Брэббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - Методы граничных элементов (1050609), страница 30
Текст из файла (страница 30)
4.16. Завнснмость темпера- туры от времени для некоторых внутренних точек. 0 О,! 0,2 ОД О,ч ОД Я = Ех соз ~р, Я = Ея з(п гр, где гр — угол (рис. 4.17). На рис. 4.17 представлены схема дискретного представления и результаты численного решения для й = 1, Ьх =- 1 и (.а = 2. Найденные значения температуры в центральной точке (Я = Л = = О), результаты аналитического решения 131) и полученные методом конечных элементов 129) с использованием параболических трехмерных изопараметрических элементов сопоставляются на рис. 4.17.
В методе конечных элементов использовался шаг по времени И = 0,025, в методе граничных элементов — шаг й( = = 0,05. Рнс 4 17 Зависимость температуры в центре вытянутого сферонда от времени. Сплошная линна соответствует аналнтнческому решению. 0 0,2 ОД 0,0 О,В 1,0 192 с лала 4 Задачи теории тешяпроеодиосаш 193 4.9. Нелинейная теплопрозодн эсть До сих пор в данной главе рассматривались только линейные задачи теплопроводности.
Однако во многих практически важных задачах линейность не сохраняется. Наиболее важные типы нелинейностей, возникающие в связи с задачамп теплопроводности, обусловлены следующими причинами: а) нелинейным материалом, когда коэффициент теплопроводности зависит от потенциала и его градиента; б) нелинейными граничными условиями, обусловленными, например, излучением тепла; в) наличием нелинейных источников внутри рассматриваемой области; г) наличием подвижных границ, что связано, например, с фазовыми нелинейностями. Первый и второй типы нелинейностей могут быть исследованы так же, как и в случае стационарных задач о потенциале (разд.
2,15). Случай нелинейных источников можно исследовать путем разбиения исследуемой области на ячейки и интегрирования по ячейкам (интересным для практики случаем является процесс неустановившегося горения (32]). В этом разделе рассматривается применение метода граничных элементов к задаче с подвижными границами, связанными с фазовыми превращениями (затвердением или плавлением),— так называемой задаче Стефана 1331. Эти исследования были выполнены Хуангом и др.
!34 — 37). Интерес также представляют задачи с подвижными границами, встречающиеся в механике жидкостей (равд. 12.3). Для простоты в дальнейшем ограничимся случаем одномерных задач. Рассмотрим сплошную вертикальную пластину, занимакт. щую область — 1 ~ х < 1, в которой задано начальное распределение температуры; в момент времени 1=- 1„эта пластина помещается в расплав того же материала.
Вопрос состоит в том, как будет протекать процесс плавления или затвердения (рис. 4.!8). Граничную задачу о распространении тепла в твердой фазе можно выразить в форме линейного уравнения — — = О, — Х (1) ~ х л,. -Х (1), (4.97) где Х (1) — зависящая от времени координата подвижной границы. Граничные условия при х = 3-Х (с) можно записать в форме и (х, 1) = ир, (4.98) с) (х, 1) = К (ди (х, 1)lдх) =- С (1) — Ии (х, 1), (4.99) где функция 1 (1) характеризует движение границы фазовых состояний материала, ир — температура фазового перехода (плав- ления), К вЂ” коэффициент температуропроводностп материала в твердом состоянии, И вЂ” коэффициент тенлопередачи (ир, К н И полагаются постоянными). Начальное условие имеет вид и (х, 1) =- и„(х, 1„), — 1 ~ х ~ 1, (4.100) причем Х (1) = 1 при 1 = 1,.
Условие (4.98) означает, что пластина имеет на границе фазовых состояний температуру плавления; равенство (4.99) является выражением условия теплового баланса на подвижной границе. Матер раслла саста -х10 с +х111 л Рпс. 4,18. Геометрия стальной пластины, помещенной в расплав. Описанную выше задачу можно представить в эквивалентной форме интегрального уравнения: ср и (ф, (р)+ йир ~ с)е $, х, (р, (Ил:" х"141411 = сл ср = й ~ (7 я — Ии (х, 1)) и'$, х, 1р, 1) )тл=" хс'11сасЫ + с, + ~ и(х, 1)иеЯ, х, 1„, 1)(л хсстс(х+ -х 141 Х <Ст + ~ и (», 1) и*($, х, 1~, 1) ) =х сссс(х+ с + 1 иа(х, (а) ие(г„х, 1а, (о)с(х.
(4.101) Фундаментальное решение ие для одномерного случая определяется выражением (4.26). Поскольку температура на границе фазовых состояний пластины соответствует точке плавления, взяв в уравнении (4.101) точку $ на границе, получим, что единственной неизвестной функ- 7 Бребблл К. ч лр. 195 Задачи апории икплоп<ппидиис~пи 02 пчС Рис.
4.20. Зависимость положении гра- ницы плавлении от времени. 1000 п6 06 250 50 К вЂ” = р/2?/ — „, +8( — и) ди дХ <О дк (а) или ) (!) йпа+ (б) — — — Рис. 4.!9. Графики распределении тем- пературы в стальной пластине до рас- ! плавлении. 2Я) 0 0,2 0,1 0,6 0.6 1,0 0 0,2 ОЛ 0,6 ОД 1,0 к/Х,а) ХИ)/у<0) цией в результирующем граничном интегральном уравнении будет координата, определяющая положение подвижной границы Х (!).
Таким образом, задачу можно решать численно, используя шаговый процесс, в котором для определения положения границы затвердения на каждом шаге по времени используется итерационная процедура. Подробное описание данного подхода к решению приводится в работах 134 — 371. Пример 4.8.
В этом примере, взятом из работы 1351, рассь<атривается стальная пластина, в начальный момент имеющая однородную температуру. В момент времени 2 == 0 пластина погружается в хорошо перемешанный расплав стали, температура которого выше температуры плавления. Для такой задачи (рис. 4.18) граничные условия (4.99) принимают вид Здесь р — плотность, Ло — скрытая теплота плавления, иь— внутренняя температура расплава. При расчетах были исполь- зованы следующие исходные данные: 1 =- 0,0254 м; и, — 294,3 К; ии -- 1811 К; и„ -=- !922 К; й --. = 5,6?4 кВт/(ма.
К); /2Н вЂ” 255,6 кДж/кг; й == 10,33 10 ' ма/с; р = 7130 кг/м"; К =- 34,6 Вт/(м. К). В начальный момент времени половина ширины пластины Х„-- 0,0254 м. На рис. 4,19 и 4.20 приведены полученные в результате проведенных расчетов графики распределения неустановившихся температур и положения границы плавления в зависимости от времени. Координата границы плавления (рис. 4.20) после некоторого переходного периода становится линейной функцией времени. Это соответствует известному факту, что после некоторого начального периода времени температура всего бруса достигает точки плавления, поэтому в дальнейшем плавление происходит с постоянной скоростью.
Данное утверждение можно легко проверить, сравнивая значение скорости плавления, получаемое нз уравнения (а), если там положить ди/дх = О, со значением, приведенным на рис. 4.20 для заключительного этапа процесса плавления. Соответствующие значения скорости ~ с<Х/с<! ( равны 0,0345 мlс и 0,0341 мlс и достаточно близки друг другу. Р'лапа 5 Статические задачи теории упругости 5.1. Введение в теорию упругости е, 2 2 аеас = а, †' ае -(- аз, ил„== а„+ ал, ! аее (5. 1) Кроме того, ниже используются абсолютно аитисимметричный тгнзор третьего ранга еые и символ Кропекера бо: О прв равенстве любых двух индексов; +1, когда г, 1, й равны соответственно 1, 2, 3 нли составляют четную перестановку 1, 2, 3; (5.2) — 1, когда 1, 1, й составляют нечетную перестановку 1, 2, 3; бп— ( 1 при 1.—.-1, ( О при с ~1'.
Здесь, если зто не оговаривается специально, индексы принимают значения 1, 2, 3 в слччае трехмерных задач, для двумерных задач 'эсть этой главы посвящается изложению основных положе. м иий теории упругости, необходимых для построения разл счных .н аделей метода граничных элементов. Глава начинается с изложения теории упругости при малых деформациях в соответствнп с тем, как это принято в известных учебниках (1 — 5!. В гл. 5 — 8 рассматриваются задачи для пластичных, вязкопластпчных, проявляющих свойства ползучести, а также перастяжимых материалов, т. е. задачи для неупругнх материалов, но в данной главе исследуется только упругое поведение материалов.
Здесь и ниже используются тензорные обозначения в декартовой системе координат. Эти обозначении не только экономят время при записи громоздких выражений, но и исключительно полезны при формулировке и доказательстве теорем. При этом нижние индексы 1, 2 и 3 используются для обознзчения осея х, р н з; оии же делают излишним применение обычных символов суымироваиия, заменяя нх простым правилом повторения индексов. Так, в трек- мерном случае имеем 197 Отееилессеее заделе еысрилл упруесст» (плоское напряженное н плоское деформированное состояния) они имеюг значения ! и 2. В данном разделе будет рассматриваться трехмерный случаи, Внешние напряжения, которые могут действовать на тело, бывают объемными или поверхностными. Объемные напряжения, например гравитационные, действуют иа малые элементы объема или массы внутри тела.
Эти напряжения определяются для единицы объема. Поверхностные напряжения действуют на поверхность, ограничивающую тело, и относятся к единице площади, на которой оии заданы. На рис, 5.1 показаны растягивающне напряжения. Если рассмотреть бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, внутри которого располагается заданная внутренняя точка тела, легко видеть, что условия статического равновесии напряжений н моментов требуют, чтобы удовлетворялнсь уравнспия (5.3) где через оа обозначены компоненты тензора напряжений, Ьл— компоненты объемных напряжений. Производные по пространственным координатам обозначаются запятой: дом]дхг = ом Р Кроме того, если в теле отсутствуют объемные моменты, то гз условия равновесия следуют равенства Осе =- ОИ. (5Л) Если в некоторая точке известны шесть компонент тензора напряжений, то соответствующие усилия йз в произвольной плоскости, проведенной через зту точку, можно определить из вырсжений (5.5) рл = оппл где и, — направляющие косинусы нормали к площадке.
)- л]х, Рис. 5.1 Напеежезлля (е), псеерыластные усиляя (б) и сбъеллные силы (е], Ггззз З !99 Сзззпззггзгзг зз зази мгожгз Езпагр з! с Независимо от характера напряженного состояния всегда можно выбрать такую систему координат в данной точке, в которой касательные напряжения равны нулю, Паправления таких спепиальных осей координат называются главнычи, а нормальные напряжения, действующие в плоскостях, перпендикулярных главным напряженним, называются главными напряженпячп.
11аправлеиия главных напряжений можно определим, рассмотрев соотношение р, -- дпз, (5.6) которое означает, что вектор равнодействукчцей параллелен нормальному вектору. Подставляя соотношение (5.6) в формулу (5.5), получим (ом -. )Ь! ) и; — О, (5.7) Это соотношение представляет собой систему трех лпнепиых одзюс родных уравнений, которые ори о; ~ 0 должны допускать сущем твование нетривиального решения (пзп, — 1). Соответственно имеем (ог 8) ) и!! .— ХЬ„) = 0 нли в развернутой форме 1'з /зйз /зй /з ' — 0 (ог 9) где 1! — оы, /з -= д (поп!! — оьо„) —.— д /з, ! (5.10) /з - в емзе„чгпи,о!розг.
Значения главных напряжений, являющихся корнями кубического уравнения (5.9), не зависят от того, в какой системе координат первоначально были заданы компоненты теизора напряжен ний, т. е они являются ннвариантачи напряженного состояи!я точке. Отек!да непосредственно вытекает, что /„ /з и /, также .и. инвариантны относительно любых поворотов осей декартовой системы координат. Можно показать, чтотри главных направления являются виан!!- ио перпендикуляриымп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
