й'г Рг (5.)00) с,м, + (йийм .., йп... йг,) и! ! йп к!г йп ° . ° й! Р! Величины и п р можно аппроксимировать иа каждом элементе с помощью иитерполпру!ощих функций (см. выражение (5.89)): п.,фгм р .Фр (5.94, 5.95) Отметим, что и!терполирукицпе функции для и и )з в общем случае могут быть различнымп. Для совместности может оказаться лучпшм взять функции для в па адин порядок меиъше. чем для и. Интерполирую!цие функции уже обсуждались в гл.
3, ио и ро— узловые перемещения и напряжения. Приведенные выше выражения можно подставить в уравнение (5.93), тогда в каждой точке с! имеем си ! ~, ( ()2'Ф'1(Г) ио -- 2 ( ! и'Ф" г(Гг) 72", (5.96) ! !!г! ,; ге. где суммирование по ! от ! до гу" !шпюлпястся для Л! элемситоп иа поверхности тела, Г, -- иовсрхиость элеме!юа. Иитсгралы, входящие в уравнение (5 96), обычно поредела!отея численно, а фупкцпп Ф представляются в той >ке однородной системе координат, что и описанная в гл. 3.
Затем интегралы следует записать в однородной системе координат, обозначаемой через !!1, цг для которой элемент поверхности равен е(Г -= ! б ) о(цгг(г)г. (5.97) Поскольку уравнение (596) интегрировать сложно, обычно используется одна из схем числеипого интегрирования, когда уравиепие (5.96) принимает вид Здесь ( б ( — якобпаи для трехмерного случая, ш, - весовые коэффициенты при численном и!юегрироваипп. Отметим, что уравнения (5.98) представляют собой систему алгебраических уравнений для Рго узза: 'и,! где мг и р! — неизвестные величины в рм узле, йы и ды — козффипиеиты, характеризующие связь рго узла со всеми остапы!ыми узлами на поверхности тела.
Отметим, >то, за искл!очеппеи случая постоянных элементов, подиатрицы йы и сг!! имеют порядок, больший единицы (ЗхЗ в трехмерном сл>чае и 2м2 в двумерном). Для каждого рассматриваемого узла можно записать матричное уравнение в (5.99); объединив их, получим ржами«еемм задачи мюрии аирииииии Гааза 1 224 где подмагрпцы Ьи, стоящие по диагонали, имеют вцд 16.!01) Уравнения (5.100) можяо записать и форме Ни- ОР. (5.102) Палее к этой снстелге следует добавить граничные условия, которые относятся к двум типам: 1) и, и; на границе Г,, 2) рг .. р, ца гржшпе Га Е'.слц известны перемен!сипя, можно найти напряжения и наоборот. Это озпачиет, что лпстемел уравнений (6.102) может быль преобразована таким образолп что все неизвестные окажутся в левой части в виде вектора )е.
Окончателыго можно записать Ах' - х. (5.103) Отметим, что в соотношение (5.101) входят пока еще не определенные коэффиццензы го Их несложно получить, рассмотрев для заданного ограниченного тела ега перемещения как целого Предположим, что имеется равное единице перемещение тела как целого в какольлибо направлении, тогда уравнение (5.102) примет вид Н/л — О, (б.!04) где 1, — вектор, определяющий единичные перемещения тела как целого в направлении 1. Прп этом нетрудно получить днагоцззшиые элементы л~атрнцы Н: йгг= - Ей», (5.1051 е что означает, что в явном виде требуется определять либо коэффициенты г;, либо йм, Рецпчв систему уравнений (5.103), нзйдем напряжения и перемещение ца всей поверхности тела. Затем ллолкшл вычислить напряжения и перемещения в произвольной внутренней' точке. Выражение (5.!05) справедливо для тела конечнога размера, в счучае бесконечных или полубесконечных тел необходимо ввести добавочное слагаемое.
Легко проверить (см. равд. 5.6), что, поскольку перемещения тела как целого есть флнкпия порядка О (!), лсловне регулярностк ца бесконечности уже более не удовлетворяется. Поэтому здесь следует рассмотреть следующее соотношение; се, ( ) и, + и, ~ р,', (а х) дГ (х) -'- 11ш ~ !0 ) р,', („-, х1 ВГ (х! ~ =- О, г г„ (5,106) где и, соответствует процзьольному постоянному по величине перечещеял~ю тела как целого; то ~ха л Э Г Так как тензор рН (к, х) соответствует положительной единичной сосредоточенной наср>зкс, действующей в е-м направлении, условие равновесия для фундаментального решения в области Н" + Г" дает 1'цп ~ р,';(5, х)ЙГ(х) =- — 60, 15. 107) р г и где Гр — граница сферической области.
лежащей в бесконечном пространстве, или граница полусферы, расположенной в полу- бесконечном пространстве. Подставляи равенство (5.107) в уравнение (5.106) и используя дискретное представление, для случая перемещений тела как целого получим (5.108) 5.10. Напряжения и перемещения внутри тела Когда узловые значения перемещений и напряжений на границе известны, можно вычислить внутренние перемещения и напряжения, воспользовавшись соответствующими выражениями, представленными также в дискретной форме, Поскольку здесь не требуется вычисления сиигуляряых интегралов, можно воспользоваться стандартными квадратурными схемами. Интересно отметить, что использование фундаментальнага решения для полубесконечной области делает необязательным дискретное представление свободной от напряжений части границы, поскольку перемещения н напряжения на этой части поверхности определяются так же, как и для внутренних тачек.
Это обстоятельство приводит к системе уравнений меньшего порядка и, кроме того, позволяет не вводить какик-либо численных аппроксимаций на свободной от нагрузок поверхности. Поэтому с одинаковой легкостью можно решать задачи как для палубесконечных, так и конечных областей. Перемещения во внутренних точках описываются уравнением (5.93) при с =. 1, а имению и —.— ~ иир г(à — ~ р"и БгГ. (5.109) Выражения для напряжений во внутренних точках были получены в равд, 5,4 и 5.5 для бесконечных н полубеснонечных областей, в там числе и для случая, когда действуют объемные силы, в Брал к ар. й,=/- /„'йм, г Ф! где / — единичная матрица.
Это соотношение используется вместо формулы (5.105) для диагональных элементов в случае тел неограниченных размеров Глоои д 5.11. Напряжения ма границе и=Фй. 15.110) Три компоненты тензора деформаций (вы, йг„втх) на поверхности граничного элемента можно представить в виде 1 ! дйг дсг ) ву= — 1 — +=1, 1, 1=1, 2, й 'т ддг дйг г' ' (5.111) где для элементов высокого порядка используются соответствующие преобразования координат.
Эти соотношения вместе с уравнениями закона Гука дают трн дополнительные связи, которые можно использовать вместе с уравнениями равновесия н в результате получить шесть компонент тензора напряжений 1 аы — — — [тюм + 26 (вп б тм„)), а„= 26етю (5.!! 2) 1 Ю„= —, [ттм.! 26(ее, +тем)) аге = Рь аеа Ре, аеа = — Рл. В большинстве практических случаев конструктора интересуют не только напряжения внутри тела и яа люГ>ой поверхности, но и полный тензор напряжений на границе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
